初中数学九年级下册《相似三角形的应用》教学设计（人教版）

初中数学九年级下册《相似三角形的应用》教学设计（人教版）

一、教学基本信息

课题名称：相似三角形在实际问题中的建模与应用

授课年级：初中九年级

授课课时：2课时（共90分钟）

教材版本：人民教育出版社《数学》九年级下册第二十七章《相似》第27.2.3节

课程类型：新授课（应用专题课）

设计理念：本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，秉承“现实情境—数学抽象—模型构建—问题解决—迁移创新”的教学逻辑。强调数学建模核心素养的培养，引导学生将抽象的相似三角形原理与真实世界复杂问题建立联结。通过项目式、探究式学习，发展学生的几何直观、空间观念、推理能力和应用意识，体现数学的广泛应用价值。

二、教材与学情深度剖析

（一）教材分析

本节内容“相似三角形的应用”位于人教版九年级下册《相似》一章的末端，是整章知识的综合应用与价值升华点。从知识脉络看，学生已系统学习了相似图形的概念、相似三角形的判定定理（SSS,SAS,AA,HLforRt△）与基本性质（对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）。本节旨在将前述知识置于鲜活的实际问题背景中，实现从“知”到“用”的跃迁。

教材通过“测量金字塔高度”（古代）、“测量河宽”（近代）等经典例题，揭示了利用相似三角形进行“间接测量”的核心思想。其数学本质是构建“A”型或“X”型基本相似模型，将不可直接测量的几何量（高、宽、深）转化为可直接或易测量的几何量，通过比例关系求解。这不仅是几何知识的应用，更是数学模型（相似模型）构建思想的初步体验，为高中学习解三角形、立体几何及物理中的光学等内容奠定基础。

本节教学的深层价值在于：1)思想方法层面：渗透转化与化归、模型思想、数形结合思想；2)能力层面：强化识图、构图能力，提升从实际情境中抽象数学关系并求解的能力；3)素养层面：培育数学建模、直观想象、逻辑推理等核心素养。

（二）学情分析

认知基础：

1.知识储备：学生已熟练掌握相似三角形的判定与性质，具备基本的几何证明与计算能力。能够识别复杂图形中的基本相似结构。

2.经验储备：在七年级、八年级已接触过全等三角形的应用，对“几何方法解决测量问题”有初步感知。生活中对影子、视觉、地图比例尺等有感性认识。

3.思维特征：九年级学生抽象逻辑思维进一步发展，具备一定的分析、综合、归纳能力，但对复杂实际问题的数学化处理（特别是构建几何模型）仍存在困难，常表现为“情境剥离困难”和“模型提取障碍”。

潜在困难与突破策略：

1.困难1：从文字描述到几何图形的转化不清。→策略：强化“示意图”绘制指导，总结“将实际问题几何化”的步骤（确定观测点、视线、障碍物，标注已知和未知量）。

2.困难2：在复杂背景中识别或构造相似三角形不敏锐。→策略：设计从“标准图形”到“嵌入图形”再到“实际情境图”的梯度训练，运用几何画板动态演示，突出关键相似结构。

3.困难3：比例式建立错误或求解比例式遇到障碍。→策略：回顾比例性质，强调“对应边”的确定方法，规范书写，并准备代数解法备用。

4.困难4：理解方案的可行性与局限性。→策略：引入方案对比、误差分析讨论，引导学生从数学原理和实际操作两个维度评价测量方案。

三、教学目标

依据课程标准与学科核心素养要求，制定以下三维目标：

（一）核心素养导向目标

1.数学建模：经历从具体实际问题中抽象出几何问题、构建相似三角形模型、求解模型、解释与检验结果的全过程，初步形成运用相似模型解决一类测量问题的能力。

2.直观想象与几何直观：能够根据题意准确绘制示意图，在复杂图形中敏锐识别或通过添加辅助线构造出“A”型或“X”型相似结构，发展空间想象力和图形处理能力。

3.逻辑推理：能够严谨地根据相似三角形的判定定理证明所构造三角形的相似性，并依据性质列出比例等式，进行合乎逻辑的运算与推理。

4.数学应用意识：深刻体会数学源于生活又服务于生活的价值，激发主动运用数学知识探索和解决现实世界问题的兴趣与信心。

（二）关键能力与知识目标

1.知识与技能：

1.2.掌握利用相似三角形进行测高、测距、测深等间接测量的基本原理与方法。

2.3.能够针对不同的测量情境（有平行线、无平行线、有障碍物等），灵活选择或构造合适的相似三角形模型。

3.4.能够规范、清晰、完整地书写测量问题的解题过程。

5.过程与方法：

1.6.通过“情境引入—探究建模—范例解析—变式训练—项目实践”的学习路径，掌握解决相似三角形应用问题的一般思路。

2.7.学会使用工具（如标杆、镜子、测角仪等）辅助构建相似模型，理解其数学原理。

3.8.在小组合作中，提升分析问题、设计方案、交流表达和协作解决问题的能力。

（三）品格与价值目标

1.感受古代数学家（如泰勒斯）的智慧，体会数学的历史文化价值。

2.培养严谨求实的科学态度，认识到测量方案会受到精度、环境等条件限制，形成初步的误差意识与优化思维。

3.在解决跨学科（如物理光学、地理测绘、建筑艺术）问题的过程中，形成跨学科视野，认识数学作为基础学科的工具性作用。

四、教学重难点

1.教学重点：利用相似三角形解决测量问题的数学建模过程。具体包括：根据题意画示意图、寻找或构造相似三角形、建立比例式并求解。

2.教学难点：

1.3.难点一（模型构建）：在实际问题中，当相似三角形并非显性存在时，如何通过添加辅助线或利用工具（如镜子、标杆）创造性构造出相似模型。

2.4.难点二（方案理解与优化）：理解不同测量工具（影长法、镜面反射法、标杆法、测角仪法）背后的统一数学原理，并能根据具体条件选择或设计最优方案。

五、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件：包含情境动画（金字塔测量、河流宽度测量）、几何画板动态演示文件（展示不同条件下相似三角形的构造与变化）、例题与变式题的规范解析步骤。

2.3.教具：激光笔、小平面镜、标杆（可用长尺代替）、卷尺、自制简易测角仪。

3.4.学习任务单：包含探究活动记录表、阶梯式课堂练习、课后项目学习指引。

5.学生准备：

1.6.复习：相似三角形的所有判定定理与性质。

2.7.预习：阅读教材相关内容，思考生活中哪些地方可能用到相似原理。

3.8.工具：直尺、量角器、计算器、练习本。

六、教学过程（总时长：90分钟）

第一课时（45分钟）：构建模型，掌握测高测距基本方法

环节一：情境激疑，历史导入（预计时间：5分钟）

【教师活动】

1.播放一段简短视频/呈现图片，展示古埃及金字塔的雄伟，并提出千古之谜：“在两千六百多年前，没有现代精密仪器的古希腊学者泰勒斯，是如何测量出金字塔高度的？”

2.讲述泰勒斯利用“影长法”的故事：当他的影子长度与身高相等时，测量金字塔的影长，便得出其高度。

3.提出问题：“泰勒斯的这个方法，蕴含了什么数学道理？它是否永远可行？我们今天能否用更系统的数学语言来解释和拓展这种方法？”

【学生活动】

聆听故事，观察思考，产生好奇。部分学生可能能联想到影子与物体的相似关系。

【设计意图】

以数学史名例切入，迅速吸引学生注意，激发探究欲望。故事中的“等影长”是一个特例，自然引出一般化的数学思考，为本节课的数学模型构建做铺垫。

环节二：探究建模，从特例到一般（预计时间：15分钟）

【探究活动一：影子中的数学】

1.问题提出：如图（课件展示），阳光下，身高为AB的同学，其影长为BC。同时，一座高楼DE的影长为EF。如何求高楼DE的高度？

2.引导建模：

1.3.步骤一（实物抽象化）：引导学生将人、高楼、太阳光线、地面抽象为几何图形。教师板书画图：画出两条平行的太阳光线（AC∥DF），构成两个直角三角形（△ABC和△DEF）。

2.4.步骤二（模型识别）：提问：△ABC与△DEF是否相似？依据是什么？（学生回答：∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE，又∠B=∠E=90°，∴△ABC∽△DEF(AA)）。

3.5.步骤三（建立关系）：根据相似三角形性质，写出比例式：AB/DE=BC/EF。

4.6.步骤四（求解解释）：若AB=1.6m,BC=2m,EF=25m，则DE=(1.6*25)/2=20m。

7.深入讨论：

1.8.特例回顾：在泰勒斯的方法中，AB=BC，所以比例式简化为1=BC/EF，即DE=EF。解释其原理。

2.9.一般化结论：只要太阳光线平行（这是成立的关键前提），物体的高度之比就等于其影长之比。板书核心模型：平行光线下的“A”型相似模型。

3.10.局限性思考：如果没有太阳（阴天），这个方案还能用吗？如何改进？（引出需要人造平行光源，或使用其他方法）

【探究活动二：跨越河流的测量】

1.问题迁移：现在我们面对的是一条不可直接渡过的河流，需要测量其宽度AB。你只有尺子和一些标杆。

2.方案设计与建模：

1.3.方法一（教材基准法）：在课件上动画演示教材方法：在B点立标杆，在河岸另一边找一点C，使BC⊥AB；在BC延长线上找点D，使CD=BC；过D作DE⊥BD，使A、C、E三点共线，则DE=AB。

2.4.引导分析：①为什么要保证A、C、E共线？（确保视线）②证明△ABC≌△EDC？（SAS）。此方法运用的是全等，提问：能否用相似来解决？是否一定要CD=BC？

3.5.方法二（相似通法）：放松条件，不要求CD=BC。在河岸一侧选取观测点C，测量BC、CD的长度。在D点立标杆，调整观测位置E，使A、C、E共线，B、D、E共线。测量DE。

4.6.师生共研：绘制图形（“X”型或“A”型）。证明△ABC∽△EDC(AA)。列出比例式AB/ED=BC/DC。只要测出BC、DC、DE，即可求AB。

5.7.对比升华：方法一是方法二在“相似比为1”（即全等）时的特例。相似法更具一般性，对测量位置要求更灵活。板书核心模型：视线交叉下的“X”型相似模型。

【设计意图】

通过两个经典问题，引导学生完整经历数学建模的四个步骤。从特例（泰勒斯、全等法）到一般（相似法），渗透从特殊到一般的数学思想。对比不同方案，让学生理解相似法是更普适的工具，突破“必须找相等线段”的思维定势。

环节三：范例精讲，规范步骤（预计时间：10分钟）

【例题呈现】

（教材例题改编）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直。接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。测得QS=45m，ST=90m，QR=60m。求河的宽度PQ。

【教学流程】

1.学生自主读题、尝试画图（3分钟）。教师巡视，指导有困难的学生。

2.教师借助几何画板展示标准示意图，分析已知量和未知量，明确“河宽PQ”是目标。

3.师生合作分析：

1.4.模型识别：图中存在哪些平行关系？（PS⊥QS,PS⊥a,∴QS∥a；同理，PS⊥b）。由此可推出哪些角相等？（∠PQR=∠PST，∠PRQ=∠PTS）。

2.5.相似判定：∴△PQR∽△PST(AA)。

3.6.建立比例：对应边是PQ/PS=QR/ST=PR/PT。选择包含已知量和未知量的比例式：PQ/(PQ+QS)=QR/ST，即PQ/(PQ+45)=60/90。

4.7.求解方程：解分式方程，得PQ=90m。

8.教师总结解题关键步骤（板书框架）：

1.9.一、审题画图：将实际问题转化为几何图形，标注所有已知和未知量。

2.10.二、寻找/构造相似：利用平行、对顶角、公共角等条件，证明两个三角形相似。

3.11.三、列出比例：找准对应边，写出包含未知量的比例方程。

4.12.四、求解检验：解方程，并根据实际情况判断解的合理性。

13.变式提问：若点T的位置变动，但始终保持△PQR∽△PST，测量方案是否依然有效？这体现了相似方法的什么优势？（灵活性、鲁棒性）

【设计意图】

通过一道综合性例题，巩固建模思想，并将解题过程规范化、程序化。几何画板的动态演示帮助学生理解图形结构。总结“四步法”，为学生提供可操作的思维支架。

环节四：课堂练习，巩固内化（预计时间：10分钟）

【练习设计】（分层设计，学生任选2题完成）

1.基础题：小张在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，同一时刻测得某大楼的影长18米，则该大楼的高度是多少米？（直接应用“影长法”模型）

2.进阶题：如图，小明用手举着一根30cm长的木棒EF（手臂长度忽略不计），调整自己的位置，使木棒刚好完全挡住后方的大树AB。已知小明到木棒的距离FD为40cm，到大树的距离FD为20m，求大树的高度。（构造“A”型相似）

3.挑战题：为测量校园内一棵古树底部中心到教学楼的距离（不可直接到达），请你设计一个使用标杆和皮尺的测量方案，画出示意图，写出需要测量的数据，并给出计算距离的公式。

【教师活动】

巡视指导，重点关注基础薄弱学生完成基础题的情况，鼓励学有余力者挑战高阶题。选取有代表性的学生解法进行投影展示和简要点评。

【设计意图】

分层练习满足不同层次学生的需求，实现“保底不封顶”。从直接套用模型到需要简单构造，再到开放设计，梯度明显，逐步提升思维难度和自主性。

环节五：课堂小结，首尾呼应（预计时间：5分钟）

【师生共同总结】

1.知识层面：我们今天学习了利用相似三角形解决______和______两类基本测量问题。

2.方法层面：解决此类问题的一般步骤是：、、、。

3.思想层面：我们运用了______（数学建模）、______（从特殊到一般）等数学思想。

4.历史回望：现在我们能更深刻地理解泰勒斯测量金字塔的方法了吗？它本质上是今天所学的______模型在特定条件下的应用。

【设计意图】

结构化的小结帮助学生梳理本节课的知识体系、方法流程和思想精髓。与导入环节的历史故事呼应，形成完整的认知闭环，让学生体会到站在巨人肩膀上学习的成就感。

第二课时（45分钟）：方案创新，拓展迁移与项目实践

环节一：复习导入，承接旧知（预计时间：3分钟）

【教师活动】

快速回顾上节课的“四步法”和两种基本模型（“A”型与“X”型）。提出问题：“影长法需要阳光，标杆法需要无障碍视线。如果测量环境更苛刻，比如在室内测量屋顶高度，或者在丛林里测量无法接近的树高，我们有什么创新的办法？”

【学生活动】

回忆旧知，思考新情境下的挑战。

【设计意图】

温故知新，快速进入学习状态。提出新的挑战情境，激发学生探索新方法的欲望。

环节二：方案探究，工具创新（预计时间：20分钟）

【探究活动三：镜面反射法】

1.情境与工具：在室内测量天花板到地面的高度。提供工具：一块小平面镜、一把卷尺、一支激光笔（可选）。

2.原理探究（跨学科链接：物理光学）：

1.3.教师演示或将学生分组实验：将镜子平放在地面上，人后退直到能从镜子里刚好看到天花板上的目标点。

2.4.引导分析：根据光的反射定律（入射角=反射角），可以推导出什么几何关系？（法线平分入射光线和反射光线的夹角，进而推导出某些角相等）。

3.5.几何建模：教师板书画图：设眼睛为点E，镜子上的反射点为M，天花板目标为A，地面为水平线。作入射线EM和反射线MA，法线MN。由反射定律得∠EMN=∠AMN。又因为MN⊥地面（镜子水平放置），所以EM、MA与地面的夹角相等。从而可证△EMF∽△AMH（AA，F、H为E、A在地面的垂足）。

4.6.建立关系：测量人眼到镜子的水平距离EF，镜子到目标正下方的水平距离FH，以及人眼高度EF（或直接测量），即可求高度AH。

7.公式抽象：若EF=a,FH=b,人眼高EF=h，则AH/h=(a+b)/a=>AH=h*(a+b)/a。

8.对比优势：此方法不依赖平行光线，可在室内或无阳光环境下使用，且对空间要求较小。

【探究活动四：测角仪法（解直角三角形初步渗透）】

1.情境与工具：测量河对岸一座塔的高度AB。无法过河，但有一个自制测角仪（量角器加垂线）。

2.方案实施：

1.3.在河这边选择一点C，用测角仪测量仰角∠ACB=α。

2.4.后退到点D，再次测量仰角∠ADB=β。并测量CD的距离。

5.建模分析（此为难点，教师需细致引导）：

1.6.画出图形。设AB=x,BC=y。

2.7.在Rt△ABC中，tanα=x/y=>y=x/tanα。

3.8.在Rt△ABD中，tanβ=x/(y+CD)=x/(x/tanα+CD)。

4.9.得到一个关于x的方程：tanβ=x/(x/tanα+CD)。解此方程即可得x。

10.思想提升：此方法将几何问题完全代数化，通过两次测量，建立方程组求解。它已经触及高中“解三角形”的思想。指出：这虽然不是纯粹的相似三角形方法（涉及三角函数），但体现了更一般的“通过测量角度和部分长度求未知量”的测量学思想。相似法可看作是此法在特殊角度关系下的体现。

【设计意图】

引入两种创新方案，极大地拓宽了学生的视野。镜面反射法体现了数学与物理的融合，测角仪法则是一次面向高中思想的宝贵跳跃。让学生认识到，解决实际问题的方法是多元的，工具是发展的，但核心的建模思想不变。突破“仅用相似”的局限，培养综合应用知识的创新能力。

环节三：综合应用，思维拔高（预计时间：12分钟）

【综合例题】

某校数学兴趣小组的同学欲测量校园内旗杆旁一棵大树的高度。他们发现树的一部分影子落在了教学楼的墙上。具体情境如下：如图，树AB在地面上的影子为BC，落在墙上的影子为CD。同一时刻，测得一根1.5米长的标杆在地面上的影长为2米，在墙上的影长忽略不计。已测得BC=8米，CD=2米。请你帮助计算树高AB。

【教学流程】

1.学生小组讨论（5分钟）：这个问题的复杂之处在于影子被“分割”了。如何将墙上的影子“转化”到地面上来？关键是如何处理CD？

2.思路点拨与解析：

1.3.思路一（延长补全法）：假设没有墙，树的影子应该全部落在地面上，为BE。则CE部分就是墙上影子CD在地面上的“等效长度”。根据标杆数据，同一时刻，物高与地面影长之比为1.5:2=3:4。所以，墙上的影子CD=2米，相当于地面上多长的影子？设等效长度为x，则根据相似，2米高的物体此时的地面影长为(2*4/3)=8/3米。因此，树的总等效地面影长BE=BC+CE=8+8/3=32/3米。

2.4.思路二（分别处理法）：将树分为两部分：一部分高度为AD，其影子全部落在地上BC上；另一部分高度为DB=CD？不对。实际上，可以过D点作地面的平行线…此方法较繁，但可引导学生思考。

3.5.最后利用比例：AB/(32/3)=3/4=>AB=8米。

6.归纳提炼：处理“影子落墙”问题的核心是“统一基准”，将墙上的影长通过相似关系转化为等效的地面影长，从而回归到标准模型。

【设计意图】

此题综合性、思维性极强，是对学生模型应用能力和转化思想的重大考验。通过小组讨论和教师点拨，让学生面对复杂变式时，学会“化陌生为熟悉”，掌握“转化”这一核心数学策略。

环节四：项目式学习任务发布（预计时间：5分钟）

【任务主题】《校园测量师》

请以小组（4-5人）为单位，完成以下任务（课后一周内完成）：

1.任务A（必做）：选择校园内一个不可直接测量的目标（如：旗杆高度、教学楼宽度、池塘最宽处距离、篮球架高度等），设计至少两种不同的测量方案（需用到相似三角形原理）。

2.任务B（选做，鼓励完成）：实际实施其中一种方案，进行测量、记录数据、计算，并分析可能产生误差的原因。

3.成果形式：提交一份完整的项目报告，包括：①测量目标与情境描述；②两种方案的设计原理、示意图、所需工具、测量步骤、计算公式；③（若完成B）实际测量数据、计算过程、结果与误差分析；④小组分工与反思。

【教师活动】

清晰阐述任务要求，提供报告模板（可在学习任务单中），强调安全事项和爱护公物。

【设计意图】

将课堂学习延伸到真实的校园环境中，开展项目式学习（PBL）。这不仅能巩固和深化课堂所学，更能全面锻炼学生的实践能力、协作能力、数据处理能力和书面表达能力，实现深度学习。

环节五：全课总结，展望未来（预计时间：5分钟）

【教师引导总结】

1.知识网络图：师生共同构建以“相似三角形的应用”为中心的知识网络图，辐射出：基本模型（测高、测距）、基本工具（影子、标杆、镜子、测角仪）、核心思想（建模、转化）、一般步骤（四步法）。

2.价值升华：相似三角形不仅是解决几何问题的工具，更是人类认识世界、改造世界（测绘、建筑、艺术、军事）的重要数学模型。从金字塔到现代卫星测绘，其背后的数学原理一脉相承。

3.寄语：希望同学们掌握的不只是几道题的解法，而是“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”的能力。

【设计意图】

通过构建知识网络，使零散的知识系统化、结构化。通过价值升华，提升学生的数学格局和学科认同感。激励学生在未来的学习中继续探索数学的奥秘与应用。

七、板书设计

主板（左侧）：

相似三角形的应用

一、核心思想：数学建模

实际问题→几何图形→相似模型→求解→解释

二、基本模型

1.平行光线模型（“A”型）：

![A型模型简图]（文字描述：两直角三角形，斜边平行）

物高1/物高2=影长1/影长2

应用：测高（影长法）

2.交叉视线模型（“X”型）：

![X型模型简