天津市静海县第一中学高三12月学生学业能力调研考试数学（文）试题（提高卷）

静海一中第一学期高三数学（文12月）提高卷1.(15分)给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m(m≥3，m∈N)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\F(1,n＋a)(n∈N，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m(m≥3，m∈N)阶子数列，且b1＝eq\f(1,k)(k为常数，k∈N，k≥2)，求证：m≤k＋1；（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m(m≥3，m∈N)阶子数列，求证：c1＋c2＋…＋cm≤2－eq\f(1,2m－1)．

2.(15分)已知函数是定义在，，上的奇函数，当，时,（）.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，，，求证：当时，恒成立；（Ⅲ）是否存在实数，使得当，时，的最小值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由.

答案:解：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6．又因为a2＝eq\f(1,2＋a)，a3＝eq\f(1,3＋a)，a6＝eq\f(1,6＋a)，代入得eq\f(1,2＋a)－eq\f(1,3＋a)＝eq\f(1,3＋a)－eq\f(1,6＋a)，解得a＝0．（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．因为b1＝eq\f(1,k)，所以b2≤eq\f(1,k＋1)，从而d＝b2－b1≤eq\f(1,k＋1)－eq\f(1,k)＝－eq\f(1,k(k＋1))．所以bm＝b1＋(m－1)d≤eq\f(1,k)－eq\f(m－1,k(k＋1))．又因为bm＞0，所以eq\f(1,k)－eq\f(m－1,k(k＋1))＞0．即m－1＜k＋1．所以m＜k＋2．又因为m，k∈N，所以m≤k＋1．（3）设c1＝eq\f(1,t)(t∈N)，等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．因为c2≤eq\f(1,t＋1)，所以q＝eq\f(c2,c1)≤eq\f(t,t＋1)．从而cn＝c1qn－1≤eq\f(1,t)eq\b\bc\((eq\f(t,t＋1))eq\s\up10(n－1)（1≤n≤m，n∈N）．所以c1＋c2＋…＋cm≤eq\f(1,t)＋eq\f(1,t)eq\b\bc\((eq\f(t,t＋1))eq\s\up10(1)＋eq\f(1,t)eq\b\bc\((eq\f(t,t＋1))eq\s\up10(2)＋…＋eq\f(1,t)eq\b\bc\((eq\f(t,t＋1))eq\s\up10(m－1)＝eq\f(t＋1,t)[1－eq\b\bc\((eq\f(t,t＋1))eq\s\up10(m)]＝eq\f(t＋1,t)－eq\b\bc\((eq\f(t,t＋1))eq\s\up10(m－1)．设函数f(x)＝x－eq\f(1,xm－1)，（m≥3，m∈N）．当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝x－eq\f(1,xm－1)为单调增函数．因为当t∈N，所以1＜eq\f(t＋1,t)≤2．所以f(eq\f(t＋1,t))≤2－eq\f(1,2m－1)．即c1＋c2＋…＋cm≤2－eq\f(1,2m－1)．（Ⅰ）解：设，则，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数的解析式为. …………3分（Ⅱ）证明：当且时，，，设，因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以，又因为，所以当时，，此时单调递减，所以，所以当时，即. …………8分（Ⅲ）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是，则， …………9分（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，，不满足最小值是，（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是，（ⅲ）当，由于，则，故函数是上的增函