初中数学七年级下册：一元一次方程之和差倍分与销售问题教案

初中数学七年级下册：一元一次方程之和差倍分与销售问题教案

一、课程基本信息与设计理念

学科：初中数学

学段/年级：初中七年级下册

课程类型：新授课

课时安排：第1课时（本单元共2课时）

对应教材章节：人教版七年级数学下册第八章“二元一次方程组”前置衔接与代数思维深化单元（注：本设计基于大单元教学理念，将一元一次方程应用提前进行系统化、深度化梳理，为后续学习二元一次方程组建立坚实的模型化思维基础。）

设计理念：

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，秉承“核心素养导向”的教学思想。设计聚焦于“模型观念”、“运算能力”与“应用意识”三大核心素养的协同发展，通过真实、富有挑战性的问题情境，引导学生经历“实际问题→数学抽象→建立模型→求解验证→解释应用”的完整数学建模过程。教学打破传统应用题教学的孤立性与机械性，将“和差倍分”这一经典算术问题与“销售问题”这一现实数学模型进行结构性整合，旨在揭示两者在等量关系寻找和方程思想运用上的内在统一性，构建具有迁移价值的代数思维模式。同时，设计融入跨学科视角，将经济学术语（如成本、售价、利润、利润率）进行数学化精确定义，培养学生的财经素养与理性决策意识。

二、学情分析

认知基础：

七年级学生已正式学习一元一次方程的解法，能够熟练进行移项、合并同类项、系数化为1等基本操作。在小学阶段，学生已接触过基础的“和倍”、“差倍”问题，但主要依赖算术方法（如线段图）和逆向思维求解。对于销售中的基本概念如打折、利润有生活经验，但缺乏精确的数学定义和量化的关系理解。

思维特征：

该年龄段学生的思维正从具体运算阶段向形式运算阶段过渡，抽象逻辑思维能力逐步增强，但仍有赖于具体情境的支撑。他们初步具备用字母表示数的意识，但对于如何从复杂多变的生活语言中精准提炼不变的数量关系（等量关系），并用以布列方程，存在较大困难。常见误区包括：混淆“比…多”与“是…的几倍”的关系表述；无法清晰区分售价、成本、利润、利润率之间的运算关系；设未知数时思维定势，不善于选择最优设元策略以简化方程。

学习需求：

学生需要的不再是各类“应用题”的套路化记忆，而是一个强大的、可迁移的“分析工具箱”。这个工具箱应包括：1）情境解读与信息筛选策略；2）核心数量关系的识别与表征方法（文字、符号、图表）；3）灵活设元与寻找等量关系的系统性思维路径。他们需要在富有层次的问题序列中，通过自主探究、合作辨析，体验方程作为强大数学工具的优越性，从而内化代数思维，克服对应用题的畏难情绪。

三、学习目标与重难点

学习目标：

1.知识与技能：

1.2.能准确理解“和、差、倍、分”问题中的关键语句，并将其转化为数学语言。

2.3.能熟练掌握销售问题中的核心关系式：售价=标价×折扣率；利润=售价-进价；利润率=（利润/进价）×100%。

3.4.能综合运用上述知识，通过审题、设元、找等量关系、列方程、解方程、检验作答的步骤，解决复杂的和差倍分问题及销售问题。

5.过程与方法：

1.6.经历从现实生活背景中抽象出数学问题、建立方程模型的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

2.7.通过对比算术解法与代数解法，深刻感悟方程思想在解决复杂数量关系问题时的优越性与普适性。

3.8.发展分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力，以及用数学语言表达和交流的能力。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在解决与生活息息相关的销售问题中，感受数学的应用价值，激发学习兴趣。

2.11.通过小组合作解决挑战性问题，培养勇于探索、严谨求实的科学态度和合作精神。

3.12.初步形成理性消费和基本的财经观念。

教学重点：

1.准确分析问题中的数量关系，找出作为列方程依据的等量关系。

2.掌握销售问题中进价、售价、利润、利润率之间的基本数量关系。

教学难点：

1.如何从多变的实际问题情境中，剥离出核心的、不变的等量关系，特别是当等量关系不止一个时，如何选择最简洁的一个来布列方程。

2.理解利润率等百分率关系，并正确建立相关方程。处理涉及多重数量关系交织的复杂问题（如连续变化后的和差倍分问题、混合销售问题）。

四、教学资源与环境

1.教师资源：多媒体课件（包含情境动画、关键关系式可视化图表、阶梯式例题与变式）、实物道具（商品标签、简易天平）、板书设计蓝图。

2.学生资源：导学案、学习小组任务卡、双色笔、课堂练习本。

3.教学环境：配备交互式白板的多媒体教室，支持小组合作学习的桌椅布局。

五、教学过程实施（核心环节）

（一）情境激趣，模型初建（预计用时：12分钟）

1.故事情境导入——“书店里的数学”

教师呈现一段微情景剧动画：小明和小华是兄弟，他们一起用零花钱去买书。已知两人共有零花钱85元，小明的钱比小华多15元。动画暂停，抛出问题：你能快速算出他们各有多少钱吗？

1.学生活动：多数学生能快速口算或心算得出结果（小明50元，小华35元）。教师请学生分享方法（可能是（85-15）÷2，再求另一个）。

2.教师追问：这是大家熟悉的“和差问题”。如果我把条件改为“小明的钱是小华的2倍少5元”，还能那么容易心算吗？

3.设计意图：从学生熟悉的、可心算的问题入手，降低起点，获得成功体验。随即通过改变条件，制造认知冲突，引出用方程解决复杂数量关系的必要性。

2.模型建立——从“算术思维”到“代数思维”

1.任务一：针对第一个简单问题（和差问题），请学生尝试“用方程的方法”解决。

1.2.学生独立思考后板演。可能出现两种设元：设小华为x元，则小明为（x+15）元；设小明为x元，则小华为（x-15）元。

2.3.关键讨论：方程x+(x+15)=85

是如何得来的？引导学生说出“两人的总钱数”是一个“等量关系”。教师板书核心词：等量关系。

4.任务二：针对改编的复杂问题（“小明的钱是小华的2倍少5元”，总钱数仍为85元）。

1.5.学生小组合作，尝试列方程。教师巡视，收集典型设元和列式。

2.6.展示与辨析：投影展示不同解法。如：设小华为x元，则小明为（2x-5）元，方程：x+(2x-5)=85

。引导学生对比算术解法的“逆向思考”与方程解法的“正向思考”（设未知数，用未知数表示其他量，顺着题意找等式）。

3.7.教师精讲：这就是“和倍分”问题。其核心步骤是：（1）设未知数（通常设“单位1”的量，这里是小华的钱数为x）；（2）用含x的代数式表示其他相关量（小明的钱数）；（3）寻找一个包含这些量的“等量关系”（这里的等量关系是“和”）；（4）列出方程求解。

4.8.板书构建：在黑板左侧建立“和差倍分问题解决框架图”。

1.审题，圈画关键词。

2.设元：选择关键量设未知数。

3.表征：用代数式表示其他量。

4.找等量：挖掘题目中隐藏的“等于”。

5.列方程。

6.解方程。

7.检验并作答。

（二）概念辨析，关系深化（预计用时：15分钟）

1.从生活走进数学——“商场购物探秘”

情境切换：小明用他的50元零花钱，看中了一个标价80元的书包，商场正在打7折出售。

1.问题串引导：

1.2.Q1：小明需要支付多少钱？怎么算？（80×0.7=56元）引出：售价=标价×折扣率（折数÷10）。

2.3.Q2：小明买得起吗？（56>50，买不起）小华提议合伙购买。但小华想知道，商场卖这个书包赚了多少钱？我们需要知道什么信息？（商场的进货成本——进价）

3.4.教师出示：已知该书包进价为50元。

4.5.Q3：商场卖这个书包的利润是多少？怎么算？（56-50=6元）引出：利润=售价-进价。

5.6.Q4：商场卖这个书包的利润率是多少？怎么算？（6÷50=0.12=12%）引出：利润率=（利润/进价）×100%。强调利润率是相对于进价的百分比，是衡量盈利能力的核心指标。

2.关系式网络化与变式训练

1.教师活动：利用交互式白板，将售价、标价、折扣、进价、利润、利润率六个量用关系图动态连接，展示它们之间的推导关系。并强调，已知其中任意三个量，通常可求出其他量。

2.即时巩固练习（小组竞答）：

1.3.一件衣服进价100元，若要保证20%的利润率，售价应定为多少元？（答案：100×(1+20%)=120元）

2.4.一双鞋打8折后售价为240元，其标价是多少元？（答案：240÷0.8=300元）

3.5.一个笔记本售价9元，利润率为50%，求其进价。（答案：设进价x元，则9-x=0.5x，解得x=6）

6.设计意图：将零散的销售概念通过一个连贯的故事串起来，并在追问中自然引出各个关系式。通过关系图实现知识结构化。即时练习从正向、反向、设元方程三个层次巩固基本关系，为综合应用扫清概念障碍。

（三）典例精析，思维攀升（预计用时：25分钟）

例题1（和差倍分综合）：

某校七年级举行知识竞赛，共有30道题目。比赛规则规定：答对一题得5分，不答或答错一题倒扣3分。小明最终获得了126分。请问他答对了多少道题？

1.学生活动：独立审题3分钟，尝试按框架图步骤分析。

2.教师引导析题：

1.3.有哪些量？总题数（30），对题数，错/不答题数，得分，扣分，总分。

2.4.设什么为x？通常设所求量“答对题数”为x。

3.5.如何表示其他量？则答错或不答题数为（30-x）。答对得分：5x分；答错扣分：3(30-x)分。

4.6.等量关系是什么？核心等量关系：总分=得分-扣分。即：126=5x-3(30-x)。

7.板演求解：师生共同完成解方程、检验（x=24，答对24，答错6，得分120，扣分18，净得分102？检验发现错误！）抓住此错误！

8.思维碰撞：检验结果不符合。为什么？引导学生重新审视等量关系。得分和扣分是“净得分”的两个组成部分，关系应为：答对得分+（答错扣分）=总分，但扣分是负贡献，所以等式应为5x+[-3(30-x)]=126

或5x-3(30-x)=126

。之前的理解在逻辑上正确，但计算5*24-3*6=120-18=102

，与126不符，说明列式正确但计算检验有误？重新计算5*24=120

,3*6=18

,120-18=102

。方程列对了，但解出的根不满足？再解方程：126=5x-90+3x->126=8x-90->8x=216->x=27。检验：答对27，答错3，得分135，扣分9，净得分126。原来第一次解方程时计算失误！此过程极具教育价值，强调检验的必要性和计算的准确性。

9.方法升华：本题是“和差倍分”的变式，总题数是“和”，得分规则定义了“倍分”关系，但引入了“负分”。关键在于用代数式正确表示“扣分”这一负向量，并找到“总得分”这一等量关系。

例题2（销售问题应用）：

一家书店同时促销两种教辅书：A书按标价的9折出售，B书按标价的8折出售。已知小明购买A、B书各一本，共花费了86元。若A书比B书的标价贵10元，则A、B书的标价各是多少元？

1.学生活动：小组合作探究。比一比哪个小组能找到最多的等量关系，并选择最简洁的来列方程。

2.小组展示与策略分析：

1.3.策略一（直接设元）：设B书标价为x元，则A书标价为(x+10)元。等量关系：A书售价+B书售价=86元。方程：0.9(x+10)+0.8x=86

。

2.4.策略二（间接设元）：设A书标价为y元，则B书标价为(y-10)元。方程：0.9y+0.8(y-10)=86

。

3.5.策略三（设售价）：设A书售价为a元，则其标价为a/0.9元；B书售价为b元，则其标价为b/0.8元。等量关系：a+b=86

且a/0.9-b/0.8=10

。此方法方程较复杂。

4.6.师生共评：比较三种策略，策略一和二是最直接、最简洁的。强调在销售问题中，通常设“标价”或“进价”这类基础量为x，比设“售价”为x更便于表示其他量。

7.变式拓展：如果条件改为“两种书实际付款相同，且A书标价比B书高20元，求标价”，等量关系将变为“售价相等”，方程则为0.9(y)=0.8(y-20)

？不，设B书标价x，A书标价x+20，则0.9(x+20)=0.8x

。引导学生发现，等量关系的变化如何驱动方程结构的改变。

（四）分层演练，巩固内化（预计用时：15分钟）

A组（基础巩固）：

1.甲数是乙数的4倍，且甲数比乙数大27，求乙数。

2.一台电视机打九五折后比原价便宜了150元，这台电视机原价多少元？

3.某商品进价为200元，标价为300元，现打折销售，要保证利润率不低于5%，则最多可打几折？（提示：设打x折，售价为300×0.1x）

B组（能力提升）：

4.七年级某班学生分组参加活动，若每组7人，则多出3人；若每组8人，则有一组少4人。请问该班共有多少学生？（提示：小组数不变，或学生总数不变）

5.某商场将一款手机按进价提高50%后标价，又在广告中写上“大酬宾，8折优惠”，结果每部手机仍获利280元。这款手机每部的进价是多少元？（分析：进价→标价→售价→利润）

C组（挑战拓展）：

6.（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（《九章算术》）请用一元一次方程解决此“盈不足”问题。

7.某书店一天内销售两种书籍，甲种书共卖了1560元，乙种书共卖了1350元。已知甲种书盈利25%，乙种书亏损10%。问该书店这一天是盈利还是亏损？盈（或亏）多少元？（提示：需分别求出甲、乙两种书的进价成本总和，再与销售额比较）

1.实施方式：学生根据自身情况，至少完成A组，鼓励完成B组，学有余力挑战C组。教师巡视，重点关注B、C组学生的思维过程，进行个别指导。最后用投影仪展示B组第5题和C组第7题的详细分析过程。

（五）课堂小结，体系建构（预计用时：8分钟）

并非教师复述，而是引导学生自主建构。

1.活动：“绘制我的思维地图”：

请学生用思维导图或知识树的形式，总结本节课的核心内容。地图中心可以是“一元一次方程的应用”。要求至少包含两个主干：和差倍分问题、销售问题。每个主干下要延伸出关键步骤、核心等量关系、典型题型、注意事项等分支。

2.随机选取2-3份学生作品进行投屏展示分享，由作者简要讲解。

3.教师最终呈现一个完整的、结构化的板书/思维导图，与学生作品互补，形成系统认知：

一元一次方程的应用

├──和差倍分问题

│├──核心：分析数量关系

│├──步骤：审→设→表→找→列→解→验

│└──关键：找准“等量关系”（和、差、倍、分、总量不变…）

│

└──销售问题

├──概念网络：进价、标价、折扣、售价、利润、利润率

├──核心公式：

│*售价=标价×折扣率

│*利润=售价-进价

│*利润率=(利润/进价)×100%

│*售价=进价×(1+利润率)（常用变形）

└──策略：通常设基础量（进价、标价）为元，沿关系链推导。

4.思想升华：再次强调，无论是古老的“和差倍分”，还是现代的“销售利润”，其数学本质都是寻找“等量关系”。方程思想为我们提供了一个强大的、统一的工具，将千变万化的实际问题转化为可解的数学问题。这就是数学建模的力量。

（六）作业布置与预习导向（预计用时：5分钟）

分层作业：

1.必做题：教材对应章节习题（和差倍分、销售基础题各3道）；整理本节课错题，并写出错因分析。

2.选做题：

1.3.调研一家超市或网店的某件商品，记录其原价、促销方式，计算其折扣率，并假设一个合理的进价，计算其可能的利润率。

2.4.自编一道综合性的“和差倍分”或“销售”问题，并给出完整解答过程，准备下节课与同学交换解答。

预习导向：

下节课我们将探讨“行程问题”与“工程问题”。请提前思考：行程问题中有哪些基本量（路程、速度、时间）？它们的关系是什么？工程问题中，常如何表示工作量、工作效率和工作时间？尝试用方程的思想去初步分析一个简单的行程问题。

六、板书设计（规划）

主板书（左侧）：

1.标题：一元一次方程的应用（一）：和差倍分与销售问题

2.一、和差倍分问题

1.3.解决框架（六步法）

2.4.例题1区域（留有方程推导和解答空间）

5.二、销售问题

1.6.概念关系图（网状图）

2.7.核心公式（三公式+一变形）

3.8.例题2区域（展示不同设元策略）

副板书（右侧）：

1.用于学生板演、关键信息提示、课堂生成性问题的临时分析。

2.课堂练习的关键步骤演算。

七、教学反思与特色说明（课后完成）

预期效果反思：

本节