高一数学8.5.2　直线与平面平行

8.5.2直线与平面平行课标要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并会证明性质定理.2.会应用直线与平面平行的判定定理与性质定理证明一些空间的简单线面关系.【引入】如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？一、直线与平面平行的判定定理探究1将一张请柬放在桌面上，请柬的折痕CD可看作桌面所在平面内的一条直线.(1)请柬的边缘AB与CD有什么样的位置关系？提示平行.(2)翻动请柬的过程中观察边缘AB与桌面有什么样的位置关系？提示平行.(3)拿起请柬，且保持点D在桌面内，点C不在桌面内，AB与CD还平行吗？AB与桌面还平行吗？提示AB与CD仍然平行，但AB与桌面不平行了.【知识梳理】直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α图形语言温馨提示(1)定理中的三个条件“a⊄α，b⊂α，a∥b”缺一不可.(2)实质是线线平行⇒线面平行.例1(链接教材P139练习T2)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点.求证：DE∥平面ACC1A1.证明法一连接BC1，AC1，因为ABC－A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点.因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1.又DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1.法二连接A1C，AC1交于O，连接OE，则O是A1C的中点.又E是B1C的中点，所以OE∥A1B1，OE＝eq\f(1,2)A1B1，又AD∥A1B1，AD＝eq\f(1,2)A1B1，所以OE綉AD，所以四边形ADEO是平行四边形，所以AO∥DE.因为AO⊂平面ACC1A1，DE⊄平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1.思维升华1.用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下：2.上述证明步骤的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.训练1如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且eq\f(AM,SM)＝eq\f(DN,NB).求证：MN∥平面SBC.证明连接AN并延长交BC于点P，连接SP.因为AD∥BC，所以eq\f(DN,NB)＝eq\f(AN,NP)，又因为eq\f(AM,SM)＝eq\f(DN,NB)，所以eq\f(AM,SM)＝eq\f(AN,NP)，所以MN∥SP，又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC，所以MN∥平面SBC.二、直线与平面平行的性质定理探究2直线l与平面α平行，根据直线与平面平行的定义，l与α无公共点.(1)l与平面α内的任意一条直线有什么位置关系？提示平行或异面.(2)如果直线l与平面α内的直线a在非平面α的同一平面内，那么l与直线a有什么位置关系？提示平行.【知识梳理】直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言温馨提示(1)定理中的三个条件“a∥α，α∩β＝b，a⊂β”缺一不可.(2)实质是线面平行⇒线线平行.例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.思维升华1.利用线面平行的性质定理解题的步骤2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.训练2(链接教材P138例3)一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，(1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？(2)在面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？解(1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线.(2)在面ABC中的画线EF与棱AC平行，证明如下：因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，所以AC∥EF.【课堂达标】1.能保证直线与平面平行的条件是()A.直线与平面内的一条直线平行B.直线与平面内的某条直线不相交C.直线与平面内的无数条直线平行D.直线与平面内的所有直线不相交答案D解析根据线面平行的判定与定义，知D满足.2.如图，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()A.MN∥PD B.MN∥PAC.MN∥AD D.以上均有可能答案B解析MN∥平面PAD，平面PAD∩平面PAC＝PA且MN⊂平面PAC，故MN∥PA.3.(多选)在四面体ABCD中，M，N分别为△ACD和△BCD的重心，则下列平面中与MN平行的是()A.平面ABC B.平面ABDC.平面ACD D.平面BCD答案AB解析连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F，如图所示，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB.因为AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABC，MN⊄平面ABD.所以MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD.4.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是________.答案平行或异面解析由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.一、基础巩固1.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交答案B解析若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l⊄α，所以l∥α，这与题意矛盾.2.已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b()A.相交 B.平行C.异面 D.不确定答案B解析因为直线a∥平面α，直线a∥平面β，所以在α，β中均可找到一条直线与直线a平行.设m在平面α内，n在平面β内，且m∥a，n∥a，所以m∥n.又因为m不在平面β内，n在平面β内，所以m∥β.因为α∩β＝b，所以m∥b.又m∥a，所以a∥b.3.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是()A.空间四边形 B.矩形C.梯形 D.平行四边形答案C解析因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为BC⊂平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为BC＝AD，EF<AD，所以EF<BC，所以四边形EFBC为梯形.4.给出下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂平面α，则a∥α；④若直线a∥b，直线b⊂平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线.其中正确说法的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案A解析对于①，虽然直线l与平面α内的无数条直线平行，但l可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①错误；对于②，因为直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②错误；对于③，因为直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于平面α，所以③错误；对于④，因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a与平面α内的无数条直线平行，所以④正确.综上，正确说法的个数为1.5.(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是()答案BCD解析对于选项A，设正方体的底面对角线的交点O，如图①，连接OQ，则OQ∥AB，OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，故AB与平面MNQ不平行，故A错误；图①图②对于选项B，如图②，连接CD，易知AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，如图③，连接CD，易知AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故C正确；图③图④对于选项D，如图④，连接CD，易知AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故D正确.6.若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是______.答案平行、相交或异面解析画图可知两直线可平行、相交或异面.7.三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.答案平行解析如图，连接AG并延长，交BC于点F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.8.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，MN⊂平面PMN，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2),3)a.9.将棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥D1－ACD后得到如图所示的几何体，O为A1C1的中点.求证：OB∥平面ACD1.证明如图，取AC的中点M，连接MO，BM，D1M，B1D1.已知O为A1C1的中点，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，O分别为所在平面的中心，则BM綉OD1，∴四边形MBOD1为平行四边形，∴OB∥MD1.∵MD1⊂平面ACD1，OB⊄平面ACD1，∴OB∥平面ACD1.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点.(1)若E，F分别是PD和BC的中点，求证：EF∥平面PAB；(2)若PB∥平面AEC，求证：E是PD的中点.证明(1)如图，取PA的中点G，连接BG，EG，在△PAD中，因为E，G分别为所在边的中点，所以EG∥AD，且EG＝eq\f(1,2)AD，又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点，所以BF∥AD，且BF＝eq\f(1,2)AD，所以EG∥BF，且EG＝BF，所以四边形BFEG为平行四边形，所以EF∥BG，因为EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)如图，连接BD，交AC于点H，连接EH，因为PB∥平面ACE，PB⊂平面PBD，且平面PBD∩平面ACE＝EH，所以PB∥EH，在△PBD中，H为BD的中点，所以E为PD的中点.二、综合运用11.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是()A.OM∥PD B.OM∥平面PCDC.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA答案ABC解析因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点.在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又PD⊂平面PCD，且PD⊂平面PDA，OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA相交.12.如图，在透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜(不考虑水流出).随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE＋BF是定值.其中说法正确的是________.(填序号)答案①③④解析根据题意，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的部分成棱柱形，故①正确；水面EFGH的面积是改变的，因为EF是变化的，而E