第四章 三角形专题二 全等三角形 考点3 构造全等三角形的常用方法（教学设计） 初中数学七年级下册 北师大版

第四章三角形专题二全等三角形考点3构造全等三角形的常用方法（教学设计）初中数学七年级下册北师大版

一、教学内容分析

本节课为初中数学七年级下册第四章三角形专题二全等三角形的核心考点，聚焦于全等三角形的构造方法。全等三角形是平面几何的基础，是连接三角形性质与四边形、相似形等后续知识的桥梁。学生已掌握全等三角形的定义、性质及五种基本判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），但面对复杂几何图形或缺少直接判定条件时，往往缺乏主动构造全等三角形的意识与能力。因此，本节内容旨在引导学生突破这一难点，掌握在特定图形中通过添加辅助线构造全等三角形的常见策略，是几何学习从“识别”走向“构造”、从“被动”走向“主动”的关键转折点，具有高度的技巧性与思维价值，对培养学生的几何直观、逻辑推理与数学建模素养【核心】【重要】。

二、学情分析

七年级学生正处于从形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。他们已具备初步的几何观察能力和简单的推理基础，能运用全等三角形的判定方法解决直接条件的问题。然而，当图形变得复杂、条件隐含或需要添加辅助线时，学生常感到无从下手，思维容易受阻。主要障碍在于：一是缺乏“构造”意识，习惯于“看到什么证什么”；二是对辅助线的作用理解不深，不知为何而添、从何而添；三是添线后不知如何运用新条件与旧条件建立联系。因此，本设计将通过典型问题情境，引导学生分析图形特征，揭示构造全等三角形的内在逻辑，帮助学生建立“条件不足，构造来补”的思维模式，逐步掌握构造全等三角形的基本策略【难点】【重点】。

三、教学目标设计

1、知识与技能目标：学生能理解构造全等三角形的必要性；掌握四种常用构造方法：倍长中线法、截长补短法、作平行线法、作垂线法；能根据具体问题情境选择恰当的方法构造全等三角形，并运用全等三角形的性质解决线段相等、角相等及线段和差倍分问题【基础】【高频考点】。

2、过程与方法目标：通过对典型例题的探究与分析，经历观察、猜想、操作、验证、归纳的数学活动过程，体验几何直观与逻辑推理的结合；掌握从复杂图形中分离基本图形、通过添加辅助线化未知为已知的转化思想【核心】。

3、情感、态度与价值观目标：在克服困难、解决问题中获得成功的体验，树立学习几何的信心；感受几何图形的内在美与数学方法的普适性，培养严谨求实的科学态度和勇于探索的创新精神。

四、教学重难点

1、教学重点：掌握构造全等三角形的四种常用方法：倍长中线法、截长补短法、作平行线法、作垂线法，并能初步应用。

2、教学难点：理解辅助线在几何证明中的桥梁作用；能根据图形特征和问题目标，灵活选择并恰当运用构造方法。

五、教学方法与学法指导

采用“启发式-探究式”教学法，以问题串驱动教学，引导学生自主探索与合作交流。教师作为课堂的组织者、引导者与合作者，通过精心设计的问题情境，激发学生思维，适时点拨关键步骤。学法上，倡导学生动手画图、动眼观察、动脑思考、动口表达，在“做数学”的过程中领悟构造方法的精髓，实现知识的主动建构。

六、教学实施过程

（一）情境导入，唤醒认知

教师首先展示一个基础问题：已知在三角形ABC中，AB=AC，D是BC上一点，E是AD上一点，且BE=CE。求证：角BAE等于角CAE。学生观察后发现，虽然已知条件看似丰富，但AB=AC和BE=CE这两组相等线段分布在三角形ABE和ACE中，缺少夹角相等的条件，无法直接证明全等。此时教师提出问题：“直接证明行不通，我们能否通过某种方式，将已知条件集中到一对新的三角形中，从而证明角相等？”此问题迅速聚焦于本节课的核心——构造全等三角形。教师顺势引出课题，并点明：当现有图形中全等三角形“不存在”或“不易证明”时，我们需主动“制造”全等三角形来解决问题。这个过程就是构造，而构造的常用工具就是添加辅助线【基础】。

（二）探究新知，归纳方法

本环节分四个模块展开，每个模块均遵循“问题呈现-自主探究-方法归纳-变式巩固”的流程。

1、方法一：倍长中线法

（1）【问题1】已知：如图1，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线。求证：AB+AC大于2AD。

（2）【自主探究】学生初见此题，发现结论涉及三条线段之和与中线的关系，直接证明困难。教师引导学生分析：中线AD有何特性？它将三角形分成哪两部分？要比较AB+AC与2AD的大小，能否将这三条线段转移到同一个三角形中？【难点】

（3）【方法归纳】在教师的启发下，学生想到延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。此时，因为D是中点，所以BD=CD，又对顶角相等，易证三角形ABD全等于三角形ECD（SAS）。通过全等，将AB转移到了CE的位置。于是，在三角形ACE中，根据三角形三边关系，有CE+AC>AE，即AB+AC>2AD。学生亲自动手画图、书写证明过程后，教师总结：这种通过延长中线，使延长线段等于中线，从而构造全等三角形的方法，称为“倍长中线法”。它的核心作用是将分散的条件（如线段、角）集中到一个三角形中，或构造出与已知图形全等的三角形，以实现线段的转移和等量关系的建立【核心】【高频考点】。

（4）【变式巩固】若原题改为“求证：AB-AC<2AD”，方法是否依然适用？学生讨论后认为，同样倍长中线，利用三角形两边之差小于第三边即可证明。通过变式，加深学生对倍长中线法本质的理解——其目的在于实现线段的等量转移。

2、方法二：截长补短法

（1）【问题2】已知：如图2，在三角形ABC中，角B=2角C，AD平分角BAC。求证：AB+BD=AC。

（2）【自主探究】此问题结论为线段和等于另一线段，是典型的“和差问题”。学生陷入沉思，不知如何将AB和BD拼接到一起，或者从AC中“切”出一部分来。【难点】【热点】

（3）【方法归纳】教师引导学生思考两种思路：

思路一（截长法）：在AC上截取一点E，使AE=AB，连接DE。由于AD平分角BAC，易证三角形ABD全等于三角形AED（SAS）。从而得到BD=DE，角B=角AED。又因为角B=2角C，所以角AED=2角C。而角AED是三角形CDE的外角，故角AED=角C+角EDC，因此角C=角EDC，所以DE=EC。于是AC=AE+EC=AB+DE=AB+BD。

思路二（补短法）：延长AB至点F，使BF=BD，连接DF。则角F=角BDF。因为角ABC是三角形BDF的外角，所以角ABC=角F+角BDF=2角F。又已知角ABC=2角C，所以角F=角C。由AD平分角BAC，可得角FAD=角CAD，加上公共边AD，可证三角形ADF全等于三角形ADC（AAS）。所以AF=AC，即AB+BF=AB+BD=AC。

教师引导学生对比两种方法，总结：当需要证明线段的和差倍分关系时，可以考虑“截长”或“补短”。截长法是在长线段上截取一段等于某一条短线段；补短法是将一条短线段延长，使延长部分等于另一条短线段。两种方法都是通过构造全等三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一直线上，从而使问题得证【核心】【高频考点】。

（4）【变式巩固】若将结论改为“求证：AB-BD=AC”，你该如何构造？学生思考后指出，可以反向操作，或在截长法中截取AE使AE=AC等，但最终需要回归到通过构造全等转移线段的目的上。

3、方法三：作平行线法

（1）【问题3】已知：如图3，在三角形ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E在AC上，且AD=AE。求证：DE垂直于BC。

（2）【自主探究】学生观察图形，DE和BC是两条看似无关的线，要证明垂直，通常需要证明它们所形成的角为90度，或将其转化到直角三角形中。【难点】

（3）【方法归纳】教师启发：题目条件中有等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，这为构造平行线提供了可能。如何利用这些等腰条件？学生可能想到，过点D作DF平行于AC，交BC的延长线于点F。因为DF平行于AC，所以角DFB=角ACB。又因为AB=AC，所以角B=角ACB，从而角B=角DFB，所以DB=DF。由AD=AE，可得角AED=角ADE。又因为AE平行于DF，所以角AED=角EDF。因此角ADE=角EDF，即DE平分角ADF。在等腰三角形BDF中，DB=DF，且DE平分顶角，根据等腰三角形三线合一，可得DE垂直于BF，即DE垂直于BC。此方法通过作平行线，构造了新的等腰三角形和角平分线模型，巧妙地将已知的等腰关系转移并应用。教师总结：当图形中出现等腰三角形或有相等角的条件时，通过作平行线可以构造出新的等腰三角形、相似三角形或全等三角形，从而实现角的转移或线段比例的建立【重要】。

（4）【变式巩固】若点E在AC的延长线上，其他条件不变，结论还成立吗？学生画图尝试，进一步体会作平行线法的适用情境。

4、方法四：作垂线法

（1）【问题4】已知：如图4，在三角形ABC中，AD垂直于BC，若角B=2角C。求证：AB+BD=CD。

（2）【自主探究】此问题同时包含了垂直、二倍角以及线段和差关系，综合性较强。【难点】

（3）【方法归纳】教师引导学生分析：条件中有AD垂直于BC，这为构造直角三角形提供了便利。能否利用垂直，构造出与已知角或已知线段相关的全等三角形？学生经过讨论，可能想到在线段CD上截取一点E，使DE=DB，连接AE。因为AD垂直于BC且DE=DB，则AD是BE的垂直平分线，所以AB=AE，且角B=角AEB。又角AEB是三角形ACE的外角，所以角AEB=角C+角CAE。已知角B=2角C，所以2角C=角C+角CAE，从而角C=角CAE，所以AE=CE。于是CD=DE+EC=DB+AE=DB+AB。此方法本质上结合了截长法与利用垂直构造全等的思路。另一种常见作法是：过点A作AE垂直于AB，交BC的延长线于点E，通过构造直角三角形来转化角的关系。教师总结：当题目中出现高线、垂直或直角条件时，可以通过作垂线来构造直角三角形全等（HL判定），或将角的条件转移到直角三角形中，利用直角三角形的性质解决问题【重要】。

（4）【变式巩固】引导学生思考，如果没有AD垂直于BC这个条件，只有角B=2角C，要证明AB+BD=CD，又该如何处理？这能让学生体会到辅助线的添加是“因题制宜”的。

（三）综合应用，提升思维

教师出示一道综合题：【例题】已知在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，角B=角E，F为CD中点。求证：AF垂直于CD。

（1）【审题分析】学生观察图形，发现这是一个不规则五边形，条件AB=AE，BC=DE，角B=角E分别位于两边。直接证明AF垂直于CD十分困难。【难点】

（2）【合作探究】小组讨论，教师巡视指导，引导学生思考：F是中点，要证明AF垂直于CD，联想到等腰三角形三线合一性质，可以尝试构造以A为顶点的等腰三角形，使AF成为底边上的中线，则底边必为CD。但A和C、D如何联系？已有的边等条件如何利用？学生逐渐意识到，需要将条件集中起来，构造与A点相关的全等三角形。

（3）【方法选择与构造】有小组提出，连接AC和AD。若能证明AC=AD，则三角形ACD为等腰三角形，F为中点，则AF垂直于CD。问题转化为证明AC=AD。如何证明？已知AB=AE，BC=DE，角B=角E，这不正满足“两边及夹角”的条件吗？可以连接AC和AD，那么三角形ABC全等于三角形AED（SAS）。由此得到AC=AD，命题得证。

（4）【反思提升】此题虽未直接用到上述四种构造方法，但其核心思想在于“根据目标，反向推导，构造所需”。题目本身不复杂，但很好地体现了“构造”的思维路径：为了证明垂直（目标），联想到等腰三角形的性质（模型），从而需要构造等腰三角形（通过连接AC、AD），而构造等腰三角形又依赖于证明三角形ABC与AED全等（利用已知条件）。整个过程层层递进，环环相扣，是对“构造思想”的深刻诠释。教师引导学生回顾本节课所学，点明：无论是倍长中线、截长补短、作平行线还是作垂线，其本质都是通过辅助线，将隐含的条件挖掘出来，将分散的条件集中起来，将陌生的图形转化为熟悉的基本图形，从而搭建起已知与未知之间的桥梁【核心】【升华】。

（四）课堂小结，构建体系

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1、知识层面：回顾四种常用构造全等三角形的方法——倍长中线法、截长补短法、作平行线法、作垂线法，明确其适用情境。

2、方法层面：添加辅助线是几何解题的“利器”，其基本原则是“形变而量不变”，目的是构造出可证的全等三角形。

3、思想层面：本节课贯穿始终的核心思想是“转化思想”，即将复杂的、未知的问题转化为简单的、已知的问题。构造全等三角形是实现这种转化的有效手段。

（五）分层作业，巩固拓展

1、基础巩固题：完成课后习题中直接应用本节课四种方法的题目，巩固对每种构造方法的理解与基本应用【基础】。

2、能力提升题：寻找一道需要构造全等三角形证明的几何题，尝试用至少两种不同的方法构造并证明，体会方法的多样性。

3、探究拓展题：查阅资料或与同学讨论，了解在证明“勾股定理”或三角形中的其他重要结论时，是如何通过构造全等三角形来实现的，撰写一篇百字左右的数学小短文。

七、板书设计

主板书左侧依次列出四种构造方法的名称、核心图形、操作要点及典型例题图示。右侧为综合例题的解题流程图，从问题出发，经过分析、构造、证明，最终回到结论，清晰展示解题思维路径。黑板中央上方板书课题“构造全等三角形的常用方法”，下方留白用于书写关键步骤和注意事项。