高一数学8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课标要求1.知道圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题.【引入】在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？一、圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积探究1如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？提示圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱的底面半径，l为母线长.探究2如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？提示圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长.探究3如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？提示圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图，eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l，S扇环＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x·2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).【知识梳理】圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2，侧面积：S侧＝2πrl，表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2，侧面积：S侧＝πrl，表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2，下底面面积：S下底＝πr2，侧面积：S侧＝πl(r＋r′)，表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)温馨提示圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的关系例1(1)已知圆锥的顶点为O，底面圆心为O1，过OO1的平面截该圆锥所得截面为一个面积为4eq\r(3)的等边三角形，则与该圆锥同底等高的圆柱的表面积为()A.8π B.8eq\r(3)πC.12π D.8π＋8eq\r(3)π(2)若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为________，表面积为________.答案(1)D(2)580π解析(1)由题意，过直线OO1的平面截该圆锥所得的截面是面积为4eq\r(3)的等边三角形，设等边三角形的边长为a，可得eq\f(\r(3),4)a2＝4eq\r(3)，解得a＝4，则圆锥的高h＝4sin60°＝2eq\r(3)，底面圆的半径r＝2，所以与该圆锥同底等高的圆柱的表面积S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝2π×2×2eq\r(3)＋2π×22＝8π＋8eq\r(3)π.(2)设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5.圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.思维升华解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图；(2)依次求出各个平面图形的面积；(3)将各平面图形的面积相加.训练1(1)过圆柱的上、下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是()A.12eq\r(2)π B.16πC.8π D.10π(2)一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是18π，则母线长为()A.eq\r(2) B.2C.3 D.2eq\r(2)答案(1)B(2)C解析(1)如图所示，过圆柱的上、下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABDC，面积为16，故边长AB＝AC＝4，即圆柱的底面半径r＝2，高AC＝4，则圆柱的侧面积S＝2πr·AC＝16π.(2)设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，则l＝eq\f(1,2)(r＋R)，因为圆台的侧面积是18π，所以18π＝π(r＋R)l＝2πl2，解得l＝3.二、圆柱、圆锥、圆台的体积探究4我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？提示V圆台＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2).【知识梳理】几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝πr2hS为底面积，h是高，r是底面半径圆锥V圆锥＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2hS为底面积，h是高，r是底面半径圆台V圆台＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h＝eq\f(1,3)π(r′2＋r′r＋r2)hS′，S分别为上、下底面面积，h为高，r′，r分别是上、下底面半径温馨提示圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系例2(1)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若eq\f(S甲,S乙)＝2，则eq\f(V甲,V乙)＝()A.eq\r(5) B.2eq\r(2)C.eq\r(10) D.eq\f(5\r(10),4)(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________.答案(1)C(2)224π解析(1)设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则eq\f(S甲,S乙)＝eq\f(πr1l,πr2l)＝eq\f(r1,r2)＝2，所以r1＝2r2.又eq\f(2πr1,l)＋eq\f(2πr2,l)＝2π，则eq\f(r1＋r2,l)＝1，所以r1＝eq\f(2,3)l，r2＝eq\f(1,3)l，所以甲圆锥的高h1＝eq\r(l2－\f(4,9)l2)＝eq\f(\r(5),3)l，乙圆锥的高h2＝eq\r(l2－\f(1,9)l2)＝eq\f(2\r(2),3)l，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πreq\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(\f(4,9)l2×\f(\r(5),3)l,\f(1,9)l2×\f(2\r(2),3)l)＝eq\r(10).(2)设上底面半径为r，则下底面半径R＝4r，高h＝4r，如图.∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.∴下底面半径R＝8，高h＝8，∴V圆台＝eq\f(1,3)π(r2＋rR＋R2)h＝224π.思维升华求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高是由母线、高、半径(半径的差)组成的直角三角形的边长列出方程并求解.训练2圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq\r(2)π，则圆锥的体积是()A.eq\f(64π,3) B.eq\f(128π,3)C.64π D.128eq\r(2)π答案A解析作圆锥的轴截面，如图所示，由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.设圆锥的高为h，底面半径为r，则h＝r，PB＝eq\r(2)r.由S侧＝π·r·PB＝16eq\r(2)π，得eq\r(2)πr2＝16eq\r(2)π，所以r＝4，则h＝4.故圆锥的体积V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(64π,3).三、球的表面积和体积探究5设球的半径为R，你能类比圆的面积公式推导方法，推导出球的体积公式吗？提示分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的体积公式.【知识梳理】球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R球的表面积公式S球＝4πR2球的体积公式V球＝eq\f(4,3)πR3球的表面积公式与体积公式的联系V球＝eq\f(1,3)S球R例3已知△ABC的三个顶点在球O的表面上，且AB＝4eq\r(2)，AC＝2，BC＝6.若球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积与体积.解∵AB＝4eq\r(2)，AC＝2，BC＝6，∴AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，∴平面ABC被球所截得的图形是以BC为直径的圆.由已知球心O与截面圆圆心的距离为4，∴球的半径R＝eq\r(42＋32)＝5，∴球的表面积S＝4πR2＝100π，体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3).思维升华1.公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.2.两个结论：(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.训练3一平面截一球得到直径为2eq\r(5)cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是()A.12πcm3 B.36πcm3C.64eq\r(6π)cm3 D.108πcm3答案B解析设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示.在Rt△OO1A中，O1A＝eq\r(5)cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝eq\r(22＋（\r(5)）2)＝3(cm)，∴球的体积V＝eq\f(4,3)×π×33＝36π(cm3).【课堂达标】1.若圆锥的底面半径为eq\r(3)，高为1，则圆锥的体积为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.π D.2π答案C解析V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π.2.若一个球的体积为4eq\r(3)π，则它的表面积为()A.3π B.12C.12π D.36π答案C解析设球的半径为R，依题意有eq\f(4π,3)R3＝4eq\r(3)π，所以R＝eq\r(3)，S＝4πR2＝12π.3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A.eq\f(1＋2π,2π) B.eq\f(1＋4π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)答案A解析设底面圆半径为r，母线长为h，∴h＝2πr，则eq\f(S表,S侧)＝eq\f(2πr2＋2πrh,2πrh)＝eq\f(r＋h,h)＝eq\f(r＋2πr,2πr)＝eq\f(1＋2π,2π).4.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则eq\f(R,r)＝________.答案eq\f(2\r(3),3)解析依题意eq\f(4,3)πr3＝πR2·r，∴eq\f(R,r)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).一、基础巩固1.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为()A.2π B.3πC.4π D.5π答案C解析设圆锥的母线长为l，则eq\f(2π,3)l＝2πr，解得l＝3，则该圆锥的表面积为π×3×1＋π×12＝4π.2.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为()A.eq\f(S,2)eq\r(S) B.eq\f(S,2π)eq\r(πS)C.eq\f(S,4)eq\r(S) D.eq\f(S,4π)eq\r(πS)答案D解析设圆柱的底面半径为a，因为轴截面为正方形，所以圆柱的高为2a，则S＝4πa2，解得a＝eq\f(\r(πS),2π)，故可得圆柱体积V＝πa2·2a＝2π×eq\f(S,4π)×eq\f(\r(πS),2π)＝eq\f(S,4π)eq\r(πS).3.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(2\r(2)π,3) B.eq\f(4\r(2)π,3)C.2eq\r(2)π D.4eq\r(2)π答案B解析绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合、体积相等的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为eq\r(2)，故所求几何体的体积V＝2×eq\f(1,3)×2π×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2)π,3).4.(多选)圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的()A.母线长为20 B.表面积为1100πC.高为10eq\r(2) D.体积为eq\f(7000\r(3)π,3)答案ABD解析如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环所对的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝eq\r(AB2－（20－10）2)＝10eq\r(3)，体积V＝eq\f(1,3)π×10eq\r(3)×(102＋10×20＋202)＝eq\f(7000\r(3)π,3)，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π.5.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省杭州市余杭区反山文化遗址.玉琮王通高8.8cm，孔径4.9cm，外径17.6cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)()A.6250 B.3050C.2850 D.2350答案D解析由题意知，该神人纹玉琮王的体积为底面边长为17.6cm，高为8.8cm的长方体的体积减去底面直径为4.9cm，高为8.8cm的圆柱的体积.则V＝17.6×17.6×8.8－π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4.9,2)))eq\s\up12(2)×8.8≈2560(cm3).结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为2350cm3.6.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.答案12π解析由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝eq\r(3)a(R为正方体的外接球半径)，所以R＝eq\r(3)，故该球的表面积S＝4πR2＝12π.7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.答案2∶1解析∵S圆柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋2π·eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))·a＝eq\f(3,2)πa2，S圆锥＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.8.如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________.答案(4eq\r(10)＋28)π解析挖去的圆锥的母线长为eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)，则圆锥的侧面积等于4eq\r(10)π，圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以该组合体的表面积为4eq\r(10)π＋24π＋4π＝(4eq\r(10)＋28)π.9.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq\r(3)的圆柱，求圆柱的表面积.解设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，高为h，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，h＝AO－AE＝eq\r(3).如图所示，易知△AEB∽△AOC，∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，∴r＝1，S圆柱底＝2πr2＝2π，S圆柱侧＝2πr·h＝2eq\r(3)π.∴S＝S圆柱底＋S圆柱侧＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.10.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，求圆锥的侧面积和球的表面积之比.解如图，△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O，由题意知AD＝3OE，则OA＝2OE.设OE＝r，则OA＝2r，AD＝3r，在Rt△AEO中，sin∠EAO＝eq\f(1,2)，又∵0°<∠EAO<90°，∴∠EAO＝30°.在Rt△ABD中，tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(BD,3r)＝eq\f(\r(3),3)，BD＝eq\r(3)r，则AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(（3r）2＋（\r(3)r）2)＝2eq\r(3)r，圆锥的侧面积为π×BD×AB＝6πr2，球的表面积为4πr2，∴所求的比值为6πr2∶4πr2＝3∶2.二、综合运用11.(多选)折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①).图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧eq\o(DE,\s\up8(︵))，eq\o(AC,\s\up8(︵))所在圆的半径分别是3和9，且∠ABC＝120°，则该圆台的()A.高为4eq\r(2)B.体积为eq\f(50\r(2),3)πC.表面积为34πD.上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶22答案AC解析设圆台的上底面圆半径为r，下底面圆半径为R，则2πr＝eq\f(1,3)×2π×3，2πR＝eq\f(1,3)×2π×9，解得r＝1，R＝3.又圆台的母线长l＝6，则圆台的高h＝eq\r(62－（3－1）2)＝4eq\r(2)，则选项A正确；圆台的体积为eq\f(1,3)π×4eq\r(2)×(32＋3×1＋12)＝eq\f(52\r(2),3)π，则选项B错误；圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，侧面积为π(1＋3)×6＝24π，则圆台的表面积为π＋9π＋24π＝34π，则选项C正确；由C选项可知上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶24，则选项D错误.12.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A.5π B.6πC.20π D.10π答案D解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.13.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在的直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积及体积(其中∠BAC＝30°).解如图所示，过点C作CO1⊥AB，交AB于点O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R