高一数学6.1　平面向量的概念

6.1平面向量的概念课标要求1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.【引入】你注意过吗？在描述天气的时候，温度和相对湿度都只要用一个实数就可以确切地表达，而风的确切描述，除了用一个实数说明“风力”外，还要给出“风向”，在生活中还有类似的例子吗？一、向量的概念及几何表示探究1在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？提示面积、质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又有方向.探究2平面直角坐标系中的x轴是如何表示方向的？提示用箭头表示方向.【知识梳理】1.向量的概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量.2.向量的表示(1)有向线段①具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度.②以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)向量的表示①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).温馨提示(1)向量强调长度和方向两个要素.(2)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素，而向量有大小和方向两个要素.在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的.每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段.例1(链接教材P5T1、P3例1)一辆消防车从A地去B地执行任务.先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，又从C地向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.(1)在如图所示的坐标系中画出eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)求B地相对于A地的位移.解(1)画出向量如图所示：(2)∵D地在A地北偏东30°方向上，B地在C地南偏西30°方向上，∴AD∥BC.又AD＝BC＝2，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝6.∵C地在D地北偏东60°方向上，∴B地相对于A地的位移为北偏东60°，相距6千米.思维升华作向量的方法准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.训练1某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方向走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D.试分别作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→)).解根据题意，在平面内任取一点为A，按照题意要求的方向，作线段AB＝4，BC＝6，CD＝4，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))如图所示.二、零向量与单位向量探究3在实数中，有“0”与“1”这样的具有特殊地位的数，那么在向量中，有类似的特殊向量吗？提示有，零向量与单位向量.【知识梳理】向量名称定义零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量温馨提示(1)不能说零向量没有方向，它的方向是任意的.(2)单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同.例2(多选)下列说法正确的是()A.零向量是没有方向的B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量的长度都为0D.两个单位向量的长度相等答案CD解析零向量的方向是任意的；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0；单位向量的长度都是1个单位长度，故C，D正确.思维升华解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.训练2下列说法中正确的是()A.向量的模都是正实数B.单位向量只有一个C.向量的大小与方向无关D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小答案C解析零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确.三、相等向量与共线向量探究4如图所示，边长为1的菱形ABCD中，向量eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))有什么关系？提示大小相等，方向相同.探究5如图所示，在梯形ABCD中，向量eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))有什么关系？提示大小不等，方向相同.【知识梳理】平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量；向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b温馨提示在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性.例3(链接教材P4例2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量.解(1)与a的长度相等、方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→)).(2)与a共线的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).(3)与a相等的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))；与b相等的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EO,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))；与c相等的向量有eq\o(FO,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→)).思维升华相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线段，再确定哪些是同向共线的向量.(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.训练3(1)(多选)给出下列四个命题，其中正确的命题是()A.若|a|＝|b|，则a＝bB.若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C.若a＝b，b＝c，则a＝cD.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”答案BC解析当|a|＝|b|时，a，b的方向不一定相同，所以a，b可能不相等，A错误；因为A，B，C，D是不共线的四点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以AB∥CD，AB＝CD，故四边形ABCD为平行四边形，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，B正确；根据向量相等的定义，由a＝b，b＝c可得a＝c，C正确；当|a|＝|b|且a，b方向相反时，a≠b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|且a∥b”的充分不必要条件，D错误.(2)如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.①与向量eq\o(ED,\s\up6(→))相等的向量为________；②若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，则向量eq\o(EC,\s\up6(→))的模等于______.答案①eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))②6解析①在平行四边形ABCD和ABDE中，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).②由①知，eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴E，D，C三点共线，∴|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6.【课堂达标】1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是()A.圆 B.一段弧 C.线段 D.直线答案A2.(多选)下列说法正确的是()A.加速度是向量B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))是单位向量C.一人从A点向东走500米到达B点，则向量eq\o(BA,\s\up6(→))表示这个人从A点到B点的位移D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等答案AB解析由向量的定义知，加速度是向量，故A正确；B显然正确；根据位移的定义可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))表示这个人从A点到B点的位移，故C不正确；若两个单位向量平行，则方向相同或相反，则这两个单位向量不一定相等，故D错误.3.(多选)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)) B.|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线答案AD解析因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC中点，即有eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则|eq\o(AO,\s\up6(→))|与|eq\o(BO,\s\up6(→))|不一定相等，B不正确；点A，O，B不共线，C不正确；平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，D正确.4.在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，则四边形的形状为________.答案菱形解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD是菱形.一、基础巩固1.(多选)下列说法正确的是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B.零向量与任意向量平行C.零向量的方向是任意的D.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量答案ABC解析向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))方向相反，长度相等；零向量的方向是任意的，它与任意向量都平行；方向为北偏西50°的向量与方向为南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故D不正确；ABC正确.2.下列说法中正确的是()A.若a，b都是单位向量，则a＝bB.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点连线构成平行四边形C.若a∥b，且b∥c，则a∥cD.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))是平行向量答案D解析选项A中单位向量方向可以不同，故a＝b不一定成立；选项B中A，B，C，D四点可能共线，不一定能组成平行四边形；选项C中当b＝0时，a，c为任意向量；选项D正确，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))是一对方向相反的向量，则是一对平行向量.3.(多选)下列说法正确的是()A.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反B.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量C.若a≠b，则a与b可能是共线向量D.两向量相等的充要条件是它们的起点、终点相同答案BC解析模相等的向量不一定平行，故A错误；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故B正确；C显然正确；两向量相等的充要条件是它们的方向相同、长度相等，故D错误.4.如图所示，在⊙O中，向量eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))是()A.有相同起点的向量B.共线向量C.模相等的向量D.相等的向量答案C解析由图可知eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))是模相等的向量，其模均等于圆的半径.5.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是()A.与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有1个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))B.与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有8个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))C.eq\o(BD,\s\up6(→))的模恰为eq\o(DA,\s\up6(→))的模的eq\r(3)倍D.eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))不共线答案AC解析由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，因此与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有eq\o(DC,\s\up6(→))，而与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，因此选项A正确，B错误.在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴|eq\o(DO,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(DA,\s\up6(→))|，故|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up6(→))|，因此选项C正确.由于eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，因此eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))是共线的，D错误.6.给出下列条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的是________.答案①③④7.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，与eq\o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝________.答案0解析向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，则向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同或相反，向量m与eq\o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则向量m与向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向相同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同且不共线，则m＝0.8.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(AA2,\s\up6(→))表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个.答案11解析如图，以B为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个.所以共有11个.9.如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.(1)写出与eq\o(EF,\s\up6(→))共线的向量；(2)写出与eq\o(EF,\s\up6(→))的模相等的向量；(3)写出与eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量.解(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF綉eq\f(1,2)BC，所以与eq\o(EF,\s\up6(→))共线的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).(2)由(1)知EF綉eq\f(1,2)BC，又D是BC的中点，故与eq\o(EF,\s\up6(→))模相等的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).(3)与eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量有：eq\o(DB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→)).10.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝eq\r(5)，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等、方向相同(作图略).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以点A为圆心，以eq\r(5)为半径的圆(图略).二、综合运用11.(多选)在下列结论中，正确的结论为()A.a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件B.a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件C.a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件答案ACD解析若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A，C，D正确，B错误.12.(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定正确的是()A.|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))| B.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))共线C.eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(EH,\s\up6(→))共线 D.eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))答案ABD解析由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|，故A正确；由题图可知，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))的方向相反，故B正确；eq\o(CD,\s\up6(→))与eq\o(FG,\s\up6(→))方向相同