高一数学8.5.1　直线与直线平行

8.5.1直线与直线平行课标要求1.了解基本事实4和定理.2.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系.【引入】(1)初中所学的结论“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，在空间中是否仍成立？(2)初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？一、基本事实4探究1观察图中长方体各条棱所在直线，思考下列问题：棱BB′，CC′，DD′所在直线与直线AA′平行，它们是否两两相互平行？棱A′D′，B′C′，BC所在直线与直线AD平行，它们是否也两两相互平行？棱A′B′，D′C′，DC所在直线与直线AB平行，它们是否也两两相互平行？由此，你能得到什么结论？提示两两互相平行.得到结论：平行于同一条直线的两条直线平行.【知识梳理】基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行温馨提示基本事实4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法.例1(链接教材P134例1)如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq\f(1,2)AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形.思维升华证明两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.训练1如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点.求证：四边形B1EDF为平行四边形.证明如图，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綉A1D1.∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，∴EQ綉B1C1，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綉C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QD綉C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綉FD.又B1E綉C1Q，∴B1E綉FD，故四边形B1EDF为平行四边形.二、空间等角定理及应用探究2在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.在空间中，这一结论是否仍然成立呢？提示成立.当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置.对于图(1)，我们可以构造两个全等三角形，使∠BAC和∠B′A′C′是它们的对应角，从而证明∠BAC＝∠B′A′C′.如图，分别在∠BAC和∠B′A′C′的两边上截取AD，AE和A′D′，A′E′，使得AD＝A′D′，AE＝A′E′.连接AA′，DD′，EE′，DE，D′E′.∵AD綉A′D′，∴四边形ADD′A′是平行四边形，∴AA′綉DD′.同理可证AA′綉EE′，∴DD′綉EE′，∴四边形DD′E′E是平行四边形，∴DE＝D′E′，∴△ADE≌△A′D′E′，∴∠BAC＝∠B′A′C′.对于图(2)的情形，请同学们自己给出证明.【知识梳理】等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补图形语言作用判断或证明两个角相等或互补温馨提示如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.例2(链接教材P135练习T4)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1綉AA1.又∵AA1綉BB1，∴MM1綉BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.又∠BMC与∠B1M1C1两边对应的方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.思维升华若空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.训练2(1)若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行答案D解析如图所示.∴OB与O1B1不一定平行.(2)如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(OB,OB′)＝eq\f(OC,OC′)＝eq\f(2,3)，则eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝________.答案eq\f(4,9)解析∵AA′∩BB′＝O，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(OB,OB′)＝eq\f(2,3)，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′且eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(OA,OA′)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9).【课堂达标】1.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为()A.60° B.120°C.30° D.60°或120°答案D解析由等角定理可知，β为60°或120°.2.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.平行或异面答案A解析在△MPN中，∵H，G分别为MP，MN的中点，∴GH∥PN，同理EF∥PN，∴GH∥EF.3.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A.3条 B.4条C.5条 D.6条答案B解析EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1，共4条.4.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________.答案∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B解析因为在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.一、基础巩固1.空间两条互相平行的直线指的是()A.在空间内没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线答案D解析两条平行直线可以确定一个平面，且两直线没有公共点.2.和直线l都平行的直线a，b的位置关系是()A.相交 B.异面C.平行 D.平行、相交或异面答案C解析由基本事实4知a∥b.3.在三棱台A1B1C1－ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1()A.相交 B.异面C.平行 D.垂直答案C解析如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC，又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.4.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是()A.l与AD平行 B.l与AD相交C.l与AC平行 D.l与BD平行答案CD解析假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行.又l在上底面中，AD在下底面中，故l与AD无公共点，故l与AD不相交.C、D可能成立.5.(多选)已知空间四边形ABCD，顺次连接四边中点所得的四边形可能是()A.空间四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形答案BCD解析如图所示，设E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD，同理可得FG∥BD且FG＝eq\f(1,2)BD，EF∥AC且EF＝eq\f(1,2)AC，HG∥AC，且HG＝eq\f(1,2)AC，∴EH∥FG且EH＝FG，则四边形EFGH为平行四边形.①若AC⊥BD，则EH⊥EF，此时，平行四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则EH＝EF，此时，平行四边形EFGH为菱形；③若AC⊥BD且AC＝BD，则EH⊥EF且EH＝EF，此时，平行四边形EFGH为正方形.6.在四棱锥P－ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝________.答案2解析由题意知EF綉eq\f(1,2)AC，GH綉eq\f(1,2)AC，故EF綉GH，故GH＝2.7.已知P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PBC和△PAC的重心，则直线DE与AB的位置关系是________.答案平行解析如图，连接PD并延长交CB于点M，连接PE并延长交AC于点N，连接MN.∵D，E分别是△PBC和△PAC的重心，∴M，N分别是边CB，CA的中点，且eq\f(PD,PM)＝eq\f(PE,PN)＝eq\f(2,3)，故DE∥MN.在△ABC中，由中位线定理知MN∥AB，∴DE∥AB.8.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq\f(AO,A′O)＝eq\f(BO,B′O)＝eq\f(CO,C′O)＝eq\f(1,2)，则eq\f(VO－ABC,VO－A′B′C′)＝________.答案eq\f(1,8)解析如题干图，eq\f(AO,A′O)＝eq\f(BO,B′O)＝eq\f(CO,C′O)＝eq\f(1,2)，可得AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.由等角定理得∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(VO－ABC,VO－A′B′C′)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.解如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.证明如图所示，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.又ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以CD綉AB，A1B1綉AB，由基本事实4知CD綉A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綉B1C.又B1C∥FG，所以由基本事实4知A1D∥FG.同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.所以∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.二、综合运用11.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A.MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD)B.MN≤eq\f(1,2)(AC＋BD)C.MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)D.MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)答案D解析如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME＝eq\f(1,2)AC，NE＝eq\f(1,2)BD，所以ME＋NE＝eq\f(1,2)(AC＋BD).在△MNE中，有ME＋NE>MN，所以MN<eq\f(1,2)(AC＋BD).12.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为________.答案8解析由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD＝3，又∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴GF∥BD且GF＝eq\f(2,3)BD＝4，由基本事实4知，EH∥GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的