高三二轮高效复习讲义数学专题突破解析几何第2讲圆锥曲线的方程与性质

第2讲圆锥曲线的方程与性质▶对应学生用书P94【考情分析】圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容，常以选择题、填空题以及解答题第(1)问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等.1.(2024·全国Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为()A.x216＋y24＝1(y＞0) B.x216＋y2C.y216＋x24＝1(y＞0) D.y216＋x2解析：选A.设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以x02＋2y02＝16(y0＞0)，即x0216＋y024＝1(y0＞0)，所以线段PP'的中点M的轨迹方程为2.(2023·全国乙卷)已知点A(1，5)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为.解析：由题意可得(5)2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－54，点A到C的准线的距离为1－(－54)＝答案：93.(2024·全国Ⅰ卷)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10解析：由｜AB｜＝10及双曲线的对称性得｜AF2｜＝｜AB｜2＝5，因为｜AF1｜＝13，所以2a＝｜AF1｜－｜AF2｜＝13－5＝8，2c＝｜F1F2｜＝｜AF1｜2－｜AF2｜2＝132－52＝12，所以答案：3考点1圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a(2a＞｜F1F2｜).(2)双曲线：｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a(0＜2a＜｜F1F2｜).(3)抛物线：｜PF｜＝｜PM｜，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程：“先定型，后计算”.“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.(1)(2025·湖南永州三模)已知椭圆E：x24＋y23＝1，点F－1，0，若直线x＋λy－1＝0(λ∈R)与椭圆E交于A，B两点，则△A.23 B.4C.43 D.8解析：选D.椭圆E：x24＋y23＝1的长半轴长a＝2，半焦距c＝则点F(－1，0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1，0)，而直线AB：x＋λy－1＝0恒过定点(1，0)，所以△ABF的周长为4a＝8.(2)(2025·江西萍乡一模)设抛物线C：x2＝16y的焦点为F，斜率不为0的直线l过点A(3，4)，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则｜FQ｜＋｜PQ｜的最小值为()A.112 B.C.132 D.解析：选C.F(0，4)，因为FP⊥l，垂足为P，所以点P的轨迹是以FA为直径的圆(不包括F，A两点)，其半径r＝12｜FA｜＝32，圆心为B又因为Q在拋物线C：x2＝16y上，其准线为直线y＝－4，过点Q作准线的垂线，垂足为R，则FQ＋PQ＝QR＋PQ≥PR，当B，P，Q，R四点共线且P在B点下方时，(FQ＋PQ)min＝BR－r＝8－[规律方法](1)应用圆锥曲线的定义时，要注意关键条件.如双曲线定义中的“绝对值”，椭圆和双曲线定义中的定值与两定点间距离的关系，抛物线定义中定点不在定直线上等.(2)在椭圆(双曲线)的焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理结合椭圆(双曲线)的定义，运用平方的关系，建立｜PF1｜±｜PF2｜与｜PF1｜·｜PF2｜的关系.对点练1.(1)(2025·河北石家庄一模)设点P为双曲线x25－y211＝1右支上的动点，F为该双曲线的右焦点，已知点Q(7，2)，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为A.25 B.35C.45 D.55解析：选B.如图，设双曲线的左焦点为F1，易知F1(－4，0)，由双曲线的定义得PF＋PQ＝PF1＋PQ－2a≥QF1－25＝55－25＝35，所以PF＋PQ(2)(2022·湖南长沙二模)已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点A(0，b)，点B在椭圆C上，AF1＝2F1B，D，E分别是AF2，BF2的中点，且△DEF2A.x24＋y23＝1 B.xC.x24＋3y24＝1 D.x解析：选B.因为AF1＝2F1B，所以A，F1，B三点共线，且A因为D，E分别为AF2和BF2的中点，所以4a＝AB＋AF2＋BF2＝2(｜DE｜＋｜DF2｜＋｜EF2｜)＝8，所以设Bx0，y0，F1(－c，0)，A(0由AF1＝2F1B，可得(－c，－b)求得x0＝－3c2，y0＝－b2，所以因为点B在椭圆C上，所以9c216＋14＝1，求得c2＝43，所以椭圆C的方程为x24＋3y考点2椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝ca(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为x2角度1简单几何性质(1)已知椭圆M：x225＋y29＝1，则下列结论正确的是(A.M的焦点在y轴上B.M的焦距为4C.M的离心率e＝4D.M的长轴长是短轴长的54解析：选C.在椭圆M：x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝a2对于A选项，椭圆M的焦点在x轴上，A错误；对于B选项，椭圆M的焦距2c＝8，B错误；对于C选项，椭圆M的离心率为e＝ca＝45，C对于D选项，椭圆M的长轴长为10，椭圆M的短轴长为6，M的长轴长是短轴长的53倍，D错误(2)(多选)若P是双曲线C：x2－y2＝2上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则下列结论中正确的是()A.双曲线C的虚轴长为2B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2C.PF1的最小值是2D.双曲线C的焦点到其渐近线的距离是2解析：选BC.由双曲线C：x2－y2＝2，得双曲线C：x22－y2设双曲线C的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则a＝2，b＝2，c＝2.选项A，双曲线C的虚轴长为22，故A错误；选项B，F1F2＝4，又PF1⊥则P得PF1P故△PF1F2的面积为12PF1PF2选项C，易知PF1min＝c－a＝2－2，故选项D，易得双曲线C的焦点坐标为±2，0，渐近线方程为x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为22＝2，角度2离心率(1)(2025·浙江二模)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1a＞b>0与双曲线x2m2－y2n2＝1有共同的右焦点F，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线AFA.5－12 C.104 D.解析：选C.设左焦点为F1，则AF1＝a＋m，AF＝a－m，CF＝a＋m，CF1＝a在△AF1C中，用勾股定理得a＋m2＋2a2＝a+3所以AF1＝32a，AF＝所以FF1＝2c＝102a，所以c(2)(2025·广西桂林一模)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与E的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若2F2A＝ABA.2 B.3 C.5 D.10解析：选B.由双曲线E：x2a2－y2b2＝1a因为2F2A＝AB，OA⊥AB，所以OA⊥AF在Rt△OAF2中，OF2＝c，tan∠AOF2＝ba，所以AF2＝b，AO＝a，可得A(因为2F2A＝AB，即2xA－c，yA＝(xB－xA则xB＝3xA－2c＝3a2－2c2c，yB又因为点B在渐近线y＝－bax上所以3abc＝－ba×3a2－2c2c，解得c2＝3角度3渐近线(1)(2025·甘肃甘南模拟)若双曲线y2m－x2＝1(m＞0)的一条渐近线方程为y＝4x，则m＝(A.116 B.C.4 D.16解析：选D.y2m－x2＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±mx，又一条渐近线方程为y＝4x，所以m＝4，所以m＝(2)(2025·青海西宁二模)已知双曲线的渐近线方程为y＝±22x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为解析：当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则渐近线方程为y＝±bax，实轴长为2a，由题意得ba＝22，2a＝4，所以该双曲线的标准方程为x24－y2当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，则渐近线方程为y＝±a由题意得ab＝22，2a＝4，解得a＝2，b＝22，则该双曲线的标准方程为y24－综上，该双曲线的标准方程为x24－y22＝1或y2答案：x24－y22＝1或y对点练2.(1)(2025·黑龙江二模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点，若AF1＝3BF1，且∠A.13 B.C.22 D.解析：选D.设BF1＝t，由AF1＝3BF1，得AF1＝3t，由椭圆定义可知AF2＝2a－∵∠F2AB＝π3，∴在△ABF2中，由余弦定理得(2a－t)2＝(4t)2＋(2a－3t)2－2·4t·2a－3解得t＝4a9或t＝0(舍去)，∴在△F1AF2中，AF1＝4a3，AF2∴(2c)2＝4a32＋2a32－2·4a3·2a3·cosπ3，解得a(2)(多选)(2025·全国Ⅱ卷)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝5A.∠A1MA2＝πB.MA1＝C.C的离心率为13D.当a＝2时，四边形NA1MA2的面积为83解析：选ACD.不妨设渐近线为y＝bax，M在第一象限，N在第三象限对于A，由双曲线的对称性可得A1MA2N为平行四边形，故∠A1MA2＝π－5π6＝π6，故对于B，方法一：因为M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M且MO＝c，设Mx0，y故x0＝a，y0＝b，由A得∠A1MA2＝π6，故MA2＝MA1×32，即MA对于C，因为MA2A1A2＝b2a＝3，则ba＝23，则e＝ca＝对于D，当a＝2时，由C可知e＝13，故c＝26，故b＝26，故四边形NA1MA2为2S△MA1A2＝2×12×26×22＝考点3抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是直线AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p(2)｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2p(3)1｜FA｜＋1(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则()A.p＝2 B.｜AB｜≥4C.OA·OB＝－4 D.k1k2＝－4解析：选ABD.因为抛物线y2＝2px(p＞0)经过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1，0)，设直线l：x＝my＋1，则y消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16＞0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以｜AB｜＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；因为OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；由题意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2＝y1x1·y2x2＝－[规律方法]利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.对点练3.(多选)(2025·安徽黄山二模)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点A8，8在抛物线上，过点F作直线交抛物线于Mx1，y1，Nx2A.MN的最小值为4B.以线段MN为直径的圆与直线x＝－2相切C.当MF＝2FN时，则MN＝9D.OM·ON＝－12解析：选BCD.由题设82＝2p×8，得p＝4，则C：y2＝8x，F(2，0)，可设MN：x＝ty＋2，联立抛物线得y2－8ty－16＝0，显然Δ＞0，所以y1＋y2＝8t，y1y2＝－16，则MN＝1+t2·(y1＋y2)2－4y1y2＝8(1＋由抛物线的定义知MN＝x1＋x2＋4，而MN的中点横坐标为x1所以MN的中点与直线x＝－2的距离为x1＋x22＋2所以以线段MN为直径的圆与直线x＝－2相切，B对；若MF＝2FN，且y1＞0＞y2，则y1＝2｜y2｜，而y1y2＝－16，所以y1＝42，y2＝－22，则y1＋y2＝8t＝22⇒t＝24所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝24×22＋4＝5，则MN＝x1＋x2＋4＝9，C对由OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2－16＋16t2＋4＝－12，D对.[课下巩固检测练(三十九)]圆锥曲线的方程与性质(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)一、单选题1.(2025·云南红河三模)已知椭圆C：x2m2＋y26＝1的右焦点为F2，0，A.10 B.210C.2 D.22解析：选B.因为椭圆C的右焦点为F2，0，所以c＝2，且焦点在x轴上，所以m2－6＝4，解得m＝±10，所以椭圆C的长轴长为22.(2025·陕西渭南二模)若双曲线x22m－y2m－6＝1的焦距为6，A.5或－1 B.3C.5 D.－1解析：选D.若双曲线x22m－y2m－依题意可得2m>0，m－若双曲线x22m－y2m－依题意可得2m<0，m－综上可得m＝－1.3.(2025·云南昆明二模)双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0A.3 B.5C.6 D.22解析：选B.双曲线C：x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba所以C的离心率为e＝a2＋b2a4.(2025·辽宁大连一模)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点Pm，n在C上，且PF1·PF2≤0A.－B.－72C.－D.[－2，－1]∪[1，2]解析：选B.点Pm，n在C上，则m2－n23＝1，且m≤－1或因为F1－2，0，F22，0，则PF1＝(－2－m，－则PF1·PF2＝－2－m2－m＋n2＝m2＋n2－4＝4m2－7≤故－72≤m≤－1或1≤m≤75.已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0).过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点.若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为()A.x216＋y215＝1 B.xC.x23＋y24＝1 D.x解析：选D.因为椭圆C的焦点为F1－1，0，F21，0，又过点F1的直线与C交于A，B两点，△ABF2的周长为8，则根据椭圆定义可得，AF2＋BF2＋AB＝AF2＋BF2＋A解得a＝2，因此b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为x24＋y26.已知点M在抛物线C：y2＝4x上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，则线段MF的长为()A.1 B.2C.3 D.4解析：选C.如图，不妨设点M在第一象限，依题知ON是△KMF的中位线，可知｜MF｜＝2｜ON｜，过M，N向准线做垂线，垂足分别为M1，N1，同理NN1是△KMM1的中位线，｜MM1｜＝2｜NN1｜，由抛物线定义知｜MM1｜＝｜MF｜，｜NN1｜＝｜NF｜，故得｜ON｜＝｜NF｜，又F(1，0)，则N点横坐标是12，代入y2＝4x可得其纵坐标为2故｜ON｜＝(12)2＋(27.(2025·辽宁沈阳二模)已知双曲线C的离心率为2，F1，F2为C的两个焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则PF1OP＝(A.62 B.C.2 D.5解析：选D.根据题意，e＝ca＝2，则c＝2a，b＝c2－可知渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，且F22a则PF2＝2a2＝a，F1F2＝22可得OP＝OF22－PF22＝a在△PF1F2中，由余弦定理可得PF12＝PF22＋F1F22－2PF2·F1F2·cos∠PF2F1＝a2＋8a即PF1＝5a，所以PF8.(2025·湖北武汉三模)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝16，圆C2：(x－1)2＋y2＝r2(0＜r＜2)，动圆M与圆C1，圆C2都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为e1，e2，则1e1＋1e2的值为A.2 B.4C.6 D.8解析：选B.C1－1，0，C21，0，如图1，动圆M与圆C1内切，此时MN＝MT，TC1＝4，NCMC1＋MC2＝MC1＋MN＋NC2＝MC1＋MT＋NC故圆心M的轨迹为以C1－1，0，C21，0为焦点的椭圆方程，此时2a1故a2＝2＋12r，故离心率为e1＝ca1如图2，当动圆M与圆C1，C2均内切，C1W＝4，C1W＝C1M＋MW，MW＝MQ，MQ＝MC则MC1＋MC2＝C1W－MW＋MC2＝C1W－MQ＋MC2＝4－(MQ－M故圆心M的轨迹为以C1－1，0，C21，0为焦点的椭圆方程，此时2a2故a2＝2－12r，故离心率为e2＝ca21e1＋1e2＝2＋12r＋2－二、多选题9.椭圆C：x2m2+1＋y2m2＝1m>0的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，若∠F1AF2A.椭圆C的焦距为2B.△ABF2的周长为8C.椭圆C的离心率为3D.△BF1F2的面积为3解析：选ABD.由题意可知，∠F1AF2＝π3，｜AF1｜＝｜AF2｜＝a，故△AF1F2为等边三角形，则a＝2c，b＝3c又a2－b2＝m2＋1－m2＝1，所以c＝1，b＝3，a＝2，所以焦距2c＝2，A正确；离心率e＝ca＝12，C由椭圆定义可知，△ABF2的周长为4a＝8，B正确；设BF1＝x，则BF2＝4－x，又∠BF1F由余弦定理可得4－x2＝4＋x2－4xcos∠BF1F2，解得x所以S△BF1F2＝12BF1F2F1sin210.(2025·广西南宁二模)已知点A(1，2)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上A.C的实轴长小于2B.C的渐近线方程可能为y＝±3xC.C的离心率大于5D.C的焦距不可能为4解析：选AC.将A(1，2)代入C：x2a2－y2b2＝1可得对于A：1a2＝4b2＋1＞1，故a2＜1，因此0＜a＜1，所以实轴长为2a，则2a＜2，对于B：渐近线方程为y＝±bax，若渐近线方程为y＝±3x，则ba＝3，结合1a2－4b2＝1可得1a2－43a2＝1，则13a2＝－对于C：离心率为e＝ca＝1+b2a2＝1+4b2+1对于D：若焦距为4，则2c＝2a2＋b2＝2b2b2+4＋b2＝4，故b2＝－11.(2025·河南郑州一模)设抛物线C：x2＝2pyp>0的焦点为F0，1，过F的直线l交x轴的负半轴于点M，交抛物线C于A，B两点，AF＜BF，BF＝MF，过B作抛物线C的切线交x轴于点N，则(A.p＝2B.直线l的斜率为2C.AB＝9D.△MBN的面积为32解析：选ABD.因为F0，p2为0，1，所以p＝2设M－m，0m>0，因此Bm，2，由m2＝4×2，从而m＝22，直线l的斜率为1直线l的方程为y＝24x＋1，所以y＝24x+1，x2=4y⇒x2－2x－4＝0⇒(因此可求得A－2，12，B22，2，可得AB＝－由y＝14x2，得y'＝12x，所以直线BN的斜率为y'方程为y＝2x－2，因此N2，0，所以△MBN的面积为12×MN×yB＝32，故三、填空题12.(2025·山东潍坊二模)若抛物线的准线与直线y＝1之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：.解析：依题意，抛物线的准线与直线y＝1平行，且距离为2，故抛物线的准线方程为y＝3或y＝－1，当抛物线的准线方程为y＝3时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且p2＝3，p＝6，故抛物线方程为：x2＝－12y当抛物线的准线方程为y＝－1时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且p2＝1，p＝2，故抛物线方程为：x2＝4y综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是x2＝－12y或x2＝4y.答案：x2＝4y或x2＝－12y(填一个答案即可)13.(2025·河北邯郸模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2向圆O：x2＋y2＝b2引一条切线交椭圆C于点M，连接F1M，如图，若F1M⊥MF解析：设直线F2M与圆O切于点N，则ON⊥MF2，由F1M⊥MF2，则ON∥MF1，所以ON＝b，MF1＝2b，MF2＝2a由勾股定理得F1M2＋F即4b2＋4(a－b)2＝4c2＝4a2－b2，解得b则c2＝a2－b2＝59a2，所以e＝ca＝答案：514.(2024·福建厦门一模)设△ABC是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，