初升高数学创新思维题及答案

初升高数学创新思维题及答案

1.已知\(x^2+3x+1=0\)，求\(x^2+\frac{1}{x^2}\)的值。（10分）2.若\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a+b+c=0\)，\(a^2+b^2+c^2=1\)，求\(ab+bc+ca\)的值。（10分）3.如图，在直角三角形\(ABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，以点\(C\)为圆心，\(r\)为半径作圆。当圆与斜边\(AB\)只有一个公共点时，求\(r\)的取值范围。（15分）（此处请自行绘制直角三角形ABC，并标注好各边长度，斜边AB用虚线表示，圆C用实线表示）4.已知关于\(x\)的方程\(x^2-2(m+1)x+m^–2=0\)。（1）当\(m\)为何值时，方程有两个不相等的实数根？（10分）（2）设方程的两个实数根分别为\(x_1\)，\(x_2\)，且满足\((x_1+x_2)^2-(x_1x_2)^2=0\)，求\(m\)的值。（15分）5.如图，在平行四边形\(ABCD\)中，\(E\)是\(AD\)上一点，连接\(BE\)，\(F\)为\(BE\)中点，且\(AF\)的延长线交\(CD\)于点\(G\)。若\(AB=5\)，\(BC=3\)，求\(DG\)的长。（15分）（此处请自行绘制平行四边形ABCD，标注好各顶点字母，E点在AD上，连接BE，F为BE中点，AF延长线交CD于G点）6.已知\(a\)、\(b\)为正整数，且满足\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{12}\)，求\(a+b\)的最小值。（15分）答案与解析：1.答案：7解析：由\(x^2+3x+1=0\)可知\(x\neq0\)，方程两边同时除以\(x\)得\(x+3+\frac{1}{x}=0\)，即\(x+\frac{1}{x}=-3\)。两边平方得\((x+\frac{1}{x})^2=(-3)^2\)，展开得\(x^2+2+\frac{1}{x^2}=9\)，所以\(x^2+\frac{1}{x^2}=7\)。2.答案：\(-\frac{1}{2}\)解析：因为\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^+2(ab+bc+ca)\)，已知\(a+b+c=0\)，\(a^2+b^2+c^2=1\)，代入可得\(0=1+2(ab+bc+ca)\)，解得\(ab+bc+ca=-\frac{1}{2}\)。3.答案：\(r=\frac{12}{5}\)或\(3\ltr\leq4\)解析：先根据勾股定理求出斜边\(AB=5\)。过点\(C\)作\(CD\perpAB\)于\(D\)，根据三角形面积公式可得\(\frac{1}{2}AC\cdotBC=\frac{1}{2}AB\cdotCD\)，即\(\frac{1}{2}\times3\times4=\frac{1}{2}\times5\timesCD\)，解得\(CD=\frac{12}{5}\)。当圆与斜边\(AB\)相切时，\(r=\frac{12}{5}\)；当圆与斜边\(AB\)相交且只有一个公共点时，\(3\ltr\leq4\)。4.（1）答案：\(m\gt-\frac{3}{2}\)解析：对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)，判别式\(\Delta=b^2-4ac\)，此方程中\(a=1\)，\(b=-2(m+1)\)，\(c=m^2-2\)，要使方程有两个不相等的实数根，则\(\Delta\gt0\)，即\([-2(m+1)]^2-4\times1\times(m^2-2)\gt0\)，展开化简得\(4(m^2+2m+1)-4m^2+8\gt0\)，\(4m^2+8m+4-4m^2+8\gt0\)，\(8m+12\gt0\)，解得\(m\gt-\frac{3}{2}\)。（2）答案：\(m=1\)或\(m=-5\)解析：由韦达定理得\(x_1+x_2=2(m+1)\)，\(x_1x_2=m^2-2\)。因为\((x_1+x_2)^2-(x_1x_2)^2=0\)，所以\((x_1+x_2)^2=(x_1x_2)^2\)，即\(x_1+x_2=x_1x_2\)或\(x_+x_2=-x_1x_2\)。当\(x_1+x_2=x_1x_2\)时，\(2(m+1)=m^2-2\)，整理得\(m^2-2m-4=0\)，解得\(m=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{2}=1\pm\sqrt{5}\)；当\(x_1+x_2=-x_1x_2\)时，\(2(m+1)=-(m^2-2)\)，整理得\(m^2+2m=0\)，解得\(m=0\)或\(m=-2\)。又因为\(m\gt-\frac{3}{2}\)，所以\(m=1\)或\(m=-5\)。5.答案：\(DG=2\)解析：因为四边形\(ABCD\)是平行四边形，所以\(AD\parallelBC\)，\(AB=CD=5\)，\(AD=BC=3\)。所以\(\angleAEB=\angleEBC\)，又因为\(F\)为\(BE\)中点，所以\(\triangleAEF\cong\triangleGBF(AAS)\)，则\(AE=BG\)。设\(AE=x\)，则\(BG=x\)，\(DG=5-x\)，\(DE=3-x\)。因为\(AD\parallelBC\)，所以\(\frac{DE}{BC}=\frac{DG}{AB}\)，即\(\frac{3-x}{3}=\frac{5-x}{5}\)（此处可简单说明一下，由平行关系可得相似三角形，对应边成比例），解得\(x=1\)，所以\(DG=2\)。6.答案：144解析：由\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{12}\)可得\(b=\frac{12a}{a-12}=12+\frac{144}{a-12}\)。因为\(a\)、\(b\)为正整数，所以\(a-12\)能整除\(144\)，且\(a\gt12\)。当\(a-12=1\)时，\(a=13\)，\(b=156\)，\(a+b=169\)；当\(a-12=2\)时，\(a=14\)，\(b=84\)，\(a+b=98\)；当\(a-12=3\)时，\(a=15\)，\(b=60\)，\(a+b=75\)；当\(a-12=4\)时，\(a=16\)，\(b=48\)，\(a+b=64\)；当\(a-12=6\)时，\(a=18\)，\(b=36\)，\(a+b=54\)；当\(a-12=8\)时，\(a=20\)，\(b=30\)，\(a+b=50\)；当\(a-12=9\)时，\(a=21\)，\(b=28\)，\(a+b=49\)；当\(a-12=12\)时，\(a=24\)，\(b=24\)，\(a+b=48\)；当\(a-12=16\)时，\(a=28\)，\(b=21\)，\(a+b=49\)；当\(a-12=18\)时，\(a=30\)，\(b=20\)，\(a+b=50\)；当\(a-12=24\)时，\(a=36\)，\(b=18\)，\(a+b=54\)；当\(a-12=36\)时，\(a=48\)，\(b=16\)，\(a+b=64\)；当\(a-12=48\)时，\(a=60\)，\