高一数学6.3.1　平面向量基本定理

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课标要求1.理解平面向量基本定理及其意义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.【引入】音乐是人们休闲时候的一种选择，不管是流行歌曲的通俗，摇滚歌曲的动感，还是古典音乐的高雅，它们都给了不同的人不同的享受、不一样的音乐、不一样的感觉.事实上，音乐有7个基本音符：DoReMiFaSolLaSi，所有的乐谱都只是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？一、平面向量基本定理探究1如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量.提示在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝e2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a，然后过点C分别作eq\o(OB,\s\up6(→))和eq\o(OA,\s\up6(→))所在直线的平行线，交eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))所在直线于M，N两点，如图所示，则有eq\o(OM,\s\up6(→))＝λ1e1，eq\o(ON,\s\up6(→))＝λ2e2，所以a＝λ1e1＋λ2e2.探究2上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？提示分解方法唯一.事实上，若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.因为e1与e2不共线，所以λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，所以λ1＝μ1，λ2＝μ2.【知识梳理】平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底温馨提示(1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可.(2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的.例1(1)若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1－e2，e2－e1B.2e1－e2，e1－eq\f(1,2)e2C.2e2－3e1，6e1－4e2D.e1＋e2，e1－e2答案D解析选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.(2)(多选)如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么在下列叙述中正确的有()A.λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对C.若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数m，使λ1e1＋μ1e2＝m(λ2e1＋μ2e2)D.若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0答案AD解析由平面向量基本定理可知，A，D正确.对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，m有无数个.思维升华1.判断两个向量能否构成基底，主要是看二者是否共线.2.对平面向量基本定理应注意：(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；(2)该平面内任意一个向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；(3)基底是不唯一的.训练1(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→)) D.eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))答案AC解析A.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))不共线；B.eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线；C.eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))不共线；D.eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线.由平面内向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故AC满足题意.二、用基底表示向量例2(链接教材P26例1)如图，在平行四边形ABCD中，设对角线eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，试用基底{a，b}表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→)).解法一由题意知，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.法二设eq\o(AB,\s\up6(→))＝x，eq\o(BC,\s\up6(→))＝y，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝y，又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))＝\o(AC,\s\up6(→))，,\o(AD,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＝\o(BD,\s\up6(→))，))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝a，,y－x＝b，))所以x＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，y＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.思维升华用基底表示向量的两种基本方法一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解，即若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝λ2，,μ1＝μ2))来构建方程(组)，使得问题获解.训练2如图，在正方形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，则以{a，b}为基底时，eq\o(AC,\s\up6(→))可表示为________，以{a，c}为基底时，eq\o(AC,\s\up6(→))可表示为________.答案a＋b2a＋c解析以{a，b}为基底时，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b；以{a，c}为基底时，将eq\o(BD,\s\up6(→))平移，使点B与点A重合，再由向量加法的三角形法则或平行四边形法则得eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋c.三、平面向量基本定理的应用例3如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c.(1)用a，c表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))；(2)若点F在AC上，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(4,5)c，求AF∶CF.解(1)因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝c－a，点D是AC的中点，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a)，因为点E是BD的中点，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)(c－a)＝eq\f(1,4)c－eq\f(3,4)a.(2)设eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.又eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(4,5)c，所以λ＝eq\f(4,5)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以AF∶CF＝4∶1.思维升华1.平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.2.平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.训练3如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.解设eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2，故eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up6(→))，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq\f(3,2).【课堂达标】1.(多选)下列选项中，正确的是()A.基底中的向量可以有零向量B.一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底C.一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底D.平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的答案CD解析因为零向量与任何向量都共线，所以零向量不可以作为基底；由平面向量基本定理可知，在一个平面内，只要两向量不共线就可以作为该平面内所有向量的基底，并且基底确定后，该平面内关于基底的线性分解形式也随之唯一确定.2.如图，在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，则eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.－eq\f(1,3)a＋eq\f(3,4)b B.eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,3)b D.－eq\f(3,4)a＋eq\f(5,12)b答案D解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(5,12)b.3.已知非零向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则x，y满足的关系式是()A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0答案A解析由eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→)).又2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y－2＝0.4.如图所示，向量eq\o(OA,\s\up6(→))可用向量e1，e2表示为________.答案4e1＋3e2解析由图示知，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3e2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝4e1，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝4e1＋3e2.一、基础巩固1.(多选)已知{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是()A.2e1－e2和2e2－4e1 B.e1＋e2和e1－2e2C.e1－2e2和e1 D.e1＋e2和2e2＋e1答案BCD解析对于A，因为2e2－4e1＝－2(2e1－e2)，所以2e1－e2和2e2－4e1共线，A选项不满足条件；对于B，设e1＋e2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2λ＝1))无解，故e1＋e2和e1－2e2不共线，B选项能作为基底；同理可知e1－2e2和e1不共线，e1＋e2和2e2＋e1也不共线，C、D选项均能作为基底.2.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为()A.3 B.－3C.0 D.2答案A解析由平面向量的基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－6y＝6，①,4x－5y＝3，②))则①－②得x－y＝3.3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A.a＋2b B.2a＋3bC.2a＋b D.eq\f(3,2)a＋b答案C解析在正六边形ABCDEF中，连接FC(图略)，则FC∥AB，且FC＝2AB，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋b.4.如图，在△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段CD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示为()A.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，点E是CD的中点，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).5.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()A.1 B.－1C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)答案D解析因为E为AO的中点，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→)).又因为eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＝\f(1,4)，,2μ＝－\f(3,4)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,8)，))所以λ＋μ＝eq\f(1,8).6.设E为△ABC的边AC的中点，eq\o(BE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，则m＋n＝________.答案－eq\f(1,2)解析因为eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，所以m＝－1，n＝eq\f(1,2)，所以m＋n＝－eq\f(1,2).7.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为________________.答案(－∞，4)∪(4，＋∞)解析若{a，b}能作为平面内一个基底，则a与b不共线.又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb(k∈R)，得λ≠4.8.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且eq\o(EC,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝________，eq\o(EM,\s\up6(→))＝________(用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示).答案eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))解析如图，∵eq\o(EC,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b将eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))表示出来.解eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)(a－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(PM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))＝－(eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b).10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值.(1)证明若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).由e1，e2不共线，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,3λ＝－2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3).))所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.(2)解由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝1.))故所求λ，μ的值分别为3和1.二、综合运用11.(多选)已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，其中m>0，n>0，则下列结论正确的是()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.2m＋n＝3D.m＋2n＝3答案AC解析如图，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，A正确，B错误.因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2m,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,3)eq\o(AN,\s\up6(→)).又因为M，O，N三点共线，所以eq\f(2m,3)＋eq\f(n,3)＝1，故2m＋n＝3，C正确，D错误.12.如图，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.答案6解析如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作▱OMCN，使得M在射线OA上，N在射线OB上，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝μeq\o(OB,\s\up6(→)).在Rt△OCM中，∵|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，∠COM＝30°，∠OCM＝90°，∴|eq\o(MC,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝4，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))，又|eq\o(ON,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|＝2，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))，∴λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.13.如图所示，在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，BM＝eq\f(2,3)BC，AN＝eq\f(1,4)AB.(1)试用向量a，b来表示eq\o(DN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))；(2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值.解(1)因为AN＝eq\f(1,4)AB，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a，所以eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a－b.因为BM＝eq\f(2,3)BC，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)b.(2)因为A，O，M三点共线，所以eq\o(AO,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→))，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，则eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)b))－b＝λa＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)λ－1))b.因为D，O，N三点共线，所以eq\o(DO,\s\up6(→))∥eq\o(DN,\s\up6(→))，设存在实数μ使eq\o(DO,\s\up6(→))＝μeq\o(DN,\s\up6(→))，则λa＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)λ－1))b＝μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a－b)).由于向量a，b不共线，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,4)μ，,\f(2,3)λ－1＝－μ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,14)，,μ＝\f(6,7)，))所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(3,14)eq\o(AM,