小学数学五年级下册《因数与倍数》概念建构与探索教案

小学数学五年级下册《因数与倍数》概念建构与探索教案

一、课程指导理论与设计思想

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于“三会”核心素养——会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。聚焦于“数与代数”领域中“数的认识”与“数的运算”的关联性理解，致力于超越传统的定义记忆与机械训练，引导学生经历完整的数学概念“发生-形成-应用”过程。

核心设计思想包括：

1.概念建构主义路径：将“因数与倍数”从静态的“结果性知识”转化为动态的“关系性理解”。教学从具体的、可操作的数学活动（如拼长方形）出发，让学生在“做数学”中感知、抽象、概括出概念的本质。

2.结构化认知导向：不孤立地教授“因数”或“倍数”，而是将其置于“整数乘除法关系网络”中，揭示其互为逆叙、相互依存的内在联系。初步渗透“整除”思想，为后续学习最大公因数、最小公倍数、质数与合数等构建逻辑连贯的知识体系。

3.高阶思维渗透：在探究活动中，有机融入分类、归纳、推理、建模等思维方法。例如，在寻找一个数的全部因数时，引导学生发现“成对出现”的规律，并运用乘除法的互逆关系进行有序、不重复、不遗漏的探索，培养思维的条理性和严密性。

4.真实问题情境驱动：创设源于学生生活经验或数学内部发展的“真问题”，如“12个同样大的正方形能拼出几种不同的长方形？”将抽象的数学关系可视化、几何化，使学习富有意义和挑战性。

二、教学背景深度分析

（一）教材纵向剖析

“因数与倍数”是人教版五年级下册第二单元的起始课。在知识链条上，它是学生已经熟练掌握了整数四则运算、积累了丰富除法（包括整除与有余数除法）经验后的必然深化，旨在从“运算”视角重新审视“数”与“数”之间的关系。它又是打开“数的性质”研究大门的钥匙，直接通向约分、通分、分数运算的算理理解，是小学阶段“数论”启蒙的基石。教材的编排通常从整除情境引入，通过算式定义概念，再通过举例进行巩固。本设计在尊重教材核心逻辑的基础上，将更强调概念的生成性与结构化。

（二）学情精准诊断

五年级学生的思维正从具体运算阶段向形式运算阶段过渡，具备一定的抽象、概括和推理能力。

1.已有基础：能熟练进行多位数乘除法计算；清晰理解乘除法各部分名称及相互关系；具备用乘法口诀寻找乘积的因子的经验；在长方形面积计算中，隐含地运用了“长×宽=面积”的因数关系。

2.潜在困难：

1.3.概念抽象性：因数与倍数是描述两个非零自然数之间相互依存的关系，而非独立的数本身。学生容易混淆“谁是因数，谁是倍数”，或将因数、倍数孤立记忆。

2.4.语言表述转换：从“12÷3=4”的算式语言，到“12是3的倍数，3是12的因数”的陈述性语言，再到符号化、一般化的数学语言，存在转换障碍。

3.5.探究方法系统化：寻找一个数的全部因数或一定范围内的倍数，需要策略（如有序思考、成对寻找），学生易出现重复、遗漏或无序状态。

6.学习动力点：学生对“关系”、“规律”、“秘密”具有天生的好奇心和探索欲。通过富有挑战性的任务（如“完美数”探秘）、游戏化的活动（如“因数朋友对对碰”），能有效激发其内在学习动机。

（三）教学资源与环境

1.教具与学具：磁性小正方形若干、交互式电子白板、学习任务单、数字卡片。

2.数字工具：可提供计算器，用于验证较大数的因数，将精力集中于规律探索而非繁琐计算。

3.预设生成：提前预判学生可能出现的典型理解偏差（如认为0是因数，或混淆“倍数”与“倍”），并设计相应的对比辨析环节。

三、素养导向的教学目标与重难点

（一）教学目标

1.知识与技能：

1.2.结合具体情境，理解因数与倍数的含义，体会它们之间相互依存的关系。

2.3.掌握找一个数的因数和倍数的方法，能有序地找出一个数的全部因数和指定范围内的倍数。

3.4.能用因数与倍数的语言描述两个自然数之间的关系。

5.过程与方法：

1.6.经历“操作感知—建立表象—抽象概括—内化概念—应用拓展”的概念形成全过程。

2.7.在探索因数和倍数的活动中，发展观察、比较、分析、归纳和有序思考的能力。

3.8.初步体会从特殊到一般、分类、集合等数学思想方法。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在探究活动中体验数学学习的乐趣和成功的喜悦，建立学好数学的信心。

2.11.感受数学知识的内在联系以及数学概念的严谨与美妙，养成乐于思考、言必有据的科学态度。

（二）教学重难点

1.教学重点：理解因数与倍数的意义，掌握寻找一个数的因数和倍数的方法。

2.教学难点：

1.3.理解层面的难点：因数与倍数关系的相互依存性。

2.4.方法层面的难点：有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数。

四、教学过程实施详案（核心环节）

第一阶段：情境激疑，在操作中建立关系表象(约15分钟)

活动一：拼图探秘——从形到数的关系初探

1.问题驱动：老师有12个大小完全相同的正方形。如果用它们拼成一个长方形（含正方形），可以怎样拼？每排摆几个？摆几排？请你用手中的小正方形摆一摆，并在学习单上画出示意图，用乘法算式表示你的摆法。

1.2.学生操作：独立或小组合作进行拼摆。教师巡视，关注不同摆法（1×12,2×6,3×4）。

2.3.汇报交流：

1.3.4.生1：我摆了一排，每排12个，摆了1排。算式是12×1=12。

2.4.5.生2：我摆了两排，每排6个，算式是6×2=12。

3.5.6.生3：我摆了三排，每排4个，算式是4×3=12。

4.6.7.（若有学生摆成4排3个，引导学生发现这与3排4个只是方向不同，本质相同。）

8.深度对话，聚焦关系：

1.9.师：观察这些乘法算式，我们发现，用12个小正方形拼长方形，它的“排数”和“每排个数”与“总个数12”有着密切的关系。比如，从“3×4=12”这个算式看，3、4和12之间，我们可以怎样描述它们的关系？

2.10.引导学生多角度表达：12是3和4相乘得到的积；3和4是乘数；也可以说，12能被3整除，也能被4整除……

3.11.师：在数学上，为了专门描述这种“乘数”与“积”之间特定的整除关系，我们引入两个新的名字。

设计意图：摒弃直接出示算式的抽象引入，采用“拼长方形”的几何操作，将“因数”关系直观化、可视化。学生在“总个数—每排数—排数”的三者关系中，为理解“两个数相乘得到一个积，这两个数就是积的因数”奠定了坚实的经验基础。此环节将数学与空间图形巧妙结合，体现了跨学科视野。

第二阶段：对话抽象，在辨析中构建概念本质(约20分钟)

活动二：命名定义——从特殊到一般的概念提炼

1.概念揭示：结合算式“3×4=12”，教师规范表述：在整数乘法中，乘积12是乘数3和4的倍数，乘数3和4是积12的因数。板书关键句：3和4是12的因数，12是3和4的倍数。

2.多例强化：

1.3.指算式“2×6=12”，让学生模仿说关系。

2.4.指算式“1×12=12”，提问：“1和12是12的因数吗？12是1和12的倍数吗？”引发思考，明确一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。

5.关系辨析，突破难点：

1.6.师：单独说“3是因数”或“12是倍数”可以吗？为什么？

2.7.引导学生讨论得出：因数和倍数表示的是两个数之间的一种关系，必须说清楚“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。它们像“父子关系”一样，是相互依存、不能单独存在的。

3.8.巩固练习：根据“20÷4=5”，说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。强调除法算式也能看出因数倍数关系（如果商是整数且没有余数），即：被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。沟通乘除法的内在联系。

9.概念外延与限定：

1.10.出示：2.5×4=10。4和10存在因数倍数关系吗？讨论后明确：我们研究的因数和倍数，所指的数都是非零自然数。

2.11.出示：12÷5=2……2。12是5的倍数吗？为什么？强化“整除”是前提。

设计意图：此环节是概念形成的核心。通过“示范—模仿—辨析—归纳”的螺旋式上升过程，帮助学生完成从具体实例到抽象定义的跨越。重点打磨数学语言的精确性，通过“关系说”破解相互依存的难点，通过乘除法算式的沟通，建立知识网络。对研究范围的明确，体现了数学概念的严谨性。

第三阶段：策略探究，在发现中掌握方法(约25分钟)

活动三：智寻因数——有序思维的策略建构

1.任务挑战：我们已经知道1，2，3，4，6，12都是12的因数。你能找出18的全部因数吗？看谁找得又对又快、不重不漏。

2.暴露思维，对比优化：

1.3.学生独立尝试。教师收集典型方法投影展示：

1.2.4.无序列举法：1,18,2,9,3,6（可能遗漏或重复）

2.3.5.乘法思路：从1开始试，1×18，2×9，3×6，4？不行，5？不行，6×3（重复了停止）。

3.4.6.除法思路：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷4不行…直到除数超过商。

5.7.组织讨论：哪种方法好？好在哪里？引导学生发现“有序思考”和“成对出现”的规律。当找到的乘数或除数开始重复时，就意味着找全了。

6.8.方法提炼板书：找因数，一对一对找，从小到大，除到重复就停。

9.实践应用：用优化后的方法，快速找出24的全部因数。观察12、18、24的因数，你有什么发现？（1是所有数的因数；一个数最小因数是1，最大因数是它本身；因数个数有限。）

活动四：巧找倍数——归纳推理的能力拓展

1.迁移任务：2的倍数有哪些？你是怎么找的？

1.2.学生易说出：2，4，6，8，10……

2.3.追问：能找得完吗？如何表示这种无限性？（用省略号）2的倍数最小是几？

3.4.方法提炼：找一个数的倍数，用这个数依次乘1、2、3、4……即可。

5.对比深化：对比找一个数的“因数”和“倍数”，在方法、个数、表示上有什么不同？

1.6.引导学生用表格或对比图进行总结：

找因数

找倍数

方法

用除法或乘法，一对对找

用乘法，依次乘自然数

个数

有限的

无限的

表示

全部列出，用逗号隔开

列举几个后加省略号

最小

1

它本身

最大

它本身

没有最大

设计意图：本阶段将教学重心从“是什么”转向“怎么找”，着力于数学思维方法和策略的传授。寻找因数的活动设计成“问题解决-方法对比-策略优化”的探究过程，让学生亲历方法从“混沌”到“有序”的优化，体验数学思维的力量。因数与倍数的对比，则促进了知识的系统化与结构化。

第四阶段：分层应用，在拓展中发展素养(约15分钟)

分层练习设计：

1.基础巩固层（概念辨析）：

1.2.判断：①因为15÷5=3，所以15是倍数，5是因数。（）②1是所有非零自然数的因数。（）③一个数的倍数一定比它的因数大。（）

2.3.说一说：根据算式14÷7=2，25×4=100，说说因数倍数关系。

4.综合应用层（方法运用）：

1.5.“因数朋友对对碰”游戏：教师出示数字卡片“36”，学生举手说出它的一个因数，并找到对应“朋友”（即与之相乘得36的另一个因数）。巩固成对寻找的策略。

2.6.写出30以内4的全部倍数。

7.思维拓展层（探究发现）：

1.8.神秘的“完全数（完美数）”：一个数所有小于它本身的因数之和等于它自己，这个数就叫“完全数”。例如，6的因数有1，2，3，1+2+3=6。6就是一个完全数。你能试着找出20以内的下一个完全数吗？（28）此内容可作为数学文化拓展，激发学生课后探究的兴趣。

2.9.实际问题：把18块橡皮和24支铅笔平均分给一个小组的同学，结果都刚好分完。这个小组最多可能有几位同学？这为后续学习最大公因数埋下伏笔。

设计意图：练习设计遵循“巩固概念—熟练方法—发展思维—渗透文化”的梯度。基础题确保全体学生理解概念本质；综合题在趣味活动中熟练方法；拓展题打开学生的数学视野，感受数论之美，并建立与后续知识的联系，体现了教学的前瞻性和整体性。

第五阶段：反思总结，在梳理中升华认知(约5分钟)

1.学生自主梳理：通过今天的学习，你收获了哪些知识？你印象最深的学习活动是什么？在找因数时，最重要的策略是什么？

2.教师凝练升华：

1.3.知识层面：我们认识了因数和倍数这对“好朋友”，知道了它们相互依存的关系，学会了有序地寻找它们。

2.4.方法层面：我们经历了从操作到抽象、从无序到有序、从特殊到一般的数学学习过程。

3.5.思想层面：我们初步感受到了整数世界内部存在的奇妙秩序和规律。因数与倍数就像一把钥匙，它将要为我们打开“质数与合数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等一扇扇新知识的大门。

6.布置个性化作业：

1.7.必做题：教材课后练习。

2.8.选做题（二选一）：

a.探究：1是许多数的因数，有没有哪个数只有一个因数？什么样的数因数个数最少（除了1）？

b.搜集：关于“完美数”或“孪生质数”的数学小故事，制作成一张数学小报。

五、教学评价设计

本课评价贯穿于教学全过程，采用多维、动态的评价方式。

1.过程性评价：

1.2.观察：在拼图、讨论、探究活动中，观察学生的参与度、合作意识、思维条理性。

2.3.对话：通过师生、生生问答，评价学生对概念语言表述的准确性、对相互依存关系的理解深度。

3.4.作品分析：通过学生学习单上的摆法记录、因数寻找过程，分析其思维策略和有序性水平。

5.形成性评价：通过分层练习的完成情况，诊断不同层次学生对概念与方法的目标达成度。

6.发展性评价：关注学生在课堂中的思维成长，如从无序到有序的转变，从模仿说到独立概括的进步。选做作业的设计，旨在评价和培养学生的数学探究兴趣和拓展学习能力。

六、板书设计（思维导图式）

因数与倍数

一、意义

在整数除法（整除）中：被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。

（相互依存，不能单独说）

研究范围：非零自然数

二、找因数（个数有限）

例：找18的因数

法1（乘）：1×182×93×6（4×？无）→停

法2（除）：18÷1=1818÷2=918÷3=6（18÷4不行）→停

策略：有序，成对，除到重复。

三、找倍数（个数无