高一数学8.6.1　直线与直线垂直

8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直课标要求1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系.2.掌握两异面直线所成的角的求法.【引入】我们知道，在同一平面内，我们可以通过夹角来刻画一条直线相对于另一条直线的倾斜程度，那么，空间中，如何刻画两条异面直线的位置关系呢？本节课我们就来学习一下.一、异面直线所成的角探究1我们知道两条相交直线所成角的大小可以度量，那么两条异面直线所成角的大小该如何定义呢？提示可以利用等角定理，平移为两相交直线所成的角.【知识梳理】异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°.温馨提示(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关.(2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.例1(链接教材P147例1)如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.解(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA，AF，易得O为AH的中点，且FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，所以∠HFO＝30°，故FO与BD所成的角为30°.迁移在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角.解连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，则OP∥AF.又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角.由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.思维升华求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线所成角的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线所成角的相关角，并加以证明.(2)计算角：求角度，常利用三角形.(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.训练1如图，空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成角的余弦值.解如图，取BD的中点F，连接EF，AF，又E为BC的中点，∴EF綉eq\f(1,2)CD，∴∠AEF为异面直线AE与CD所成的角(或补角).设空间四边形ABCD的棱长为a，则AE＝AF＝eq\f(\r(3),2)a，EF＝eq\f(a,2)，∴cos∠AEF＝eq\f(AE2＋EF2－AF2,2AE×EF)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(1,4)a2－\f(3,4)a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(1,2)a)＝eq\f(\r(3),6)，故异面直线AE与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(3),6).二、直线与直线垂直探究2在平面上我们是如何来定义两条直线垂直的？提示这两条直线所成的角为90°.【知识梳理】两条异面直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.温馨提示两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.例2(链接教材P147例2)如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，求证：AC⊥B1D.证明如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE，CE，易证AE＝CE，又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.思维升华要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直.训练2(链接教材P148练习T4)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.证明如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，则AB2＝a2＋b2.因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，所以BCeq\o\al(2,1)＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2，所以A1B2＝A1Ceq\o\al(2,1)＋BCeq\o\al(2,1)，则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.三、异面直线所成角的应用例3如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长.解取BC的中点O，连接OE，OF(图略).∵E，F分别是AB，CD的中点，∴OE綉eq\f(1,2)AC，OF綉eq\f(1,2)BD，∴OE与OF所成的角(或其补角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).当∠EOF＝120°时，在△EOF中，利用余弦定理，得EF＝eq\r(\f(1,4)＋\f(1,4)－2×\f(1,2)×\f(1,2)×cos120°)＝eq\f(\r(3),2).综上，线段EF的长度为eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2).思维升华1.本题中容易遗漏∠EOF＝120°的情形，导致求解不完整.2.当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论.训练3在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是________.答案eq\r(6)解析连接CD1，AC，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°，因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，所以AC＝2eq\r(3)sin60°×2＝6，所以AD1＝eq\f(\r(2),2)AC＝3eq\r(2)，所以AA1＝eq\r(ADeq\o\al(2,1)－A1Deq\o\al(2,1))＝eq\r(（3\r(2)）2－（2\r(3)）2)＝eq\r(6).【课堂达标】1.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有()A.1条 B.2条C.3条 D.4条答案B解析和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则异面直线A1D与B1D1所成角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案C解析连接BD，A1B(图略)，易知D1B1∥DB，∴∠A1DB是异面直线A1D和B1D1所成的角或其补角.又△A1BD是等边三角形，∴异面直线A1D与B1D1所成的角为eq\f(π,3).3.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③A1B1与BC1垂直.以上三个结论中，正确的是()A.①② B.②③C.③ D.①②③答案C解析①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由图可知DA1与BC1异面，故①不正确；②因为DD1∥CC1，BC1与CC1不垂直，所以DD1与BC1不垂直，故②不正确；③正确.4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________.答案60°解析依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.一、基础巩固1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A.一定平行 B.一定垂直C.一定是异面直线 D.一定相交答案B解析∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2.在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝eq\r(5)，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是()A.90° B.60°C.45° D.30°答案A解析∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.3.如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成的角的余弦值是()A.eq\f(\r(10),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(10),10)答案A解析连接AD1，D1M(图略).∵AB＝C1D1且AB∥C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AM(或其补角)为异面直线AM与BC1所成的角.设正方体的棱长为2，则AD1＝2eq\r(2)，AM＝D1M＝eq\r(5)，∴cos∠D1AM＝eq\f(（2\r(2)）2＋（\r(5)）2－（\r(5)）2,2×2\r(2)×\r(5))＝eq\f(\r(10),5)，即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是eq\f(\r(10),5).4.如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为()A.90° B.60°C.45° D.0°答案B解析将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A－DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成角为60°.5.(多选)如图，四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是()A.MN与PD是异面直线B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB答案ABD解析如图，连接MN，易知MN与PD是异面直线，A正确；取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，又HC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC，B正确；由MN∥HC，HC∩AC＝C，得MN不平行于AC，C不正确；因为HC⊥PB，所以MN⊥PB，D正确.6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D1所成的角为________，AC与D1C1所成的角为________.答案90°45°解析B1D1与AC是异面直线，连接BD，交AC于点O(图略)，易知BD∥B1D1，所以∠DOC或其补角为B1D1与AC所成的角.因为BD⊥AC，所以∠DOC＝90°，所以B1D1与AC所成的角是90°.因为DC∥D1C1，所以∠ACD是AC与D1C1所成的角，又∠ACD＝45°，所以AC与D1C1所成的角是45°.7.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的有________.答案①③解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，可知AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，故只有①③正确.8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.答案5解析取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角)，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.9.正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值.解连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，则OE綉eq\f(1,2)PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角.设四棱锥的棱长为1，则OE＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)，BE＝eq\f(\r(3),2)，则cos∠OEB＝eq\f(OE2＋BE2－OB2,2OE·BE)＝eq\f(\f(1,4)＋\f(3,4)－\f(2,4),2×\f(1,2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),3)，即异面直线BE与PA所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3).10.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.证明如图，取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，∴CD1⊥EF.二、综合运用11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角大小为()A.0° B.45°C.60° D.90°答案D解析如图，取AA1的中点E，连接EN，BE，设BE交B1M于点O，易知EN∥BC，且EN＝BC，∴四边形BCNE是平行四边形，∴BE∥CN，∴∠BOM或其补角即为异面直线B1M与CN所成的角.由BB1＝AB，AE＝BM，∠EAB＝∠MBB1，得Rt△BB1M≌Rt△ABE，∴∠BMB1＝∠AEB，∴∠BOM＝90°.12.(多选)当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值可以是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)答案BC解析设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP(图略)，由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成角，在△AD1P中，AD1＝eq\r(2)，AP＝D1P＝eq\r(1＋x2)，故cos∠AD1P＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(1＋x2))，又∵x∈[0，1]，∴cos∠AD1P＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(1＋x2))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，故选BC.13.如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点.(1)求证：BE∥平面ADP；(2)求异面直线PA与CB所成角的大小.(1)证明取PD的中点为F，连接EF，AF，则在△PCD中，EF∥CD且EF＝