高一数学8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.【引入】前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内、直线在平面内、两个平面相交等等.空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？本节课我们一起探究一下吧！一、空间中直线与直线的位置关系探究1我们知道在同一平面内两条直线有相交和平行两种位置，那么在空间中，两条直线是不是也只有相交和平行呢？提示观察如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′的棱AB与棱CC′所在的直线，可以发现直线AB和直线CC′既不相交，又不平行.【知识梳理】1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(3)异面直线的判定方法方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线反证法既不平行，也不相交的两条直线2.空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点温馨提示(1)在不同平面内的两条直线不一定异面；(2)没有公共点的两条直线平行或异面.例1(链接教材P131练习T2)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线BN与MB1是异面直线C.AM与BN平行D.直线A1M与BN共面答案BD解析根据异面直线的定义可以判断直线AM与CC1、直线BN与MB1、直线AM与BN都是异面直线，因此选项A，C不正确，选项B正确.因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，由正方体的性质可知A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1D1CB是平行四边形，因此D1C∥A1B，所以MN∥A1B，因此M，N，A1，B四点共面，所以直线A1M与BN共面，因此选项D正确.思维升华判断空间两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.训练1(链接教材P131练习T1(2))(多选)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系可能是()A.平行 B.相交 C.异面 D.重合答案ABC解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，DD′，CC′，故a和c可以平行、相交或异面.二、空间中直线与平面的位置关系探究2一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？它们的公共点分别有几个？提示(1)直线在平面内——有无数个公共点.(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点.(3)直线与平面平行——没有公共点.【知识梳理】空间中直线与平面的位置关系位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线与平面平行没有公共点a∥α温馨提示直线a在平面α外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.例2(链接教材P132T4)(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内(2)下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.A.0 B.1C.2 D.3答案(1)B(2)B解析(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.(2)可借助正方体来判断.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，又b⊄α，所以b∥α，即命题③正确.思维升华在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于作出正确判断，避免凭空臆断.训练2(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是()A.若a∥b，b⊂α，则a∥αB.若a∥α，b∥α，则a∥bC.若a∥b，b∥α，则a∥αD.若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面答案ABC解析可借助正方体来判断.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，故A错误；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B错误；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，故C错误；因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面.三、空间中平面与平面的位置关系探究3拿出一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？提示有两种：平行、相交.特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线.【知识梳理】空间中平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两个平面平行α∥β没有公共点两个平面相交α∩β＝l有一条公共直线温馨提示画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.例3(多选)以下四个命题中，正确的有()A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交答案CD解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以AB错误，CD正确.思维升华1.平面与平面的位置关系的判断方法：(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.2.常见平面与平面平行的几何模型(1)棱柱(台)、圆柱(台)的上下底面；(2)长方体中三组相对的面平行.训练3如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.垂直答案C解析根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示.【课堂达标】1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面 B.平行C.异面 D.平行或异面答案D解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线答案D解析在β中存在无数条与a平行的直线，但是过点B且在β内的与a平行的直线只有一条.3.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是()A.相交 B.异面C.异面或相交 D.平行答案C解析分两类进行讨论.(1)若两条直线与两异面直线的交点有4个，如图①，直线AB与异面直线a，b分别相交于点A，B，直线CD与异面直线a，b分别相交于点C，D，那么A，B，C，D四点不可能共面，否则与a，b异面矛盾，故直线AB与CD异面.(2)若两条直线与两异面直线的交点有3个，如图②，两条直线相交.4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有________条，正方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有________个.答案43解析与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条；与AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个.一、基础巩固1.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线与l是异面直线B.α内的所有直线与l都相交C.α内存在唯一一条直线与l相交D.α内存在无数条直线与l相交答案D解析由直线l不平行于平面α，且l⊄α，故直线l∩α＝A，如图所示；平面内过点A的直线均与直线l相交，故α内存在无数条直线与l相交，故D正确，C错误；平面内不过点A的直线均与直线l异面，故A，B错误.2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不相交答案B解析因为棱台的侧棱延长后交于一点，所以侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是相交.3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有()A.1条 B.2条C.3条 D.4条答案C解析在直三棱柱ABC－A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有A1B1，AC，AA1，共3条.4.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是()A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能答案D解析可借助长方体来判断.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面.5.(多选)以下四个命题中正确的有()A.三个平面最多可以把空间分成八部分B.若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价C.若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈lD.若n条直线中任意两条共面，则它们共面答案AC解析对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.6.若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________.答案相交解析∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.7.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.8.平面α，β相交，在α内任取两点A，B，在β内任取两点C，D，且这四点都不在交线上，则直线AB与直线CD的位置关系为________.答案相交或平行或异面解析如图，设α∩β＝l，当AB∥l，CD∥l时，AB∥CD.当AB与l相交，CD与l相交时，若交点相同，则直线AB与CD相交；若交点不同，则直线AB与CD异面.9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？解B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，平面AB1，平面AD1，平面CD1都相交，B1D1与平面AC平行.10.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.二、综合运用11.(多选)下列命题中的真命题是()A.若直线a不在平面α内，则a∥αB.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αC.若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点D.平行于同一平面的两直线可以相交答案CD解析A中，直线a也可能与平面α相交，故A是假命题；B中，直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，故B是假命题；C中，l∥α时，l与α没有公共点，所以l与α内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；D中，长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，且A1C1与B1D1相交，故D是真命题.12.已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则()A.过P，Q的平面一定与α，β都相交B.过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行C.过P，Q的平面不一定与α，β都平行D.过P，Q可作无数个平面与α，β都平行