小学五年级数学下册《长方体的体积》单元第3课时教学设计

小学五年级数学下册《长方体的体积》单元第3课时教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1.学生能够通过拼摆1立方厘米小正方体的操作活动，【非常重要】深刻理解长方体体积公式的推导逻辑，准确记忆并规范运用公式V=abh计算长方体的体积，并能类比迁移得出正方体体积公式V=a³，清晰辨析“a³”与“3a”的本质区别。

2.学生能建立1立方厘米、1立方分米、1立方米的准确空间表象，【基础】掌握相邻体积单位间的进率为1000，能进行简单的单位换算，并能在解决实际问题时自觉选用恰当的单位。

3.学生理解并掌握用排水法测量不规则物体体积的策略，【热点】【难点】能熟练运用“不规则物体体积=容器底面积×水面上升高度”进行解题，体会转化思想在数学与生活中的普遍存在。

（二）过程与方法目标

4.经历“猜想—实验—验证—归纳”的数学建模全过程，【非常重要】在小组合作摆小正方体的实践中，通过计数每排个数、排数、层数与总个数的关系，发展空间观念、合情推理能力及抽象概括能力。

5.运用类比思想，将长方形面积公式的推导路径迁移至长方体体积的研究，【重要】感悟一维长度、二维面积、三维体积度量本质的一致性——即度量单位的累加。

6.在排水法实验的操作、观察与数据分析中，完整经历“发现问题—提出假设—实验验证—得出结论”的科学探究微循环，培养实事求是、严谨求真的理性精神。

（三）情感态度与价值观目标

7.在解决“义卖收纳箱选择”、“沙坑用沙量计算”、“不规则石块体积测量”等真实情境问题中，【重要】深刻体验数学知识从生活中来、到生活中去的价值感，激发持久的数学学习内驱力。

8.在小组竞赛摆长方体、设计方案测体积等活动中，体验协同攻关的成就感，增强团队协作意识与表达沟通能力。

9.通过了解《九章算术》“方堡壔”问题的历史记载，【基础】感受我国古代数学在世界文明史上的璀璨成就，筑牢文化自信与民族认同感。

二、教学重点与难点

（一）教学重点【重要】【高频考点】

引导学生自主经历从“用体积单位直接度量”到“用长宽高间接计算”的抽象过程，深刻理解并熟练运用长方体和正方体的体积计算公式。

（二）教学难点【难点】

1.认知断层跨越：理解“长×宽×高”的乘积为什么恰好等于所含体积单位的个数，即从动作性直观向言语性逻辑的转化。

2.策略性知识建构：突破“规则图形可量，不规则图形不可量”的思维定式，建立将不规则物体体积转化为规则物体体积测量的转化思想模型。

三、教学准备

（一）教师准备

1.教具：大号磁性1立方厘米小正方体教具24个，可拆卸透明长方体模型（带刻度网格），1立方分米、1立方米模型框架，多媒体课件（含三维体块填充动画、排水法原理模拟动画），透明长方体水槽（内壁标有长宽刻度），不规则石块、土豆、量筒、溢水杯、抹布。

2.学具：每小组一个学具篮，内装1立方厘米塑料小正方体学具30个，橡皮筋2根（用于临时固定拼搭体），学习任务单（分三部分）每人一张。

3.板书动态卡片：预设“每排个数→长”“排数→宽”“层数→高”“总块数→体积”等磁性短语条。

（二）学生准备

4.知识铺垫：独立复习三年级下册《面积》单元，回忆用单位正方形推导长方形面积公式的过程。

5.实物收集：每人携带一个长方体废旧纸盒（如牛奶箱、药品包装盒），并用剪刀将其中一面剪开以便观察内部空间。

四、教学过程【核心环节】

（一）唤醒经验，聚焦核心问题（约5分钟）

1.真实情境介入

（1）课件出示校园“爱心义卖”实拍图：摊位上书籍堆积如山，旁边有两个待组装的空木箱。教师以活动策划师身份发问：“同学们，义卖前需要决定选用哪个箱子装书。A箱长6分米、宽4分米、高3分米；B箱长5分米、宽5分米、高5分米。如果让你向总务老师提建议，你会选哪一个？理由是什么？”【非常重要】

（2）学生独立思考后同桌交换意见。预设回答分层：第一层仅凭视觉判断“选大的”；第二层用词“空间”“容积”；第三层明确指向“体积”。教师捕捉第三类回答，顺势板书“体积”并追问：“什么是体积？我们怎样比较两个长方体的体积？”

2.旧知迁移搭桥

（1）教师拿起实物粉笔盒，轻敲盒壁：“用尺子量出长宽高，能直接算出它的大小吗？”部分学生点头，部分困惑。教师不急给出答案，而是调取已有经验：“回想面积学习时，我们怎样知道长方形有多大？”学生齐忆：用1平方厘米小正方形摆，摆了几个就是几平方厘米。

（2）课件快闪长方形面积推导动图。教师类比设问：【基础】“度量面积用面积单位，度量体积应该用什么单位？能不能像摆小正方形那样，用摆小正方体的方法来研究体积？”学生豁然开朗，学习路径由此明朗——从度量出发，自建公式。

（二）操作建构，推导公式（约25分钟）【非常重要】【高频考点】【难点】

3.体积单位具身建模

（1）教师出示1立方厘米小正方体学具，明确：棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米。学生用食指和拇指轻轻捏起，放在眼前观察，寻找身体上的参照物（指甲盖、键盘按键）。教师出示1立方分米教具，学生双手捧住，类比定义棱长1分米，并列举生活中近似大小的物体（粉笔盒、魔方）。

（2）教师拉出1立方米框架，请四位学生拉绳围出底面，再立起高度，全班共同验证能否容纳约12名同学。至此，三大体积单位表象牢固建立。

4.任务驱动，数据收集

（1）【基础】学习任务单第一部分：小组合作，用1立方厘米小正方体摆出形状不同的长方体，边摆边记录长、宽、高（单位厘米）及所用小方块总数，填入表1。教师巡视，重点关注：对“长宽高”定位是否正确；是否出现非长方体堆叠（如阶梯状）；记录数据与实物是否匹配。对于摆法单一的小组，提示：“试着改变每排个数、排数或层数，看看还能摆出哪些不同的长方体。”

（2）约6分钟后组织汇报，利用实物展台展示典型作品。

[1]作品一：长4、宽2、高2，体积16立方厘米。组员解释：先数一层有4×2=8个，再乘2层，总个数16。教师板书：一层个数×层数=总块数。

[2]作品二：长5、宽3、高1，体积15立方厘米。教师引导发现：高是1时，其实就是一层，体积数正好等于每排个数乘排数。

[3]作品三：棱长3的正方体，体积27立方厘米。教师强调：这是特殊长方体，长宽高都相等，统称棱长。

（3）全班汇总多组数据至大屏幕，学生横向观察，发现规律：长×宽×高的积与所用小方块个数一致。教师板书关系式雏形：长方体体积=长×宽×高。

5.动态抽象，符号化表达

（1）多媒体展示三维填充动画：长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体，先铺一层5×4=20个，再铺3层，总20×3=60个。动画旁标注5×4×3=60。教师引导学生将算式中的5、4、3与图形特征对应——长、宽、高。

（2）教师规范板书公式，并用字母替换：V=abh。全体学生起立，边用手势比划长宽高边齐读公式两遍。

6.迁移类推，正方体公式

（1）教师指着之前展示的正方体模型：“长宽高都相等时，长方体变成了正方体。棱长用a表示，体积公式可以怎么写？”学生脱口而出V=a×a×a，教师顺势介绍记法V=a³，并强调a³读作“a的立方”，表示3个a相乘。

（2）【高频考点】即时口算辨析：6³与6×3，0.7³与0.7×3。学生用手势判断，教师重点追问0.7³的计算过程（0.7×0.7=0.49，0.49×0.7=0.343），强化“立方”与“倍数”的本质差异。

7.突破难点，反刍意义

（1）【难点】教师举起一个空纸盒：“如果不打开纸盒，也不能切割，我们还能用小方块去摆吗？那为什么长×宽×高还能算出体积？”学生陷入沉思。教师引导闭眼想象：沿着长可以放几个1立方厘米？沿着宽放几排？沿着高放几层？学生通过想象“虚拟填充”，顿悟：公式并不是真的把小方块塞进去，而是通过度量推算体积单位的个数。

（2）教师小结：这就是数学的力量——把看不见的度量转化成看得见的计算。

（三）巩固应用，形成技能（约15分钟）【重要】【高频考点】

8.基础性练习——直接套用公式

（1）学习任务单第二部分，独立计算：

①长方体石料：长9cm，宽4cm，高5cm。

②长方体木料：长2.5m，宽1.6m，高0.8m。

③正方体钢块：棱长0.7dm。

（2）指名学生板演，全班评议。重点评析第②题小数乘法：2.5×1.6=4.0，教师引导学生化简为4，并明确单位“立方米”。第③题若出现0.7×3=2.1，教师组织全班辨析，并请做对的学生讲解0.7³的算理。

9.变式性练习——逆向求棱长

（1）出示问题：【重要】“一个长方体礼品盒，体积240立方厘米，长10厘米，宽6厘米，高是多少厘米？”学生尝试列式240÷(10×6)=4（厘米）。教师追问每一步含义，并顺势引出“底面积”概念，板书V=Sh，为后续学习作铺垫。

（2）拓展：已知正方体鱼缸容积64升（厚度忽略），求棱长。学生联系乘法口诀，发现4×4×4=64，棱长4分米。教师肯定并预告今后会学习更一般的开方运算。

10.应用性练习——解决真实问题

（1）学校沙坑改造：原沙坑长5米、宽3米、深0.3米，现扩展为长5米、宽3.6米、深0.4米。需增加多少立方米沙子？学生分步列式：现体积5×3.6×0.4=7.2m³，原体积5×3×0.3=4.5m³，增加2.7m³。

（2）拓展：砌围墙问题——学校要砌一道长20米、厚24厘米、高2.5米的围墙，每立方米用砖525块，一共需要多少块砖？学生发现单位不统一，将24厘米化为0.24米，计算20×0.24×2.5=12m³，12×525=6300块。教师强调：单位统一是计算准确的第一道防线。

（四）迁移拓展，探究不规则物体体积（约18分钟）【热点】【难点】

11.认知冲突激疑

（1）教师从讲台下取出奇形怪状的山石和长方体透明水槽。“这块石头既不是长方体也不是正方体，能用尺子量出长宽高吗？它的体积怎么得到？”小组讨论，猜想井喷：橡皮泥包裹法、浸没排水法、溢水法、沙埋法……

（2）教师聚焦主流方法——排水法，并追问：“为什么水位会上升？上升部分的水和石块有什么关系？”学生初建等量关系：石块的体积=上升部分水的体积。

12.实验探究建模

（1）教师演示（学生助手协助）：测量水槽内壁长15cm、宽12cm，注入适量水，测水深8cm；将石块完全浸没，测水深9.5cm。学生记录数据并独立计算：15×12×(9.5-8)=270cm³。

（2）【重要】教师板演规范解题格式，并引导学生用字母概括公式：V物=S底×Δh。同时演示溢水法：将石块投入装满水的溢水杯，用量筒接住溢出的水，直接读数。学生对比两种方法，归纳共性——都将不规则体积转化为规则体积（水的体积）。

13.变式深化策略

（1）【热点】“如果待测物体是浮在水面上的（如泡沫块、木块），排水法还管用吗？”小组讨论后得出：可用细针按压完全浸没，或用重物坠入法（先测重物与待测物总体积，再减重物体积）。

（2）教师补充：对于溶于水的物体（如食盐、冰糖），可用细沙或小米替代水进行排沙法。学生惊叹转化思想无处不在。

14.即时巩固

学习任务单第三部分：长方体容器长20cm、宽15cm，原水深10cm，放入土豆后水深12.5cm，求土豆体积。独立列式：20×15×(12.5-10)=750cm³。同桌互批，错误率极低。

（五）分层练习，综合提升（约12分钟）

15.纠错辨析——直击易错点

（1）判断改错：

①棱长6厘米的正方体，表面积和体积相等。（×）——引导学生辨明：意义不同，单位不同，无法比较。

②两个体积相等的长方体，形状一定相同。（×）——举反例：24=4×3×2，24=6×2×2，长宽高不同。

（2）【高频考点】选择：用棱长1cm小正方体拼成棱长3cm的大正方体，需要（）个。A.9B.18C.27D.30。学生选C并解释：3×3×3=27。

16.操作想象——有序思考

（1）问题：用12个棱长1分米的小正方体搭长方体，可以搭出几种不同形状？写出长宽高（整数分米）。

（2）小组合作，先想象后验证。汇报归纳出四种：(1,1,12)、(1,2,6)、(1,3,4)、(2,2,3)。教师引导有序思考：固定长为最小正整数，依次调整宽、高。

17.思维爬坡——综合应用

（1）思考题：一个长方体，高增加2厘米后变成正方体，表面积增加56平方厘米。求原长方体体积。

（2）小组讨论，教师适时点拨：增加的表面积是四个侧面积之和，先求底面周长56÷2=28cm，再求底面边长28÷4=7cm，原高7-2=5cm，原体积7×7×5=245cm³。

18.文化浸润——古算欣赏

（1）课件呈现《九章算术·商功》：“今有方堡壔，方一丈六尺，高一丈五尺，问积几何？”教师白话解释：方堡壔即底面为正方形的长方体，底面边长1丈6尺，高1丈5尺，求体积。学生发现古人也用“底面积×高”计算，自豪感油然而生。

（六）课堂总结，建构网络（约4分钟）

19.学生多元总结

（1）请三位学生分别从知识、方法、情感三个角度谈收获。

（2）教师串联：今天我们从“摆方块”开始，把“长×宽×高”这个结果变成了公式，又用这个公式去测量更复杂的世界——规则物体直接算，不规则物体转化算。数学，就是不断把“不会的”转化成“会的”。

20.板书织网

教师用彩色粉笔将零散板书勾连成知识网络：左侧“摆方块→长×宽×高→V=abh→V=a³”，右侧引出“底面积×高→V=Sh”，再分枝至“排水法→转化思想”。

21.悬疑预告

教师托起1立方分米模型和一盒1立方厘米小方块：“这个大块头能装下多少个小不点？1立方分米等于多少立方厘米？这是我们下节课要破解的秘密。”

五、板书设计（结构化布局）

（一）主板书区域

长方体的体积

摆方块：每排个数×排数×层数=总块数

↓↓↓↓

长×宽×高=体积

V=abh

（二）副板书区域

正方体体积V=a³(a³≠3a)

排水法：V物=S底×Δh

转化思想

（三）生成区

学生典型算例、重点辨析题随堂书写。

六、作业设计

（一）基础巩固（必做）

1.课本第42页练一练第1、2、3题，要求格式规范，单位标注完整。

2.测量家中一个长方体物体（如微波炉、鞋盒、快递箱），先目测估计体积，再测量长宽高（精确到厘米）并计算，将估算值与计算值对比，写一句体会。

（二）能力