高一数学6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

6.3.5平面向量数量积的坐标表示课标要求1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直.【引入】同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标来表示两向量的数量积呢？一、平面向量数量积的坐标表示探究1在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？提示i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.【知识梳理】向量数量积的坐标表示(1)语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.(2)坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.例1(1)(链接教材P36练习T2)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝()A.10 B.－10C.3 D.－3答案B解析a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝________.答案eq\f(2,3)解析建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝(2，1)，又eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，所以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))－(2，0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，2))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(2，1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，2))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋1×2＝eq\f(2,3).思维升华进行向量数量积的坐标运算的注意点(1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要学会建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题.训练1(1)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于()A.6 B.5C.4 D.3答案C解析由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则(2a＋b)·c＝()A.－eq\r(2) B.1C.eq\r(2) D.eq\f(\r(6),3)答案B解析以a，b的公共起点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，所以2a＋b＝(6，1)，(2a＋b)·c＝1.二、平面向量模(长度)的坐标表示探究2在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若向量a＝(x，y)，借助于公式|a|＝eq\r(|a|2)＝eq\r(a·a)，如何用坐标表示|a|?提示|a|＝eq\r(|a|2)＝eq\r(a·a)＝eq\r(（xi＋yj）2)＝eq\r(x2＋y2).【知识梳理】1.若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝eq\r(x2＋y2).2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).例2(链接教材P36练习T1)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m)，若a与b反向共线，则|a－eq\r(3)b|的值为()A.0 B.48C.4eq\r(3) D.3eq\r(6)答案C解析由题意得m2＝3，解得m＝±eq\r(3)，又a与b反向共线，故m＝－eq\r(3)，此时a－eq\r(3)b＝(－2eq\r(3)，6)，故|a－eq\r(3)b|＝eq\r(（－2\r(3)）2＋62)＝4eq\r(3).思维升华求向量a＝(x，y)模的常见思路及方法a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.训练2(多选)已知向量a＝(1，0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则|a＋b|的值可以是()A.3 B.eq\r(3) C.2 D.2eq\r(2)答案BC解析由向量a＝(1，0)，b＝(cosθ，sinθ)，可得|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cosθ，则|a＋b|＝eq\r(a2＋b2＋2a·b)＝eq\r(2＋2cosθ).因为θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以cosθ∈[0，1]，所以eq\r(2＋2cosθ)∈[eq\r(2)，2]，即|a＋b|∈[eq\r(2)，2]，故选项BC符合题意.三、平面向量夹角与垂直的坐标表示探究3在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，如何用坐标表示两非零向量垂直的充要条件？提示a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2＝0.【知识梳理】设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角.(1)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.温馨提示不要混淆两向量垂直与两向量平行的坐标表示.例3已知点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2).(1)求向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值；(2)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))⊥(eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→)))，求实数t的值.解(1)因为点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－2)－(2，－1)＝(－1，－1)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝－eq\f(3\r(10),10).(2)由(1)得eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2)＋t(－1，－1)＝(1－t，2－t)，又因为eq\o(AB,\s\up6(→))⊥(eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→)))＝1－t＋4－2t＝0，解得t＝eq\f(5,3).思维升华1.利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))直接求出cosθ，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.并需要注意当cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.2.涉及向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决.训练3(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(4,5)答案A解析因为a与b垂直，所以a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2，则b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)，设a与a＋b夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·（a＋b）,|a||a＋b|)＝eq\f(5,\r(12＋22)×5)＝eq\f(\r(5),5).(2)(链接教材P36T10)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2，－m＋1).若a⊥(a＋b)，则m＝________.答案0或1解析由a＝(m，－1)，b＝(－2，－m＋1)，得a＋b＝(m－2，－m).因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝m(m－2)＋(－1)×(－m)＝0，即m2－m＝0，解得m＝1或m＝0.【课堂达标】1.若a＝(2，－3)，b＝(x，2x)，且3a·b＝4，则x等于()A.3 B.eq\f(1,3)C.－eq\f(1,3) D.－3答案C解析由3a·b＝4，得(6，－9)·(x，2x)＝－12x＝4，∴x＝－eq\f(1,3).2.(链接教材P36练习T3)已知a＝(－eq\r(3)，－1)，b＝(1，eq\r(3))，那么a，b的夹角θ＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)答案D解析由题意得cosθ＝eq\f(－\r(3)－\r(3),2×2)＝－eq\f(\r(3),2)，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(5π,6).3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A.1 B.eq\r(2)C.2 D.4答案C解析由题意2a－b＝(3，n)，∵2a－b与b垂直，∴3×(－1)＋n2＝0，∴n2＝3，∴|a|＝eq\r(12＋n2)＝2.4.已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，－1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝________.答案7eq\r(13)解析由题意eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1，－3)＝(3，2)，∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13).一、基础巩固1.向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则|2a＋b|＝()A.2 B.eq\r(5) C.3 D.5答案D解析由题意知2a＋b＝(0，5)，则|2a＋b|＝5.2.(多选)已知向量a＝(－2，1)，b＝(2，4)，c＝(－4，2)，则下列结论正确的是()A.a∥b B.a⊥b C.b⊥c D.a∥c答案BCD解析∵a＝(－2，1)，b＝(2，4)，c＝(－4，2)，∴c＝2a，a·b＝－2×2＋1×4＝0，b·c＝2b·a＝0，因此a∥c，a⊥b，b⊥c.3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于()A.eq\r(3) B.2eq\r(3) C.4 D.12答案B解析∵a＝(2，0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1·cos60°＝1.∴|a＋2b|＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝2eq\r(3).4.(链接教材P34例10)已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形答案A解析由题设知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(8，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，8)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×8＋(－4)×4＝0，即eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形.5.设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,2)答案B解析∵四边形OABC是平行四边形，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，∴a＝6，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2，6)，设向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为θ，∴cosθ＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OC,\s\up6(→))|)＝eq\f(4×2＋2×6,\r(42＋22)×\r(22＋62))＝eq\f(\r(2),2)，又θ∈[0，π]，∴eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为eq\f(π,4).6.已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________.答案4解析a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4.7.设向量a＝(2，3)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为________.答案(－4，9)∪(9，＋∞)解析因为a与b的夹角为锐角，所以a·b>0，且a与b不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12＋3t>0，,2t－18≠0，))解得t>－4且t≠9，所以实数t的取值范围为(－4，9)∪(9，＋∞).8.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，7)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5，1)(O为坐标原点)，设M是直线y＝eq\f(1,2)x上的一点，那么eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最小值是________.答案－8解析由题意，得A(1，7)，B(5，1).设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x))，则eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，7－\f(1,2)x))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－x，1－\f(1,2)x))，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(1－x)·(5－x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(1,2)x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x))＝eq\f(5,4)(x－4)2－8.当x＝4时，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))取得最小值－8.9.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x·(－x)＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)∵a∥b，∴1·(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，∴a－b＝(－2，0)，∴|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝2eq\r(5)，∴|a－b|＝2或2eq\r(5).10.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).(1)试计算a·b及|a＋b|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值.解(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，|a＋b|＝eq\r(（4＋1）2＋（3－1）2)＝eq\r(25＋4)＝eq\r(29).(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,\r(2)×5)＝eq\f(\r(2),10).二、综合运用11.(多选)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围可以是()A.(－∞，－eq\f(9,2)) B.(－eq\f(9,2)，3)C.[－eq\f(9,2)，3] D.(3，＋∞)答案AB解析由a＝(k，3)，b＝(1，4)，得2a－3b＝(2k－3，－6).又2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6<0，得k<3，若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－eq\f(9,2).当k＝－eq\f(9,2)时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，此时2a－3b与c共线且反向，不合题意.综上，k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3))，故选AB.12.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E在边CD上，且eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))的值是________.答案eq\f(32,9)解析以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB＝eq\r(2)，BC＝2，∴A(0，0)，B(eq\r(2)，0)，C(eq\r(2)，2)，D(0，2)，∵点E在边CD上，且eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，2))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，2))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),3)，2))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(4,9)＋4＝eq\f(32,9).13.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值.解(1)因为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n，所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因为0<x<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<x－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).三、创新拓展14.已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，1