高一数学6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示课标要求借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减运算.【引入】我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)来表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？一、平面向量的正交分解及坐标表示探究1如图，在光滑斜面上的一个木块，其重力可以分解为哪两个力的作用？这些力之间有什么关系？提示该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2.探究2如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？提示由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.【知识梳理】1.平面向量正交分解的定义把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：(2)向量坐标与点的坐标的关系：在平面直角坐标系中，以原点O为起点作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标.温馨提示(1)向量的坐标只与表示此向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，坐标不变.例1(链接教材P29例3)如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝eq\r(2)，θ＝45°，则向量a的坐标为()A.(1，1) B.(－1，－1)C.(eq\r(2)，eq\r(2)) D.(－eq\r(2)，－eq\r(2))答案A解析由题意，得a＝(eq\r(2)cos45°)i＋(eq\r(2)sin45°)j＝i＋j＝(1，1).思维升华求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.(2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向.(3)求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终点的坐标即是该向量的坐标.训练1已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，求向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标.解设点A(x，y)，则x＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6).二、平面向量加、减运算的坐标表示探究3已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？提示a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2).探究4如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标？提示eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1).【知识梳理】1.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有符号表示加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.例如，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1).温馨提示向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，与它们的具体位置无关.例2(链接教材P29例4)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A.(－7，－4) B.(7，4)C.(－1，4) D.(1，4)答案A解析设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－7，－4).思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行求解.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.训练2已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝b.(1)求a＋b－c；(2)求点M，N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标.解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).(1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16).(2)设O为坐标原点.∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1，8)＋(－3，－4)＝(－2，4)，∴M(－2，4).又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)，∴N(－9，－7)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－9，－7)－(－2，4)＝(－7，－11).三、平面向量坐标运算的应用角度1由向量相等求参数的值例3已知点A(2，3)，B(5，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5λ，7λ).若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，试求λ为何值时：(1)点P在第一、三象限的角平分线上？(2)点P在第三象限内？解设点P的坐标为(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ).∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5＋5λ，,y＝4＋7λ.))(1)若点P在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝eq\f(1,2).(2)若点P在第三象限内，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋5λ<0，,4＋7λ<0，))∴λ<－1.角度2向量坐标运算在平面几何中的应用例4(链接教材P30例5)已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.解设D点的坐标为(x，y).当平行四边形为ABCD时，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3－x，4－y)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得D(2，2).当平行四边形为ACDB时，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－3，y－4)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，得D(4，6).当平行四边形为ACBD时，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5，3)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(－1－x，3－y)，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，得D(－6，0)，故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0).思维升华坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)条件：相等向量的对应坐标相等.(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标.训练3已知点O(0，0)，A(1，2).(1)若点B(3t，3t)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由.解(1)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－eq\f(2,3).若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－eq\f(1,3).若点P在第二象限，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t>0，))∴－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝(3－3t，3－3t).若四边形OABP为平行四边形，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))该方程组无解.故四边形OABP不能成为平行四边形.【课堂达标】1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于()A.(－2，1) B.(2，－1)C.(2，0) D.(4，3)答案B解析由题意得b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1).2.若A(3，1)，B(2，－1)，则eq\o(BA,\s\up6(→))的坐标是()A.(－2，－1) B.(2，1)C.(1，2) D.(－1，－2)答案C解析eq\o(BA,\s\up6(→))＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2).3.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))可以表示为()A.2i＋3j B.4i＋2jC.2i－j D.－2i＋j答案C解析设O为坐标原点，∵A(2，3)，B(4，2)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝2i＋3j，eq\o(OB,\s\up6(→))＝4i＋2j，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝4i＋2j－2i－3j＝2i－j.4.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))的坐标为________.答案(2，0)解析依题意A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)，C(1，1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，1)－(1，0)＝(0，1)，故eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0)－(0，1)＋(1，1)＝(2，0).一、基础巩固1.(多选)下列说法正确的是()A.相等向量的坐标相同B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标C.一个坐标对应唯一的一个向量D.平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应答案ABD解析由向量坐标的定义可知一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，易知ABD均正确.2.已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b等于()A.(1，－2) B.(1，2)C.(5，6) D.(2，0)答案A解析b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2).3.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为()A.(－7，0) B.(7，6)C.(6，7) D.(7，－6)答案D解析设D(x，y)，因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)，所以x＝7，y＝－6，所以D(7，－6).4.已知两点A(4，1)，B(7，－3)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，则点C的坐标是()A.(1，5) B.(－3，4)C.(－1，－5) D.(4，－3)答案A解析设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－4，y－1).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7，－3)－(4，1)＝(3，－4)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴(3，－4)＋(x－4，y－1)＝(0，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋x－4＝0，,－4＋y－1＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5，))∴C(1，5).5.(多选)以A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标可以是()A.(2，3) B.(2，－1)C.(4，1) D.(－2，－1)答案ACD解析设D(x，y)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则(1，－1)＝(x－3，y－2)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝1，,y－2＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1，))即D(4，1)；若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则(1，－1)＝(3－x，2－y)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－1，,y－2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即D(2，3)；若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则(x，y－1)＝(－2，－2)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y－1＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1，))即D(－2，－1).6.若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案(－1，6)解析法一由题意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，3)＋(－3，3)＝(－1，6).法二eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，6).7.已知2026个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8，15)，则其余2025个向量的和为________.答案(－8，－15)解析设其余2025个向量的和为(x，y)，则(8，15)＋(x，y)＝(0，0)，∴(x，y)＝(－8，－15).8.已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.答案－3解析∵a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3.9.已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|，求点P的坐标.解设P点坐标为(x，y).当P在线段AB上时，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→)).∴(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－1－x，,y＋4＝2－y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))∴P点坐标为(1，－1).当P在线段AB延长线上时，eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0.∴(x－3，y＋4)＋(－1－x，2－y)＝(0，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝1＋x，,y＋4＝－2＋y，))此时无解.同理，当P在线段BA延长线上时，不合题意.综上所述，点P的坐标为(1，－1).10.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，(1)若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，求点P的坐标.(2)若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，求eq\o(OP,\s\up6(→))的坐标.解(1)因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即点P的坐标为(3，3).(2)设点P的坐标为(x，y)，因为eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y).所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))所以点P的坐标为(2，2)，故eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2，2).二、综合运用11.若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取{i，j}作为基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于()A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析向量a对应的坐标为(x2＋x＋1，－x2＋x－1).∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，－x2＋x－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(3,4)<0，∴向量a对应的坐标位于第四象限.12.已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与a＝(6，－8)的夹角为π，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|，若点A的坐标为(－1，2)，则点B的坐标为()A.(－7，10) B.(7，10)C.(5，－6) D.(－5，6)答案A解析由题意知，eq\o(AB,\s\up6(→))与a方向相反，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋a＝0.设B(x，y)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＋6＝0，,y－2－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－7，,y＝10，))故点B的坐标为(－7，10).13.以原点O及点A(2eq\r(3)，－2)为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标.解因为△AOB为等边三角形，且A(2eq\r(3)，－2)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4.因为在0～2π范围内，以Ox为始边，OA为终边的角为eq\f(11π,6).(1)当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为eq\f(π,6)，由三角函数的定义得eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4cos\f(π,6)，4sin\f(π,6)))＝(2eq\r(3)，2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，2)－(2eq\r(3)，－2)＝(0，4).(2)当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为eq\f(3π,2).