2017-2018学年高中数学人教B版必修5课时作业第一章解三角形1

课时作业(一)正弦定理A组(限时：10分钟)1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，B＝60°，那么A＝()A．45°B．135°C．45°或135°D．60°解析：由正弦定理可得sinA＝eq\f(\r(2),2)，但a<b，所以A<B，故A只能是锐角45°.答案：A2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq\r(2)，则AC＝()A．4eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D.eqD.\f(\r(3),2)解析：由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(3\r(2),sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得AC＝2eq\r(3).答案：B3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－eq\f(1,2)B.eqB.\f(1,2)C．－1D．1解析：∵根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴acosA＝bsinB可化为sinAcosA＝sin2B.∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.答案：D4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°B．a＝30，b＝25，∠A＝150°C．a＝7，b＝8，∠A＝98°D．a＝14，b＝16，∠A＝45°解析：A中已知两角及一边，只有一解；B中∠A是钝角，∴只有一解；C中∠A是钝角且a<b，∴无解；D中bsinA<a<b，∴有两解．答案：D5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，试判断△ABC的形状．解：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)中，得eq\f(2RsinA,cosA)＝eq\f(2RsinB,cosB)＝eq\f(2RsinC,cosC)，即eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，∴tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C.因此△ABC为等边三角形．B组(限时：30分钟)1．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，A＝45°，C＝75°，则BC等于()A．3－eq\r(3)B.eqB.eq\r(2)C．2D．3＋eq\r(3)解析：在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，∴BC＝eq\f(\r(3),sin75°)·sin45°.又∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，∴BC＝eq\f(\r(3),\f(\r(6)＋\r(2),4))×eq\f(\r(2),2)＝3－eq\r(3).答案：A2．在△ABC中，已知a＝3，B＝60°，cosA＝eq\f(2\r(2),3)，则b＝()A.eq\f(9\r(6),8)B.eqB.\f(9\r(2),8)C.eq\f(9\r(3),2)D.eqD.\f(9,2)解析：∵0<A<π，cosA＝eq\f(2\r(2),3)，∴sinA＝eq\f(1,3)，由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(3×\f(\r(3),2),\f(1,3))＝eq\f(9\r(3),2).故选C.答案：C3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于()A.eq\f(π,3)B.eqB.\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eqD.\f(π,12)解析：∵2asinB＝eq\r(3)b，∴2sinAsinB＝eq\r(3)sinB.∵sinB≠0，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).∵A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＝eq\f(π,3).故选A.答案：A4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．x>2B．x<2C．2<x<2eq\r(2)D．2<x<2eq\r(3)解析：∵满足条件的三角形有两解，∴asinB<b<a，即xsin45°<2<x，解得2<x<2eq\r(2).答案：C5．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB＝()A.eq\f(1,5)B.eqB.\f(5,9)C.eq\f(\r(5),3)D．1解析：根据正弦定理，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，则sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(5,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)，故选B.答案：B6．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，即sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝1，∴A＝eq\f(π,2)，故选A.答案：A7．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶5，则eq\f(2sinA－sinB,sinC)的值为________．解析：eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝eq\f(2a－b,c)＝eq\f(2－3,5)＝－eq\f(1,5).答案：－eq\f(1,5)8．在△ABC中，A＝30°，B＝120°，b＝12，则a＋c＝____________.解析：∵A＝30°，B＝120°，∴C＝30°，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)可得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(12×sin30°,sin120°)＝4eq\r(3)，c＝a＝4eq\r(3)，∴a＋c＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)9．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则sinA＝________.解析：∵A＋C＝2B，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)可得：sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(1×sin60°,\r(3))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)10．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，求BC的长．解：由cosC＝eq\f(2\r(5),5)，得sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(5),5).sinA＝sin(180°－45°－C)＝eq\f(\r(2),2)(cosC＋sinC)＝eq\f(3\r(10),10).由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsinA,sinB)＝eq\f(\r(10)×\f(3\r(10),10),\f(\r(2),2))＝3eq\r(2).11．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，p＝(cosC，sinC)，q＝(1，eq\r(3))，且p∥q.(1)求角C的大小；(2)若sinB＝cos2B，且c＝3，求a，b的值．解：(1)∵p∥q，∴eq\f(cosC,1)＝eq\f(sinC,\r(3)).∴tanC＝eq\r(3).又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).(2)∵sinB＝cos2B＝1－2sin2B，∴2sin2B＋sinB－1＝0.∴sinB＝eq\f(1,2)或sinB＝－1.∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，∴sinB＝eq\f(1,2).∴B＝eq\f(π,6).∴A＝eq\f(π,2).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(3sin\f(π,6),sin\f(π,3))＝eq\r(3)，a＝eq\f(csinA,sinC)＝2eq\r(3).12．在△ABC中，a＝3，b＝2eq\r(6)，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．解：(1)因为a＝3，b＝2eq\r(6)，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得eq\f(3,sinA)＝eq\f(2\r(6),sin2A).所以eq\f(2sinAcosA,sinA)＝eq\f(2\r(6),3).故cosA＝eq\f(\r(6),3).(2)由(1)知，cosA