高一数学6.4.2　向量在物理中的应用举例

6.4.2向量在物理中的应用举例课标要求会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用.【引入】向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰.一、向量与力例1(链接教材P41练习T3)设平面上作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，|F1|＝1N，|F2|＝2N，F1和F2的夹角为eq\f(2π,3).求：(1)F3的大小；(2)〈F3，F2〉的大小.解(1)因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|＝eq\r(（F1＋F2）2)＝eq\r(Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2F1·F2)＝eq\r(1＋4＋2×1×2·cos\f(2π,3))＝eq\r(3)(N).(2)如图，以三力的作用点O为坐标原点，F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.将向量F1，F3正交分解.设∠MOC＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))，由受力平衡知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|F3|cosθ＋|F1|cos\f(π,3)＝|F2|，,|F3|sinθ＝|F1|cos\f(π,6)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|F3|cosθ＝|F2|－|F1|cos\f(π,3)，,|F3|sinθ＝|F1|cos\f(π,6).))将|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝eq\r(3)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)cosθ＝2－\f(1,2)，,\r(3)sinθ＝\f(\r(3),2)，))又因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,6)，所以〈F3，F2〉＝π－eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6).思维升华平面向量在物理中的力学应用广泛，用向量处理这些问题时，根据题意把物理向量用有向线段表示，利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.本例第(2)问中建立平面直角坐标系，把向量作正交分解，这种方法在力学中应用非常广泛.训练1已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F2的夹角为eq\f(π,3)，|F|＝10N，则F2的大小为________N.答案5解析设eq\o(AD,\s\up6(→))＝F1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝F2，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝F.因为合力F与F2的夹角为eq\f(π,3)，|F|＝10N，即∠BAC＝eq\f(π,3)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝10.又因为F1，F2的夹角是直角，所以AB⊥AD，即∠BAD＝∠ABC＝eq\f(π,2).所以在Rt△ABC中，|F2|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＝|F|coseq\f(π,3)＝5(N).二、向量与速度、加速度、位移例2(链接教材P41例4)如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|＝10km/h，水流速度的大小为|v2|＝4km/h，设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).(1)当cosθ多大时，船能垂直到达对岸？(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短，为什么？解(1)船垂直到达对岸，即船的实际速度v＝v1＋v2且与v2垂直，即(v1＋v2)·v2＝0.所以v1·v2＋veq\o\al(2,2)＝0，即|v1||v2|cosθ＋|v2|2＝0，所以40cosθ＋16＝0，解得cosθ＝－eq\f(2,5).(2)设船航行到对岸所需的时间为th，则t＝eq\f(d,|v1|sinθ)＝eq\f(0.5,10sinθ)＝eq\f(1,20sinθ)(h).故当θ＝90°时，船的航行时间最短，为eq\f(1,20)h.而当船垂直到达对岸时，由(1)知sinθ＝eq\f(\r(21),5)，所需时间t＝eq\f(1,20sinθ)＝eq\f(1,20×\f(\r(21),5))＝eq\f(\r(21),84)(h)，eq\f(\r(21),84)>eq\f(1,20)，故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短.思维升华速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，主要借助于向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.训练2(多选)在水流速度大小为4eq\r(3)km/h的河水中，一艘船以12km/h大小的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是()A.这艘船在静水中航行速度的大小为12eq\r(3)km/hB.这艘船在静水中航行速度的大小为8eq\r(3)km/hC.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150°D.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120°答案BD解析如图，设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船在静水中航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知|v3|＝eq\r(|v1|2＋|v2|2)＝8eq\r(3)(km/h).设船航行速度的方向和水流方向的夹角为θ，则tan(180°－θ)＝eq\f(|v1|,|v2|)＝eq\f(12,4\r(3))＝eq\r(3)，所以tanθ＝－eq\r(3)，θ＝120°，船在静水中的速度为8eq\r(3)km/h，航行速度方向与水流方向的夹角为120°.三、向量与功例3(链接教材P41练习T1)已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10m/s2)解如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J).将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J).即F和f所做的功分别为500eq\r(3)J和－22J.思维升华力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角).训练3一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5)，则在这个过程中三个力的合力所做的功为________.答案－40解析∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，4)，∴F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，即三个力的合力做的功等于－40.【课堂达标】1.已知两个力F1＝(1，2)，F2＝(－2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3＝()A.(1，－5) B.(－1，5)C.(5，－1) D.(－5，1)答案A解析根据力的合成可知F1＋F2＝(1，2)＋(－2，3)＝(－1，5)，因为物体保持静止，所以作用于物体的合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，则F3＝(1，－5).2.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5eq\r(3)N，则两个力的合力的大小为()A.5N B.5eq\r(2)NC.5eq\r(3)N D.5eq\r(6)N答案D解析两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝eq\r(Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2F1·F2)＝5eq\r(6)(N).3.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为()A.7 B.10C.14 D.70答案D解析F做的功为F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×eq\f(1,2)＝70.4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________.答案120°解析作eq\o(OA,\s\up6(→))＝F1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝F2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－G(图略)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°，即θ的值为120°.一、基础巩固1.人骑自行车的速度是ν1，风速为ν2，则逆风行驶的速度大小为()A.ν1－ν2 B.ν1＋ν2C.|ν1|－|ν2| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ν1,ν2)))答案C解析由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为ν1＋ν2，人的速度和风速方向相反，则逆风行驶的速度大小为|ν1|－|ν2|.2.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A.6 B.2C.2eq\r(5) D.2eq\r(7)答案C解析由题意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2eq\r(5).3.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N.当它们的夹角为120°时，合力的大小为()A.40N B.10eq\r(2)NC.20eq\r(2)N D.40eq\r(2)N答案B解析如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力.由题意易知|F|＝eq\r(2)|F1|，|F|＝20N，所以|F1|＝|F2|＝10eq\r(2)N.当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边作平行四边形，此平行四边形为菱形，此时合力的大小|F′|＝|F1|＝10eq\r(2)N.4.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为()A.(－2，4) B.(－30，25)C.(10，－5) D.(5，－10)答案C解析设(－10，10)为A，5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(x＋10，y－10)，由题意有eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5ν.即(x＋10，y－10)＝(20，－15)所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋10＝20，,y－10＝－15，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－5.))5.河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A.10m/s B.2eq\r(26)m/sC.4eq\r(6)m/s D.12m/s答案B解析由题意知|ν水|＝2m/s，|ν船|＝10m/s，作出示意图如图.∴|ν|＝eq\r(102＋22)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)(m/s).6.飞机以大小为300km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________km/h.答案150eq\r(3)解析如图所示，|v1|＝|v|cos30°＝300×eq\f(\r(3),2)＝150eq\r(3)(km/h).7.一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为50m，且力F所做的功W＝250eq\r(2)J，则F与s的夹角等于______.答案eq\f(π,4)解析设F与s的夹角为θ，由W＝F·s，得250eq\r(2)＝10×50cosθ，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,4).8.在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________km/h.答案4eq\r(5)解析用v0表示水流速度，v1表示船在与水流垂直的方向上的速度，则v0＋v1表示船实际航行的速度.因为|v0|＝4，|v1|＝8，所以|v0＋v1|＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5).9.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使其由点A(20，15)移动到点B(7，0).(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up6(→)).＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＋F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝W1＋W2＝－99－3＝－102.所以合力F对质点所做的功为－102.10.在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))表示水流的速度，eq\o(AD,\s\up6(→))表示渡船在静水中的速度，eq\o(AC,\s\up6(→))表示渡船实际垂直过江的速度.因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝12.5，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.二、综合运用11.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个旅行包.当两人提着质量为G的旅行包时，夹角为θ，两人拉力的大小都为|F|，若|F|＝eq\f(\r(3),3)|G|，则θ的值为()A.30° B.60°C.90° D.120°答案B解析设两人用力分别为F1，F2，则|F1|＝|F2|＝|F|，|F1＋F2|＝|G|，∴Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2F1·F2＝G2，又|F|＝eq\f(\r(3),3)|G|，∴2|F|2＋2|F|2cosθ＝3|F|2，解得cosθ＝eq\f(1,2)，∴θ＝60°.12.一条河宽为8000m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________h.答案0.5解析如图，ν实际＝ν船＋ν水＝ν1＋ν2，|ν1|＝20，|ν2|＝12，∴|ν实际|＝eq\r(|ν1|2－|ν2|2)＝eq\r(202－122)＝16(km/h).∴所需时间t＝eq\f(8,16)＝0.5(h).∴该船到达B处所需的时间为0.5h.13.一条宽为eq\r(3)km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝eq\r(3)km，船在水中的最大航速为4km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？解如图所示，设eq\o(AC,\s\up6(→))为水流速度，eq\o(AD,\s\up6(→))为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，|eq\o(DE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，∠AED＝90°，∴|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|2－|\o(DE,\s\