高一数学8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课标要求1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题.【引入】在初中我们学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？今天就让我们来学习一下吧！一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积探究1我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？提示长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.【知识梳理】棱柱、棱锥、棱台的表面积(1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.温馨提示对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.例1(链接教材P114例1)已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.解如图，设PO＝3，PE是斜高，∵S侧＝2S底，∴4·eq\f(1,2)·BC·PE＝2BC2，∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)PE，∴9＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PE,2)))eq\s\up12(2)＝PE2，∴PE＝2eq\r(3).∴S底＝BC2＝PE2＝(2eq\r(3))2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24，∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.思维升华求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、侧面底边上的高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形.训练1已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1∶3∶eq\r(3)，若侧棱长为eq\r(5)，则该棱台的侧面积为()A.16 B.10 C.eq\f(13\r(3),3) D.30答案A解析设上底面边长为x，则下底面边长为3x，高为eq\r(3)x，上底面正方形对角线长为eq\r(2)x，下底面正方形对角线长为3eq\r(2)x，又侧棱长为eq\r(5)，所以(eq\r(5))2＝(eq\r(3)x)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)x－\r(2)x,2)))eq\s\up12(2)，解得x＝1，所以侧面等腰梯形的高为eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－1,2)))\s\up12(2))＝2，所以该棱台的侧面积为4×eq\f(1,2)×(1＋3)×2＝16.二、棱柱、棱锥、棱台的体积探究2一个长方体底面矩形的边长分别为a，b，侧棱长为c，则底面矩形的面积为S＝ab，它的体积为V＝abc＝Sc，由此猜想底面积为S，高为h的棱柱的体积是多少？提示V＝Sh.【知识梳理】几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥＝eq\f(1,3)ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高温馨提示1.棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系.V棱柱＝Sheq\o(,\s\up6(S′＝S))V棱台＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(,\s\up6(S′＝0))V棱锥＝eq\f(1,3)Sh.2.在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点.例2(1)若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为________.(2)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为________.答案(1)eq\f(28\r(7),3)(2)eq\f(1,12)a3解析(1)由题知正四棱台的上底面的对角线长为2eq\r(2)，下底面的对角线长为4eq\r(2)，侧棱长为3，所以正四棱台的高为eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2)－2\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(7)，正四棱台的体积为eq\f(1,3)×(4＋eq\r(4×16)＋16)×eq\r(7)＝eq\f(28\r(7),3).(2)由题意得S△A1D1E＝eq\f(1,2)EA1·A1D1＝eq\f(1,4)a2，三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，所以V三棱锥F－A1D1E＝eq\f(1,3)·a·eq\f(1,4)a2＝eq\f(1,12)a3.又V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，所以V三棱锥A1－D1EF＝eq\f(1,12)a3.思维升华1.求棱台体积的方法(1)补台为锥，利用锥体体积公式计算.(2)利用棱台体积计算公式直接求解.2.求棱锥的体积常用方法(1)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.训练2(1)设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为eq\r(5)，那么它的体积为()A.6eq\r(3) B.eq\r(3)C.2eq\r(3) D.2(2)(链接教材P120T3)如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好是中截面，则图①中容器水面的高度是________.答案(1)B(2)eq\f(3,2)解析(1)由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为eq\r(5)，可知高h＝eq\r(（\r(5)）2－1)＝2，又因为底面积S＝eq\f(3\r(3),2)，所以体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×2＝eq\r(3).(2)在图②中，水中部分是四棱柱，四棱柱底面积为S＝eq\f(1,2)×12×sin60°－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)sin60°＝eq\f(3\r(3),16)，高为2，∴四棱柱的体积为V＝2×eq\f(3\r(3),16)＝eq\f(3\r(3),8)，设图①中容器内水面高度为h，则V＝eq\f(1,2)×12×sin60°×h＝eq\f(3\r(3),8)，解得h＝eq\f(3,2)，∴图①中容器内水面的高度是eq\f(3,2).三、简单组合体的表面积和体积例3(链接教材P115例2)一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)?解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.S底＝0.6×1.1－eq\f(1,2)×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)，V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米).故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.思维升华求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.训练3如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.解由图可知△A1BD是边长为eq\r(2)a的等边三角形，其面积为eq\f(\r(3),2)a2，故所求几何体A1B1C1D1－DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝eq\f(\r(3),2)a2＋3×eq\f(1,2)×a2＋3a2＝eq\f(\r(3)＋9,2)a2.几何体A1B1C1D1－DBC的体积V＝V正方体ABCD－A1B1C1D1－V三棱锥A1－ABD＝a3－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a×a×a＝eq\f(5,6)a3.【课堂达标】1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为()A.22 B.20C.10 D.11答案A解析长方体的表面积S表＝2(1×2＋1×3＋2×3)＝22.2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是棱A1B1上的任意一点，则四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.不确定答案B解析设正方体棱长为a，则V正方体＝a3，V四棱锥S－ABCD＝eq\f(1,3)×a2×a＝eq\f(1,3)a3，∴V四棱锥S－ABCD＝eq\f(1,3)V正方体.3.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________.答案6＋2eq\r(2)解析V棱台＝eq\f(1,3)×(2＋4＋eq\r(2×4))×3＝eq\f(1,3)×3×(6＋2eq\r(2))＝6＋2eq\r(2).4.如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为________和________.答案32cm248cm2解析正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴斜高PE＝eq\f(OE,sin30°)＝eq\f(2,\f(1,2))＝4(cm).因此S棱锥侧＝eq\f(1,2)×4×4×4＝32(cm2)，S底＝4×4＝16(cm2)，S棱锥表＝32＋16＝48(cm2).一、基础巩固1.正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为()A.3eq\r(3)a2 B.2eq\r(3)a2C.eq\r(3)a2 D.4a2答案C解析S＝4×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)a·a＝eq\r(3)a2.2.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为()A.eq\f(1,2) B.2C.eq\f(1,3) D.3答案B解析设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为eq\f(3,2)S，故二者的体积之比为eq\f(V1,V2)＝eq\f(Sh,\f(1,3)×\f(3,2)Sh)＝eq\f(2,1)＝2.3.将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A.6a2 B.12a2C.18a2 D.24a2答案B解析原来正方体的表面积S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为eq\f(1,3)a，则每个小正方体的表面积为6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(2,3)a2，27个小正方体的总表面积S2＝27×eq\f(2,3)a2＝18a2，所以增加的表面积S＝S2－S1＝12a2.4.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两个几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两个几何体的说法正确的是()A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26答案BD解析由上、下两部分的高之比为1∶2，可得小棱锥与大棱锥的高之比为1∶3，则小棱锥与大棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，所以上、下两个几何体的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.5.某文创小组设计了一款校园香囊，它是由6个边长为6cm的全等正三角形拼接而成的六面体(如图)，那么香囊内可供填充的容量约为()A.9eq\r(2)cm3 B.18eq\r(2)cm3C.36eq\r(2)cm3 D.72eq\r(2)cm3答案C解析依题意，这个六面体可视为共底面的两个棱长为6cm的正四面体拼接而成，如图，正四面体D－ABC的棱长为6cm，O为正三角形ABC的中心，连接OC，OD，则正三角形ABC中，OC＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)AB＝2eq\r(3)(cm)，正四面体D－ABC的高OD＝eq\r(CD2－OC2)＝2eq\r(6)(cm)，于是得VD－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·OD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)AB2·OD＝18eq\r(2)(cm3)，所以这个六面体香囊内可供填充的容量约为36eq\r(2)cm3.6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______.答案eq\f(1,6)解析S△DD1E＝eq\f(1,2)DD1×1＝eq\f(1,2)，又点F到平面DD1E的距离为1，所以VD1－EDF＝VF－D1DE＝eq\f(1,3)S△DD1E×1＝eq\f(1,6).7.正四棱台的上、下底面边长分别为8cm和18cm，侧棱长为13cm，则其表面积为________cm2.答案1012解析易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为eq\r(132－52)＝12，所以正四棱台的表面积S＝4×eq\f(1,2)×(8＋18)×12＋82＋182＝1012(cm2).8.三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.答案eq\f(1,4)解析如图，设点C到平面PAB的距离为h，则点E到平面BAD的距离为eq\f(1,2)h.∵S△DAB＝eq\f(1,2)S△PAB，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S△DAB·\f(1,2)h,\f(1,3)S△PAB·h)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)S△PAB·\f(1,2)h,\f(1,3)S△PAB·h)＝eq\f(1,4).9.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.解在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵V三棱锥A1－ABD＝V三棱锥A－A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a·d.∴d＝eq\f(\r(3),3)a.∴点A到平面A1BD的距离为eq\f(\r(3),3)a.10.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.解如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16，∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝eq\f(1,2)V三棱锥C－ABE＝eq\f(1,2)V三棱锥E－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱锥E－ABCD＝4，∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.二、综合运用11.在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，侧棱长为b，则其侧面积为()A.eq\f(3\r(3)ab,4) B.eq\f(\r(3)＋2,2)abC.(eq\r(3)＋eq\r(2))ab D.eq\f(2\r(3)＋\r(2),2)ab答案C解析如图，由已知条件可知，侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为平行四边形，侧面BB1C1C为矩形.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∴BC＝eq\r(2)a.∴S矩形BCC1B1＝eq\r(2)ab.∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，∴点B到直线AA1的距离为asin60°＝eq\f(\r(3),2)a，∴S四边形AA1C1C＝S四边形AA1B1B＝eq\f(\r(3),2)ab.∴S侧＝2×eq\f(\r(3),2)ab＋eq\r(2)ab＝(eq\r(3)＋eq\r(2))ab.12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.答案eq\f(1,12)解析连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，∵E，H分别为AD1，CD1的中点，∴EH∥AC，EH＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2).∵F，G分别为B1A，B1C的中点，∴FG∥AC，FG＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，∴四边形EFGH为正方形.又四棱锥M－EFGH的高为eq\f(1,2)，∴四棱锥M－EFGH的体积为eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c