高一数学8.4.1　平　面

8.4.1平面课标要求1.借助几何体的直观图认识平面.2.了解平面的基本事实1～3(基本事实1～3也称公理)和推论.【引入】几个同学外出游玩，中午吃饭时发现没有桌子，食品无法摆在一起共享，但有一同学带着一个木质画板，说有办法支起来当作桌子，同学们都等待着.不一会儿，见他找来三根木棍，用绳子在相同的高度扎起来，再分散开放在地上，然后把画板放在上面，说：“好了，同学把好吃的往上放吧.”同学们把各自带来的食品都放在上面，共享了一顿美餐.同学们，你能说出三根木棍能支起画板且很牢固的道理吗？一、平面的概念、画法及表示探究1生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？提示无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等.【知识梳理】1.平面的概念(1)直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分.(2)抽象理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄、没有大小.2.平面的画法与表示(1)画法：在立体几何中，平面通常画成一个平行四边形.当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角画成45°，且使横边长等于其邻边长的2倍(如图①)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图②).(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图③.(3)如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.例1(多选)下列说法正确的是()A.平面是处处平的面B.平面是无限延展的C.平面的形状是平行四边形D.一个平面的厚度可以是0.001cm答案AB解析平面是无限延展的，没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的.思维升华1.“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；2.“平面”无厚薄之分；3.“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据.训练1下列说法正确的是()A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面D.一个平面可以将空间分成两部分答案D解析A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；C不正确，太平洋再大也会有边际，不是一个平面；D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分.二、基本事实及应用探究2我们知道，两点确定一条直线，要确定一个平面需要几个点呢？过空间一点有几个平面？两个点呢？三个点呢？提示不共线的三个点；无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果三点不共线，有唯一的一个平面.探究3如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与平面有两个公共点，直线在平面内吗？提示不在；在.探究4我们把三角尺的一个顶点直立在桌面上，则该三角尺所在的平面与桌面是否只有一个公共点？提示不是.【知识梳理】1.三个基本事实及其表示基本事实自然语言图形语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l2.基本事实1，2的三个推论推论自然语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面点A∉a⇒a与A共面于平面α，且平面唯一推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面直线a∥b⇒直线a，b共面于平面α，且平面唯一温馨提示(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示.角度1点、线共面问题例2如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α，同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α，∴直线l1，l2，l3在同一平面内.法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β，同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.思维升华证明点、线共面的常用方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.训练2如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.角度2三点共线问题例3(链接教材P132T8)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线.证明因为E∈AB，H∈AD，所以E∈平面ABD，H∈平面ABD，所以EH⊂平面ABD.因为EH∩FG＝O，所以O∈平面ABD，同理O∈平面BCD.又平面BCD∩平面ABD＝BD，所以O∈BD，故点B，D，O共线.思维升华点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要证明依据是基本事实3，解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.训练3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点.设AM与平面BB1D1D的交点为O，则()A.三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1B.三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1C.三点D1，O，B共线，且OB＝OD1D.三点D1，O，B不共线，且OB＝OD1答案A解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AD1，BC1，BD1，如图，又C1D1∥CD∥AB，则A，B，C1，D1四点共面，且平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1.因为M为棱D1C1的中点，所以M∈平面ABC1D1，又A∈平面ABC1D1，所以AM⊂平面ABC1D1.因为O∈AM，所以O∈平面ABC1D1.因为AM与平面BB1D1D的交点为O，所以O∈平面BB1D1D，于是得O∈BD1，即D1，O，B三点共线，显然D1M∥AB且D1M＝eq\f(1,2)D1C1＝eq\f(1,2)AB，于是△OD1M∽△OBA，则eq\f(D1O,OB)＝eq\f(D1M,BA)＝eq\f(1,2)，所以OB＝2OD1，所以三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1.角度3线共点问题例4如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点.求证：FE，HG，DC三线共点.证明如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.又C1G＝GC，CF＝BF，∴GF∥C1B，且GF＝eq\f(1,2)C1B，∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交.设交点为K，∴K∈HG，又HG⊂平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD，∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，∴EF，HG，DC三线共点.思维升华线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，主要的证明依据也是基本事实3.证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常利用基本事实3证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.训练4如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点.证明因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点，如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，且M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点.【课堂达标】1.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()答案A解析B中直线a不应超出表示平面α的平行四边形；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A.平面MN B.平面NQPC.平面α D.平面MNPQ答案A解析表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.3.(链接教材P128练习T2)能确定一个平面的条件是()A.空间三个点 B.一个点和一条直线C.无数个点 D.两条相交直线答案D解析A项，三个点可能共线；B项，点可能在直线上；C项，无数个点也可能在同一条直线上.4.(多选)已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊄α，A∈l⇒A∉αD.A∈l，l⊂α⇒A∈α答案ABD解析利用三个基本事实知A，B，D正确，若l∩α＝A，显然有l⊄α，但是A∈α，C错误.一、基础巩固1.下列说法中正确的个数为()①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的长为100m，宽是90m；④平面是绝对平滑、无厚度、无限延展的抽象概念.A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析由平面的概念及几何特征，命题①②③错误，④正确.2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A.l⊂α B.l⊄αC.l∩α＝M D.l∩α＝N答案A解析∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l⊂α.3.(多选)下图中图形的画法正确的是()答案ACD解析直线l在平面α外的画法为选项C中的图形，或如下图所示：4.在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图，∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.5.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A.A，B，C，D四点中必有三点共线B.A，B，C，D四点中不存在三点共线C.直线AB与CD相交D.直线AB与CD平行答案B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.6.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________.答案A∈l，l⊄α7.空间不共线的四点可以确定平面的个数是________.答案1或4解析若有三点共线，则这四点可以确定一个平面.若任意三点均不共线，则空间四点可以确定4个平面.8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中回答下列问题：(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.答案(1)A1B1(2)AC解析由图可知，(1)平面AB1∩平面A1C1＝A1B1；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝AC.9.如图，若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面α，β的交线.解∵若α∩β＝l，A，B∈α，∴AB是平面ABC与α的交线.延长BA交l于D，则D∈平面ABC，∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，则对应的图示如图.10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，∴BD1⊂平面A1BCD1.同理，BD1⊂平面ABC1D1，∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1，∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.二、综合运用11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是()A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形答案C解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.设直线C1M，CD相交于点E，直线C1N，CB相交于点F，连接EF交直线AD于点P，交直线AB于点Q，则五边形C1MPQN为所求截面图形.12.已知空间三条直线两两相交，点P