中学生标准学术能力（TDA）诊断性测试高三上学期12月测试数学

中学生标准学术能力（TDA）诊断性测试2026届高三上学期12月测试数学试题一、单选题1．已知相关变量和的散点图如图所示，若用与拟合时，决定系数分别为和，则比较和的大小结果为（

）A． B． C． D．不确定2．已知集合，集合，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（

）A．4 B．2 C． D．4．已知数列的前项和为，数列满足，，则（

）A．1988 B． C．32 D．5．如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（

）A． B． C． D．6．已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（

）A． B．是直角三角形C． D．是钝角三角形7．函数的图象如图所示，下列说法错误的是（

）A．B．向左平移个单位后是奇函数C．的对称轴为，D．的减区间为，8．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．函数是具有周期性的奇函数B．若关于的方程在上有且仅有一个根，则C．，，满足D．若的图像与直线在上恰有3个交点，则二、多选题9．若为复数，则下列说法正确的有（

）A．若，则为实数B．C．若，则的最大值为D．若，则在复平面内对应的点在第二象限10．已知苗圃中树苗的高度服从正态分布，现从苗圃中随机抽取了100棵树苗进行高度统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，将样本频率当作概率，则下列结论正确的是（

）A．，B．树苗高度的下四分位数的估计值为105C．若从高度位于第一组和第七组的样本树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为，，则的概率为D．已知落在的平均高度是88，方差是8，落在的平均高度为96，方差是4，则两组树苗合并后的方差为1711．如图所示，正方体的棱长为2，点和点分别是棱，上的动点，则下列说法正确的是（

）A．过点，的正方体截面可以是直角三角形B．为定值4C．直线与直线所成角余弦值的取值范围为D．直线与面夹角的最小值为三、填空题12．在的展开式中，含项的系数为.13．三棱锥的四个顶点均在半径为3的球表面上，线段恰经过的外心且，则棱的长为.14．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为.四、解答题15．已知函数，.(1)若存在使得成立，求的取值范围；(2)当时，在定义域内恒成立，求的取值范围.16．如图所示，已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，面积为的平行四边形所在平面与平面垂直，且平面平面，点到平面的距离为.(1)求的长；(2)若的长为，求的长.17．牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点；在点处作曲线的切线，设与轴交于点重复以上过程，得的近似值序列：，并称数列为函数的牛顿数列.已知函数，函数满足.(1)求函数的解析式；(2)若数列满足且（e为自然对数），求数列的前项积.18．养鱼户在某个池塘中养殖鳜鱼、鲢鱼和草鱼，为统计池塘中鱼的数量，采用标记重捕法：先从鱼塘中捞出条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，再从鱼塘中捞出条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数.已知养鱼户第一次捕捞了1000条鱼，做好标记放回一段时间后，再次捕捞了2000条鱼，具体情况如下表：种类鳜鱼鲢鱼草鱼第一次捕捞鱼（条）100600300第二次捕捞鱼（条）1971211592第二次捕捞标记鱼（条）53015(1)请根据两次捕捞和标记情况，利用标记重捕法估计池塘中鱼的总数；(2)已知鱼苗经养殖一年后，鳜鱼的市场价为40元/条，鲢鱼和草鱼都是12元/条，以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计总体，用频率估计概率，假设一网捕捞40条鱼，鱼的总市场价为随机变量.（i）求的均值；（ii）是否有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元（即一网鱼总价超过500元的概率不小于0.9）？参考数据：.19．已知抛物线，是准线，平面内一动点到点的距离是到直线的距离的一半，记的轨迹为曲线.(1)求的方程，并说明是什么曲线；(2)已知，，过点的直线交于点，过点的直线交于点，直线过点，直线，交于点，直线，交于点，求线段的最小值.

参考答案1．C【详解】由散点图知，用拟合的效果比用拟合的效果要好，所以.故选：C.2．B【详解】因为，且所以，又因为，因此的可能取值为，即，解不等式，整理得，所以，所以，解得，又因为，所以，因为，所以由“”能推出“”,故“”是“”的必要条件；因为不包含于（中有不属于），所以“”不能推出“”，故“”是“”的非充分条件，因此，“”是“”的必要非充分条件.故选B.3．C【详解】由双曲线可得一条渐近线方程为，所以由题意可知：，故选：C.4．B【详解】因为数列满足，所以所以，又因为，则，所以.故选：B.5．A【详解】由题意得，，，所以，因为，，，所以，，，所以.故选：A.6．B【详解】由题意有：，所以，所以，即，故A正确；由，所以或，而，即，由，又，又因为，所以，即，所以是钝角三角形，故D正确，B错误；又，所以，故C正确；故选：B.7．A【详解】结合函数的图象，设其最小正周期为，则，所以，因，所以，又因为，所以，因，由图知，图象过点，则，所以，即，由，可得，所以，故A错误；把向左平移个单位可得是奇函数，故B正确；由，可得的对称轴为，，故C正确；由，可得，即的减区间为，，故D正确.故选：A.8．D【详解】对于选项A，由，用替换得，又，所以，且的定义域为，所以为奇函数.假设函数是周期函数，周期为，则，由，得，所以对任意都成立，取，得，因为函数为奇函数，所以，所以，与矛盾.故不是周期函数，故选项A错误；对于选项B，当时，，又为奇函数，所以当时，，所以，当时，，此时取任意实数，方程都有实根，故选项B错误；对于选项C，因为当时，，任取，，，，所以，C选项错误；对于D选项，当时，，当时，，由得当时，，，当时，，，因为，以代，得，所以，所以，因为，所以，当时，，，当时，，.在同一坐标系内作出函数，的图象，和直线的图象，如图观察图象可知，当直线与在和上的图象相切时，的图象与直线在上恰有3个交点.由，消去得，由，得，所以；由，消去得，由，得，所以.所以的图象与直线在上恰有3个交点时，故选项D正确.故选：D9．ACD【详解】对于A：设，若，则，即，则为实数，A选项正确；对于B：若，则，B选项错误；对于C：因为，则，则的最大值为，C选项正确；对于D：若，则在复平面内对应的点在第二象限，D选项正确；故选：ACD.10．ACD【详解】由频率和为1可得：，解得：；利用中点值来估计平均数：，故A正确；树苗高度的下四分位数，即分位数，设下四分位数为，则，解得：，即树苗高度的下四分位数的估计值为，故B错误；根据频率可计算高度位于第一组和第七组的样本树苗各有棵，从这10棵树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为，，则的概率为，故C正确；已知落在的平均高度是88，方差是8，落在的平均高度为96，方差是4，由频率分布直方图可知：两组树苗落在和的频率分别为，可得这两组树苗合并后的平均数为：，根据分层计算的方差公式，可得：，故D正确；故选：ACD11．BC【详解】正方体截面要是三角形，则该截面必须与同一顶点出发的三条棱相交，因为该截面要过点，所以只能都在最左侧（或者最右侧）截面才是三角形,根据正方体性质得到该三角形为等腰三角形，如图以为例，，设，其中，则由余弦定理得到，所以为锐角，所以必定为锐角三角形；所以过点，的正方体截面若为三角形只能是锐角三角形，选项A错误；以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则

则，，则，选项B正确；直线与直线所成角为则，因为，所以，选项C正确；面的法向量为，设直线与面夹角为，则,因为，所以，因此直线与面夹角的最大值为，选项D错误.故选：BC12．【详解】由题意得：，故答案为：.13．【详解】连接，因为线段恰经过的外心，所以平面，垂足为，又因为平面，所以，因为球的半径为，所以，又因为，所以，，在中，，在中，.故答案为：.14．【详解】由题意有：，又，所以，令，即，又，由，所以在上单调递增，所以在上单调递增，由，所以，令，即，所以，所以当时，，所以在单调递减，所以，所以，又，所以，故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）方法一：存在使得成立，即存在使得成立设，，令，，当时，，单调递增，当时，单调递减，，方法二：，，①当时，，函数在上单调递增，因为，所以总存在使得成立②当时，令解得；令解得，故此时函数在上单调递增，在上单调递减，因为存在使得成立，，综上所述，；（2）由（1）可知，当时，在恒成立，所以函数在恒成立，方法一：问题转化为在恒成立，设，，，设，当，，在单调递增，当，，故，在单调递增，根据洛必达法则，，，；方法二：设，，①当时，在恒成立，在单调递增，，即在恒成立，②当时，由，解得，在单调递增，由，解得，在单调递减，，即在不能恒成立，舍去；综上所述，.16．(1)3(2)【详解】（1）中，由得，如图所示，过作于，又平面平面，平面平面，平面，平面即为点到平面的距离，在中，（2）中，由题意可知：，或（舍），即，如图所示，过作于，与交于点，由（1）可知平面，平面，，同理可证，又，，平面，平面平面，17．(1)(2)【详解】（1）由题意得，设切点为，由切线几何意义得切线斜率为，故切线方程为，则令，得，由给定定义知在该切线上，所以，所以；（2）由题，且，所以，所以数列是一个首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，所以.18．(1)40000条(2)（i）592；（ii）有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元【详解】（1）根据题意得，，，所以（条）.（2）（i）由题意可知以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计整体，一网鱼中某条鱼为鳜鱼的概率为，所以一网鱼中鳜鱼的数量，则总价，，故（元）；（ii）当一网鱼没有鳜鱼时，总价为元，有一条鳜鱼时，总价为元，一网鱼总价超过500元即一网鱼中至少有一条鳜鱼，由（