高一数学8.2　立体图形的直观图

8.2立体图形的直观图课标要求能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.【引入】美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系.如何在平面上画出空间几何体呢？一、水平放置的平面图形的直观图的画法探究1我们都非常喜欢打乒乓球，乒乓球台是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？提示在乒乓球台上建立平面直角坐标系，如图所示，当将两坐标轴的夹角变为45°或135°时，台面看起来就是平行四边形了.【知识梳理】1.直观图的概念把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使其既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤温馨提示在已知图形中建立直角坐标系时，尽量利用原图形的对称性和垂直关系，且使尽量多的点、线段落在坐标轴上或与坐标轴平行.例1(链接教材P108例1)画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点，在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′为中点，画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.思维升华画水平放置的平面图形的直观图的技巧：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.(2)原图中的点不在坐标轴上且不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.训练1用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.二、直观图的还原与计算探究2如图所示，设△ABC的底边BC＝a，高AO＝h，则其面积S＝eq\f(1,2)ah，那么其直观图△A′B′C′中B′C′的长度，高的长度，△A′B′C′的面积S′分别是什么？提示根据斜二测画法可得△ABC的直观图，如图所示，B′C′＝a，△A′B′C′的高A′H＝eq\f(1,2)h×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)h，故S′＝eq\f(1,2)×B′C′×A′H＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(2),4)h＝eq\f(\r(2),8)ah.探究3探究2中△ABC的面积S与其直观图的面积S′有什么关系？提示S′＝eq\f(\r(2),4)S.例2(多选)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是()A.△ABC是钝角三角形B.△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC的周长是4＋4eq\r(2)答案CD解析根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB，因为O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，所以△ABC的周长是4＋4eq\r(2)，面积是4，故A错误，C，D正确.由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2eq\r(2)倍，故B错误.思维升华由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，一个平面多边形的直观图面积是原图形面积的eq\f(\r(2),4)倍.训练2(1)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1，则原图形是()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.梯形(2)若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B′＝2，则原四边形AOBC的面积为()A.12 B.6C.3eq\r(2) D.eq\f(3\r(2),2)答案(1)C(2)C解析(1)因为矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1，又因为∠D′O′A′＝45°，所以O′D′＝eq\r(2)，在原图形中，OA∥BC，OC∥AB，高OD＝2eq\r(2)，CD＝1，所以OC＝eq\r(8＋1)＝3＝OA，则原图形为菱形.(2)法一因为A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B′＝2，所以由斜二测画法的直观图可知O′A′＝eq\r(2)，把直观图还原成原平面图形.如图所示，在图中AC∥OB，OA⊥OB，AC＝1，OB＝2，AO＝2A′O′＝2×eq\r(2)＝2eq\r(2)，所以这个平面图形是直角梯形，它的面积S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2eq\r(2)＝3eq\r(2).法二因为A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B′＝2，所以由斜二测画法的直观图知B′C′＝1，所以S直＝eq\f(1,2)(A′C′＋O′B′)·B′C′＝eq\f(3,2)＝eq\f(\r(2),4)S原所以S原＝3eq\r(2).三、空间几何体的直观图的画法探究4我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？提示先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体.【知识梳理】立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.温馨提示画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感.例3(链接教材P109例2)用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.解画法步骤：(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.思维升华1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变”.3.当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验.训练3(链接教材P111例4)一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为3cm，圆锥的高为3cm，画出此机器部件的直观图.解(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3cm.(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.【课堂达标】1.(多选)下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是()A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的eq\f(1,2)C.画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D.在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同答案ABD解析由直观图的画法规则，可知A，B，D正确，C中∠x′O′y′可以是45°或135°，故C错误.2.若利用斜二测画法把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应()A.平行于z′轴且大小为10cmB.平行于z′轴且大小为5cmC.与z′轴成45°且大小为10cmD.与z′轴成45°且大小为5cm答案A解析平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.3.下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是()答案A解析由题意知应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A正确.4.如图，△A′O′B′是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中O′A′＝3，O′B′＝2，则AB的长度为________.答案5解析由题意，根据斜二测画法的规则，OA＝O′A′＝3，OB＝2O′B′＝4，所以AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝5.一、基础巩固1.斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是()A.矩形的直观图一定是矩形B.等腰三角形的直观图一定是等腰三角形C.平行四边形的直观图一定是平行四边形D.菱形的直观图一定是菱形答案C解析对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误；对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误；对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确；对D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误.2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()答案C解析根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.3.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到O′x′轴的距离为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.1 D.eq\r(2)答案B解析因为BC垂直于x轴，所以在直观图中B′C′的长度是1，且与O′x′轴的夹角是45°，所以B′到O′x′轴的距离是eq\f(\r(2),2).4.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′O′＝O′B′＝2，B′C′＝2，则四边形ABCD的周长为()A.20 B.12C.8＋4eq\r(3) D.8＋4eq\r(2)答案A解析直观图还原如图所示.因为O′B′＝2，B′C′＝2，所以O′C′＝2eq\r(2)，所以OC＝2O′C′＝4eq\r(2).在Rt△OBC中，CB＝eq\r(OC2＋OB2)＝6，AD＝BC＝6，AB＝DC＝4，所以四边形ABCD的周长为AD＋BC＋AB＋CD＝6＋6＋4＋4＝20.5.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝1，则△AOB的边OB上的高为()A.4eq\r(2) B.2eq\r(2)C.4 D.2答案B解析设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2eq\r(2)S直观图，所以eq\f(1,2)×OB×h＝2eq\r(2)×eq\f(1,2)×O′B′×1，又OB＝O′B′，所以h＝2eq\r(2).6.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________.答案(4，2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4，2).7.由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝2，B′C′＝eq\f(3,2)，则边AB上的中线的实际长度为________.答案eq\f(\r(13),2)解析由斜二测画法得，在原图△ABC中，∠ACB＝eq\f(π,2)，AC＝2，BC＝3，所以AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(13)，边AB上的中线的实际长度为eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(13),2).8.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，其面积为________cm2.答案矩形8解析由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，故四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2).9.画出底面是边长为1.2cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图.解(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2cm，EF＝0.6cm.(3)画顶点.在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5cm.(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.10.已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.解(1)画轴.如图，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.(2)画下底面.以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA＝OB＝1cm.利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.(3)画上底面.在Oz上截取点O′，使OO′＝3cm，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′.类似下底面的作法作出圆柱的上底面.(4)成图.连接AA′，BB′，整理得到圆柱的直观图.二、综合运用11.如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为()A.下底长为1＋eq\r(2)的等腰梯形B.下底长为1＋2eq\r(2)的等腰梯形C.下底长为1＋eq\r(2)的直角梯形D.下底长为1＋2eq\r(2)的直角梯形答案C解析∵平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，∴平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底长为1，下底长为1＋eq\r(2)，只有C项满足.12.(多选)用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，如图所示，其中D′是△A′B′C′的B′C′边的中点，A′B′，B′C′分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB