小学五年级数学下册《融通·建构：分数乘分数的算理与算法》教案

小学五年级数学下册《融通·建构：分数乘分数的算理与算法》教案

一、教材与学情分析

（一）【基础】教材定位与核心任务

本课是北京师范大学版小学数学五年级下册第三单元“分数乘法”的第三课时，也是本单元的核心课时。在此之前，学生已经学习了分数乘整数（第一课时）和整数乘分数（第二课时），理解了“求几个相同加数的和”与“求一个数的几分之几”可以用乘法计算。本课将乘法的概念从“整数倍”进一步拓展到“分数倍”，研究“一个分数的几分之几是多少”，这是乘法意义在数系范围内的又一次质的飞跃。

本课的核心任务不在于机械记忆“分子乘分子、分母乘分母”的法则，而在于通过几何直观和操作活动，深刻理解为什么分数乘分数要用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。这一算理的打通，将为后续学习分数除法、分数乘除混合运算以及解决复杂的分数实际问题奠定坚实的基础，是培养学生运算能力和推理意识的关键载体。

（二）【重要】学情前瞻与认知冲突

知识储备：学生已经掌握了分数的意义、分数单位，以及分数乘整数、整数乘分数的计算方法，具备了初步的画图分析能力。

潜在困难：

认知冲突的挑战：在前两个课时的学习中，无论是“几个几分之几”还是“一个数的几分之几”，整体“1”相对明确。而在本课，如“1/2的1/2”，单位“1”从最初的“1”变成了“1/2”，这种单位“1”的层次性变化是学生抽象思维的一个难点。很多学生能记住算法，但无法解释“1/2×1/2”为什么等于“1/4”。

【难点】迷思概念的干扰：受整数乘法“积总是变大”的思维定势影响，当发现分数乘分数结果反而变小时，学生会产生认知失衡，这种失衡正是引导其深入理解算理的最佳契机。

直观依赖：五年级学生仍处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，本课必须借助“数形结合”的力量，让学生在折一折、画一画中直观感受“几分之几的几分之几”究竟是多少。

二、教学目标定位

1.知识与技能：在操作活动和实例探究中，理解分数乘分数的意义，掌握分数乘分数的计算方法，能正确进行计算，并养成计算结果约成最简分数的习惯。

2.过程与方法：通过“折纸—画图—列式—观察—归纳”等活动，经历分数乘分数计算法则的探索过程，体验数形结合思想和归纳推理的数学方法，培养几何直观和运算能力。

3.情感态度与价值观：在解决实际问题中感受分数乘法与生活的联系，体会数学的严谨性，通过探究活动获得成功的体验，增强学习数学的自信心。

三、教学重难点

教学重点：掌握分数乘分数的计算方法，并能正确计算。

教学难点：【极难点】【深层理解】理解分数乘分数的算理，即为什么是“分子相乘、分母相乘”，并能结合图形语言进行解释。

四、教学准备

教具：多媒体课件（动态展示折纸、涂色过程），长方形教具（大磁力贴纸）。

学具：每人若干张完全相同的长方形彩纸（或学习单上的长方形图），彩笔。

五、教学实施过程

（一）唤醒经验，制造冲突（预设5分钟）

1.复习引入，激活思维：

师：同学们，我们已经学习了分数乘法的前两课。请大家快速口算，并说说算式表示的意义。

课件出示：3×2/9=？2/7×3=？

学生口算后，引导回顾：分数乘整数，表示求几个几分之几是多少；整数乘分数，表示求这个整数的几分之几是多少。

师：（课件出示一个长方形，并涂色表示出它的1/2）这是我们昨天研究的“一个数的几分之几”。现在，如果我想求“这个1/2的1/2是多少？”（板书：1/2的1/2）你能用一个算式来表示吗？

预设生：1/2×1/2。

2.引发猜想，制造冲突：

师：1/2×1/2等于多少呢？请大家大胆猜一猜。

预设生1：等于1。预设生2：等于1/4。预设生3：等于2/4。

师：答案不一而足。请回想一下，当我们学习分数乘整数时，我们借助了直观图来帮助理解。今天，面对分数乘分数这个新问题，我们能不能继续请“图形”这位老朋友来帮忙？

【设计意图】通过从旧知到新知的迁移提问，自然引出核心算式。通过制造答案的冲突，激发学生的好奇心和探究欲，为动手操作活动做好心理铺垫。

（二）数形结合，探究算理（预设20分钟）

1.【热点】【必操作】活动一：折纸游戏——理解“1/2的1/2”

（1）明确任务：请大家拿出手中的长方形纸，把它看作单位“1”。我们要通过折纸和涂色，找出1/2×1/2的结果。

（2）分层操作：

第一步（表示第一个分数）：请你先折出这张纸的1/2，并用一种颜色（如红色）涂出来。（学生操作，教师巡视，展示两种折法：横着对折、竖着对折。强调：不管怎么折，只要是平均分成2份，取其中1份，就是1/2。）

第二步（表示第二个分数）：现在，我们要取刚才那份（红色部分）的1/2。注意，这里的“1/2”是对谁而言的？是对红色部分，而不是对整个长方形。请你换一种颜色（如蓝色），折出红色部分的1/2，并涂上颜色。

（此时是教学的关键，部分学生可能会不知道怎么折。教师引导：把红色部分看作一个整体，把它平均分成2份，取其中的1份。）

（3）观察结果：

师：请大家展开纸，仔细观察。蓝色部分占整张纸的几分之几？

生：整张纸被平均分成了4份，蓝色占了其中的1份，所以是1/4。

师：红色部分（1/2）的1/2，就是整张纸的（1/4）。所以，1/2×1/2等于多少？

生齐：1/4。

（教师板书：1/2×1/2=1/4）

2.【重要】活动二：深化理解——探究“2/3的1/4”

（1）迁移探究：师：刚才我们研究了“一半的一半”，如果是“2/3的1/4”呢？算式怎么列？结果是多少？请你继续在纸上操作。

（2）学生自主探究，教师巡视指导。

第一步：先折出2/3（例如，将长方形竖着平均分成3份，取其中2份，涂红）。

第二步：再涂出红色部分的1/4（将红色部分平均分成4份，取其中1份，用蓝笔涂）。

（3）展示交流：

展示学生作品。

师：请你指着图解释一下，你得到的结果是多少？

预设生：我先把长方形平均分成3份，取2份是2/3。把这2份看成一个整体，再平均分成4份，取1份。现在看整张纸，一共被平均分成了多少小份？因为横着分了3份，这3份的每一份又被竖着分了4份，所以整张纸一共被平均分成了3×4=12份。我涂的蓝色部分一共占了其中的2小份（因为红色部分有2大份，每大份里取1小份，共2小份）。

师：所以，2/3的1/4就是整张纸的几分之几？

生：2/12，也就是1/6。

（板书：2/3×1/4=2/12=1/6）

3.【核心】活动三：观察对比，归纳算法

师：我们来看黑板上的两个例子。请大家仔细观察算式和结果，你有什么发现？

（1）分子观察：

生1：第一个算式，分子是1×1=1；第二个算式，分子是2×1=2。

师追问：2和1分别是原来算式中的什么数？

生1：两个分子。

师小结：新分数的分子，就是原来两个分数的分子相乘的积。

（2）分母观察：

生2：第一个算式，分母是2×2=4；第二个算式，分母是3×4=12。

师追问：2、3、4分别是原来算式中的什么数？

生2：两个分母。

师小结：新分数的分母，就是原来两个分数的分母相乘的积。

（3）几何解释（突破难点）：

师：为什么分母要相乘？结合刚才的折纸过程，谁能解释一下？

预设生：第一次平均分，分成了3份（分母3）；第二次平均分，是在第一次分的每一份里再平均分成4份（分母4）。所以整个纸一共被分成了3行×4列=12份，也就是两个分母相乘的积。分子相乘，是因为第一次涂了2份（分子2），第二次在这2份的每一份里都取了1份（分子1），所以总共取了2×1=2份。

（教师用磁力贴片在大黑板上动态演示网格的形成过程，强化“行×列=总份数”的直观印象。）

4.【高频考点】算法总结与优化：

师：通过刚才的探究，你能总结出分数乘分数的计算方法吗？

学生尝试总结，教师完善并板书：

【核心法则】分数乘分数，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的要约分。

师：为什么“能约分的可以先约分”？请大家计算3/8×4/9。

对比两种算法：

算法A（先乘后约）：3/8×4/9=(3×4)/(8×9)=12/72=1/6。

算法B（先约后乘）：3/8×4/9=(3×4)/(8×9)=(1×1)/(2×3)=1/6。（交叉约分）

师：哪种更简便？为什么？

生：先约分，可以让计算过程中的数字变小，更不容易出错。

师强调：进行分数乘法时，不仅要会算，还要学会【优化策略】——先约分，后计算，保证结果的准确性。

（三）巩固应用，内化新知（预设10分钟）

1.【基础练习】计算小能手：

（1）2/5×1/3（2）3/7×2/5（3）4/9×3/8

要求：先观察能否约分，再计算。两名学生板演，重点检查约分过程和书写格式。

2.【热点应用】生活中的数学：

（1）问题呈现：五（1）班在劳动实践基地种菜。其中3/5的地种西红柿，西红柿地的1/3种的是圣女果。种圣女果的面积占劳动实践基地的几分之几？

（2）分析思路：

师：谁是单位“1”？（劳动实践基地）

“种西红柿地的1/3”是什么意思？（把西红柿地平均分成3份，取1份）

应该怎样列式？

引导学生画出线段图或长方形图辅助分析，明确数量关系：求一个数的几分之几用乘法，列式为：3/5×1/3。

（3）独立计算，集体订正。提醒学生写答语。

3.【易错辨析】火眼金睛：

判断下面的计算对不对，不对的请改正。

（1）4/5×1/2=5/7（×，错在把分母相加了）

（2）7/12×6/11=42/132（√，但指出这不是最简结果，可以约分，应养成先约分再计算或最后约分的习惯）

（四）回顾梳理，构建网络（预设3分钟）

1.知识梳理：

师：同学们，今天我们研究了什么问题？（分数乘分数）

我们是怎样研究的？（折一折、画一画、观察比较）

我们得出了什么结论？（分子乘分子，分母乘分母，先约分后计算）

2.文化渗透：

师：其实，关于分数乘法的算法，我国古代数学著作《九章算术》中就有记载：“母相乘为法，子相乘为实。”意思是说，分母相乘作分母，分子相乘作分子。我们的祖先在两千多年前就有了这样的智慧。

3.关联旧知：

师：请大家回头看我们整个单元学习的分数乘法。无论是分数乘整数，还是整数乘分数，还是今天的分数乘分数，它们的本质是一样的吗？

引导学生发现：分数乘整数（如2/7×3），可以看成2/7×3/1，依然遵循分子乘分子、分母乘分母的法则。从而打通知识间的壁垒，感悟【非常重要】【运算一致性】。

（五）分层作业，发展思维（预设2分钟）

1.必做题：完成课本相关练习题，注意先约分后计算。

2.选做题：

（1）探究题：不用计算，比较a×4/5与a的大小（a>0），并说明理由。如果第二个因数大于1或等于1呢？

（2）创意题：请你设计一个“分数乘分数”的数学故事，并用画图的方式把故事里的数学道理讲清楚。

六、板书设计

融通·建构：分数乘分数

意义：求一个分数的几分之几是多少。

算理：（数形结合）

例1：1/2×1/2=1/4

例2：2/3×1/4=2/12=1/6

算法：

分数乘分数，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

【优化策略】能约分的，先约分再计算。

本质：