核心素养导向下乘法结合律的探索、建模与迁移-小学四年级数学教学设计

核心素养导向下乘法结合律的探索、建模与迁移——小学四年级数学教学设计

  一、教学指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心思想为根本遵循，深度融合建构主义学习理论、社会文化理论及深度学习理念。我们认识到，数学运算律的教学不应止步于机械记忆与简单套用，而应将其置于学生数学核心素养发展的整体框架之中。乘法结合律作为整数运算体系中的一块关键基石，是培养学生“推理意识”和“模型意识”的绝佳载体。教学将从真实或拟真的问题情境出发，引导学生在主动的观察、猜想、验证、概括和表达中，亲历数学知识的“再创造”过程，实现从具体经验到抽象符号的数学化建构。同时，强调学习的迁移价值，引导学生将运算律视为优化运算、解决问题、理解更复杂数学关系（如后续学习乘法分配律、简便运算乃至代数运算）的思维工具，发展其数学思维的灵活性与严谨性。

  二、教学前端分析

  （一）教学内容分析

  乘法结合律是北师大版小学数学四年级上册第四单元“运算律”中的重要内容。在此之前，学生已经熟练掌握了两位数乘两位数的笔算，理解了乘法的意义，并在本单元初步探索了加法交换律和结合律，积累了研究运算律的基本活动经验。乘法结合律的表达式为：(a×b)×c=a×(b×c)。其数学本质在于，三个数相乘时，运算的先后结合顺序不影响最终的积。这一定律与乘法交换律共同构成了乘法运算的基础性质，是后续学习乘法分配律、整数及小数四则混合运算简便计算、乃至代数式运算的逻辑前提。本节课的教学难点不在于形式记忆，而在于理解其“为什么可以这样”的算理，并能在复杂的真实情境中辨识其结构，主动、合理地加以应用。

  （二）学生学情分析

  四年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们的思维特点表现为：

  1.已有经验：具备良好的乘法运算技能，对“几个几”的乘法意义理解扎实。通过加法运算律的学习，初步了解了“猜想-验证-结论”的探究模式，对“运算律”这一概念有了朦胧的感知。

  2.潜在困难：学生容易将乘法结合律与乘法交换律混淆，尤其在三个及以上因数相乘时，对“结合”与“交换”两种变化缺乏清晰辨析。另外，学生习惯于从左往右的顺序计算，对于“改变运算顺序”的必要性和优越性体会不深，往往认为定律是“多此一举”。

  3.兴趣与动机：学生对于有挑战性、能引发认知冲突的探究任务感兴趣，喜欢通过动手操作、小组合作来发现规律，享受“我是小数学家”的成就感。

  基于此，教学需设计对比强烈、能凸显结合律价值的情境，提供丰富的探究材料（如方块图、算式、实际问题），引导学生在比较、辩论中深化理解，实现从“知其然”到“知其所以然”的跨越。

  （三）教学目标

  依据课标要求、内容本质及学情分析，确立以下三维教学目标：

  1.知识与技能：

    （1）经历探索乘法结合律的过程，通过多种数学活动理解并掌握乘法结合律。

    （2）能用字母正确表示乘法结合律，初步体会符号的简洁与通用。

    （3）能运用乘法结合律对一些算式进行简便计算，解决相关的实际问题。

  2.过程与方法：

    （1）在解决实际问题的背景下，通过观察、猜想、举例验证、归纳概括等数学活动，发展合情推理与初步的演绎推理能力。

    （2）学会用数学语言（文字、图形、符号）清晰地表达运算规律，提升模型意识和抽象能力。

    （3）在对比不同计算策略的优劣中，体会运用运算律进行简算的优越性，培养优化意识。

  3.情感、态度与价值观：

    （1）在探索规律的过程中，体验数学探究的乐趣和成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

    （2）感受数学规律的普遍性和严谨性，养成实事求是、言必有据的科学态度。

    （3）初步感知运算律是数学大厦的基石，体会数学的简洁与和谐之美。

  （四）教学重点与难点

  教学重点：引导学生在充分的数学活动中自主发现、理解并概括乘法结合律。

  教学难点：理解乘法结合律的算理本质，能灵活、准确地辨析和应用该定律，特别是与交换律的综合运用情境。

  （五）教学准备

  1.教师准备：多媒体课件（内含动态演示、关键问题、练习设计）、交互式电子白板、探究学习单、不同颜色的磁贴小方块。

  2.学生准备：每人一份课堂探究学习单、彩色笔、运算律研究经验。

  三、教学实施过程

  第一环节：情境冲突，孕伏规律（预计用时：8分钟）

  （一）任务驱动，激活经验

  师：同学们，我们的“校园数学文化节”即将开幕，筹备组遇到了一个设计问题，请大家来做小参谋。文化节需要布置一个数字图案墙，初步设想是用一个个小正方形方块来拼组。其中一个核心图案计划这样设计：每行摆4个方块，每层摆这样的3行，一共要搭5层。请问，完成这个图案总共需要多少个小方块？

  （课件同步出示立体图示：一个由小方块组成的长方体，标注出行、层、高的数量关系。）

  师：请大家独立思考，将你的思考过程和算式清晰地记录在学习单任务一上。

  （学生独立尝试，教师巡视，收集典型解法。）

  （二）展示交流，引发冲突

  师：我看到大家已经有了好几种不同的思路。我们来分享一下。

  生1：我是先算一层有多少个方块。一层有3行，每行4个，所以一层是4×3=12（个）。一共有5层，所以总数是12×5=60（个）。算式是：(4×3)×5。

  （教师板书：(4×3)×5）

  生2：我是先算一列有多少个方块。一列有5层，每层是……（学生可能表述不清，教师引导观察“列”）。其实我是先算从前往后看，一列是3×5=15（个）？不对，等一下。（学生陷入思考，这是认知冲突点。）

  师：别着急，我们请课件帮帮忙，把这个图案“拆解”一下看看。

  （课件动态演示：将整个长方体模型，先按照“每行4个”的维度拆分成若干“长条”，每条有(3×5)个方块；或者先按照“每层3行”的维度拆分成若干“面片”，每片有(4×5)个方块。）

  生2（修正）：哦，我明白了！我可以先算从侧面看，一“条”有多少个。一“条”有3层，每层…不对，一“条”是高5层，每层在这个方向上是3个？我需要换个角度。我是先算一个“侧面”的大小：高是5层，宽是3行，所以一个侧面的方块数是3×5=15（个）。这样的侧面，沿着长的方向有4个，所以总数是15×4=60（个）。算式是：(3×5)×4。

  （教师板书：(3×5)×4）

  生3：我还可以先算底面积。底面长是4，宽是3，底面积是4×3=12。再乘层数5，也是60。算式是：4×(3×5)。

  （教师板书：4×(3×5)）

  师：（指向三个算式）大家仔细观察，虽然这三位同学思考问题的角度不同，列出的算式也不同，但结果都正确，都算出了60个方块。那么，这三个不同的算式之间，有没有什么内在的联系呢？

  （引导学生观察：(4×3)×5，(3×5)×4，4×(3×5)。学生初步感知到数字相同，运算顺序不同，但结果相等。）

  （三）提出猜想，聚焦问题

  师：这仅仅是一个巧合吗？在乘法运算中，是不是改变几个数相乘的结合顺序，积真的不会改变呢？这是一个值得我们深入研究的有趣猜想。今天，我们就一起来当一回“数学侦探”，揭开这个谜底。

  （教师板书课题核心词：乘法结合律？并在旁边打上一个问号，表示待探究。）

  第二环节：操作探究，建构模型（预计用时：18分钟）

  （一）多元表征，验证猜想

  师：要验证我们的猜想，我们需要更多的证据。请大家以小组为单位，从以下两个“证据包”中任选至少两种方法进行探究，把你们的发现记录在学习单任务二上。

  证据包A（几何直观）：利用手边的学具（小方块图或点子图），仿照刚才的例子，自己设计一个用连乘计算总数的问题（例如，计算一个长方体的小方块总数、计算几排几行几列的座位数等），并用两种不同的“结合”方式画图、列式计算，看结果是否相等。

  证据包B（算术推理）：任意选取三个数（建议大小适中），分别计算“(a×b)×c”和“a×(b×c)”的结果，比较是否相等。可以多举几组例子。

  证据包C（意义链接）：结合乘法的意义来解释。例如，对于(2×3)×4，你可以理解为“先算2×3得到每份数，再算这样的4份”；而对于2×(3×4)，你可以理解为“先算3×4得到一份的总数，再算这样的2大份”。思考这两种解释是否指向同一个总量。

  （学生小组合作，热烈探究。教师深入各组，聆听讨论，提供针对性指导，如提醒学生举例应涵盖一般情况，包括一位数、两位数，甚至特殊的0和1；引导学生用规范的语言描述自己的操作和发现。）

  （二）交流分享，归纳规律

  师：哪个小组来分享你们的“侦查成果”？

  组1：我们用的是证据包A。我们设计了一个“糖果盒”：每排有6颗糖，有2排，这样的盒子有5层。算式1：(6×2)×5=12×5=60（颗）。算式2：6×(2×5)=6×10=60（颗）。结果相等。我们的图也能说明。（展示画图）

  组2：我们用的是证据包B。我们举了例子：(5×8)×2=40×2=80，5×(8×2)=5×16=80，相等。(12×5)×4=60×4=240，12×(5×4)=12×20=240，相等。我们还试了有1的例子：(9×1)×7=9×7=63，9×(1×7)=9×7=63，也相等。

  组3：我们尝试用证据包C来解释。比如(4×2)×3，可以看作先算一个小组有4×2=8人，有3个这样的小组，总人数是8×3=24人。4×(2×3)可以看作先算一列有2×3=6人（假设3排），有4列，总人数是4×6=24人。都是算的总人数，所以相等。

  师：大家的证据非常充分！从具体的情境图，到大量的数字例子，再到乘法的意义解释，都支持了我们最初的猜想。那么，现在我们可以把这个问号擦掉了吗？

  生（齐）：可以！

  师：但我们数学讲究严谨。我们举了这么多例子，都能成功，那么有没有可能找到反例呢？请尝试找一找。

  （学生尝试，发现找不到反例。）

  师：是的，在整数乘法中，这个规律是普遍成立的。这就是我们今天要学习的“乘法结合律”。

  （三）抽象概括，符号建模

  师：谁能用最简洁、最通用的数学语言，把这条规律总结出来？

  （引导学生逐步抽象）

  生：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

  （教师板书文字表述。）

  师：总结得非常准确。在数学上，我们经常用字母来表示数，这样就能代表所有情况，体现了数学的简洁美和一般性。如果用a、b、c分别代表这三个乘数，谁能用字母式子来表示这个规律？

  生：(a×b)×c=a×(b×c)

  （教师完善板书：乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)）

  师：这里的括号，就标志着计算的“结合”顺序。这个等号，表示的是“结果相等”，它是一种等价关系。请大家齐读这个定律的文字和字母表达式，并在学习单上默写一遍，加深记忆。

  第三环节：深度思辨，明晰内涵（预计用时：12分钟）

  （一）对比辨析，厘清概念

  师：我们之前还学习了加法结合律和乘法交换律。现在有了乘法结合律，请大家小组讨论以下问题，完成学习单任务三：

  1.乘法结合律和乘法交换律有什么根本区别？你能结合例子说明吗？（例如，对比8×25×4的不同算法）

  2.运算律中的“结合”与“交换”，改变的是什么？（“结合”改变运算顺序，即谁和谁先算；“交换”改变数的位置，即谁和谁相乘。）

  3.在一个算式中，交换律和结合律可以同时使用吗？如果可以，通常会按什么步骤思考？

  （学生讨论后汇报）

  生1：交换律是换位置，像8×25×4，可以用交换律变成25×8×4；结合律是换括号，像先算25×4，再加括号结合。它们不一样。

  生2：有时候会一起用。比如算8×25×4，可以先利用交换律把25和4换到一起，变成8×(25×4)，这里既有交换，又有结合，目的是让25和4先乘得100，计算就变简单了。

  师：太棒了！你们已经触及了运用运算律进行简便计算的核心思想：通过“交换”与“结合”的协同，重塑算式的结构，创造出能够“凑整”、“凑十”、“凑百”的友好计算组合。这体现了数学的智慧——化繁为简。

  （二）反例剖析，深化理解

  师：请大家判断，下面的式子应用乘法结合律是否正确？为什么？

  1.(18+7)×5=18+(7×5)（错误。左边是加法与乘法的混合，右边试图对加法和乘法“结合”，违背了运算顺序规则。结合律只适用于同一级运算内部。）

  2.36÷(6×3)=(36÷6)×3（正确。这是除法的性质，类似于结合律的逆向，但不是乘法结合律。借此可以简要说明不同运算间的联系与区别，拓宽视野。）

  3.(a×b)×c×d=a×(b×c)×d（可以讨论。这里涉及三个以上的数相乘，乘法结合律可以推广使用，可以任意结合，只要不改变因数的顺序。这为后续学习埋下伏笔。）

  通过辨析，强化对乘法结合律适用条件（纯连乘运算）和本质（不改变因数顺序，只改变运算结合顺序）的理解。

  第四环节：迁移应用，拓展升华（预计用时：10分钟）

  （一）基础应用，巩固内化

  师：现在我们运用乘法结合律来解决一些实际问题。

  1.简便计算：计算下列各题，怎样算简便就怎样算。

    50×37×2125×7×825×（4×33）

  （学生板演，重点说清运用了什么定律，以及这样计算为什么简便。强调“凑整”思想。）

  2.解决问题：学校图书馆新购进一批图书，每个书架有4层，每层放25本书。这样的书架有8个，一共放了多少本书？

  （鼓励学生用两种不同思路列式解答，并指出其中蕴含的结合律。将运算律回归于解决实际问题的价值。）

  （二）综合挑战，拓展思维

  师：恭喜大家掌握了乘法结合律。现在，让我们接受一项终极挑战，看看谁的理解最透彻。

  挑战题：不计算，比较下面每组两个算式的大小，并说明理由。

    (12×5)×20○12×(5×20)

    48×25×4○48×(25+4)

    99×8×125○(99×125)×8

  （本题旨在训练学生不通过具体计算，而是依据运算律和运算意义进行推理判断，发展数感和推理能力。特别是第二组，需辨析乘法结合律与乘法分配律雏形的区别。）

  （三）课堂总结，反思提升

  师：回顾今天的探索之旅，你有哪些收获？还有什么疑问？

  （引导学生从知识（是什么）、方法（怎么学）、思想（为什么学）三个层面进行总结。）

  生1：我学会了乘法结合律，能用字母表示它。

  生2：我知道研究规律可以先用例子猜想，再验证，最后总结。

  生3：我明白了运用运算律可以让计算变得更简单、更聪明。

  生4：我在想，加法有结合律，乘法有结合律，那减法和除法有类似的性质吗？

  师：太棒了！不仅总结了所学，还提出了一个极具价值的延伸问题。减法和除法有没有“结合律”呢？这留给同学们课后去研究、去发现。记住，在数学的世界里，每一个结论的获得都离不开像今天这样——观察、猜想、验证与概括。希望大家继续保持这种探究精神！

  四、学习效果评价设计

  （一）嵌入式评价

  贯穿于教学全过程。通过观察学生在情境解题中的策略多样性、在小组探究中的参与度与贡献度、在汇报交流中的语言表达逻辑性、在辨析讨论中的思维深度，实时评估学生对规律的理解水平和探究能力的发展状况。教师通过追问、激励性反馈和针对性指导，促进学习目标的达成。

  （二）表现性任务评价

  1.课堂探究学习单：评价学生能否独立或合作完成猜想验证过程，能否用文字、图形、符号等多种方式清晰表达规律。

  2.应用练习板演与讲解：评价学生能否正确、灵活地运用乘法结合律进行简便计算和解决问题，并清晰阐述算理。

  （三）课后反思性评价

  设计一份简短的课后问卷或反思日志，包含以下问题：

  1.请用自己的话向家长解释什么是乘法结合律，并举例说明。

  2.完成一道与课堂挑战题类似的比较大小题目，并写出你的推理过程。

  3.记录你在本节课中最满意的一点和一个还想继续研究的问题。

  通过学生的反馈，评估教学效果的持久性和深度，为后续教学提供依据。

  五、教学反思与特色说明

  （本部分为教学设计自身的元认知，旨在阐释设计背后的学理