高一数学9.1.1　简单随机抽样

9.1随机抽样9.1.1简单随机抽样课标要求1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程.2.掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法.3.会计算样本均值，了解样本与总体的关系.【引入】在工业生产中，我们常用测试一部分产品来确定其质量；农业生产中，一般是先试种新的农作物种子来确定其是否值得推广，等等.这种利用部分数据来估计总体的思想正是统计学的基本思想.如何进行数据的收集、整理、分析与判断，以及如何评价这一判断的合理性，是统计学研究的主要内容.一、全面调查与抽样调查探究1一天，爸爸叫儿子去买一盒火柴.临出门前，爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴.儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家.“火柴能划燃吗？”爸爸问.“都能划燃.”“你这么肯定？”儿子递过一盒划过的火柴，兴奋地说：“我每根都试过啦.”在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式为什么不好？适宜采用什么方法调查？提示普查；这种调查方式具有破坏性；抽查.【知识梳理】调查方式全面调查抽样调查定义对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查相关概念总体：在一个调查中，把调查对象的全体称为总体个体：组成总体的每一个调查对象称为个体样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本量：样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量温馨提示(1)全面调查的优点是精确，缺点是不宜经常进行，需要耗费巨大的财力、物力.(2)抽样调查的优点是花费少、效率高，易操作，缺点是不够精确.例1在一次数学课堂上，陈老师请四位同学举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子.小凉：为了了解玉米种子的发芽情况，采用抽样调查.小爽：为了了解全班同学是否给父母洗过脚，采用全面调查.小夏：为了了解某批导弹的射程，采用全面调查.小天：为了了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，采用抽样调查.你认为以上四位同学所列举的事例的调查方式错误的是()A.小凉 B.小爽C.小夏 D.小天答案C解析了解玉米种子的发芽情况，是具有破坏性的调查，因而适合抽样调查；了解全班同学是否给父母洗过脚，调查的对象比较少，容易调查，因而适合全面调查；了解某批导弹的射程是具有破坏性的调查，因而适合抽样调查；了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，人数太多，不适合全面调查，应用抽样调查.故四位同学所列举的事例的调查方式错误的是小夏.思维升华一般地，如果调查对象比较少，容易调查，则适合普查；如果调查对象较多或者具有破坏性，则适合抽样调查.训练1下列调查方式中合适的是()A.要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式B.调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式C.调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式D.调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式答案C解析要了解节能灯的使用寿命，由于调查具有毁损性，所以宜采取抽样调查的方式；要调查所在班级同学的身高，由于人数较少，宜采用普查的方式；对全市中学生每天的就寝时间的调查宜采用抽样调查的方式.二、简单随机抽样探究2假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？提示我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球的比例，也可以采用不放回的摸球去估计红球的比例.【知识梳理】简单随机抽样的概念放回简单随机抽样不放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本温馨提示从总体中，逐个不放回随机抽取n个个体与一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的.例2(1)下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是()A.某学校有学生1320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1135个村庄中抽取50个进行收入调查C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5000人中抽取200人进行统计(2)从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为()A.120 B.200 C.150 D.100答案(1)C(2)A解析(1)A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B，D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样.(2)因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，每个个体被抽到的可能性为eq\f(30,N)，所以eq\f(30,N)＝0.25，解得N＝120.思维升华简单随机抽样的特点：(1)被抽取的样本的总体个数N是有限的.(2)逐个抽取n个个体作为样本.(3)课本中不加以说明则抽取是不放回的.(4)每个个体入样的可能性均为eq\f(n,N).训练2(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的有()A.从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动B.从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验C.某班45名同学，指定成绩最好的5名同学参加学校组织的某项活动D.中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码答案AD解析B不是简单随机抽样，虽然一次性抽取3个个体，等价于逐个抽取个体3次.但不是“逐个抽取”.C不是简单随机抽样，不符合“等可能性”，因为5名同学是指定的，而不是随机抽取的.A，D是简单随机抽样.三、简单随机抽样的方法探究3学校要从我班选取5人参加某项活动，如何选取？要从全校学生中选5人，还可以采用上述方法吗？提示抽签.不可以，人数太多.【知识梳理】1.抽签法的步骤(1)确定总体容量N并编号；(2)制签并放入不透明容器中；(3)充分搅拌均匀；(4)不放回地逐个抽取n次，得到容量为n的样本.2.随机数法的步骤(1)确定总体容量N并编号，例如按0，1，2，…，N－1编号；(2)利用随机数工具产生0～N－1范围内的整数随机数；(3)把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本；(4)重复上述过程，直到抽足样本所需的数量.温馨提示(1)当总体个数较少时采用抽签法；(2)产生随机数的方式有多种：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数：ⅰ.用计算器生成随机数，ⅱ.用电子表格软件生成随机数，ⅲ.用R统计软件生成随机数.(3)如果生成的随机数有重复，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.例3从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴.解第一步，将20架钢琴编号，号码是01，02，…，20.第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀.第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本.思维升华1.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.2.当总体容量较大，样本容量不大时，用随机数法抽取样本较好.训练3(1)下列抽样试验中，用抽签法方便的是()A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验答案B解析A中总体中个体数较大，样本量也较大，不适宜用抽签法；B中总体中个体数较小，样本量也较小，可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D中虽然样本量较小，但总体中个体数较大，不适宜用抽签法.(2)“嫦娥五号”的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”.某中学为此举行了“讲好航天故事”的主题演讲比赛.若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，经随机模拟产生了32个随机数如下，则选出来的第7个个体的编号为()4567321212310201045215200112512932049234493582003623486969387481A.12 B.20C.29 D.23答案C解析有效编号为：12，02，01，04，15，20，29，得到选出来的第7个个体的编号为29.四、用样本平均数估计总体的平均数探究4我们从某中学高一年级抽取一个容量为50的样本，测量这50名学生的身高，通过这些数据，我们可以计算出样本的平均数为164.3，据此，我们可以估计高一年级全体学生的平均身高吗？提示测量这50名学生的身高，可以，高一年级全体学生的平均身高为164.3左右.【知识梳理】一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq\o(Y,\s\up6(－))＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))Yi为总体均值，又称总体平均数.如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数eq\o(y,\s\up6(－))去估计总体平均数eq\o(Y,\s\up6(－)).温馨提示(1)不同样本的平均数不同，即样本的平均数具有随机性；(2)大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动；(3)增加样本容量可以提高估计效果.例4为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，从该校高一学生中抽查了20名学生，这20名学生每天午餐消费数据如下(单位：元)：10128810141781081210101781012101012试估计该校高一学生每天午餐的平均费用，以及午餐费用不低于12元的比例.解样本平均数为eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(8×5＋10×8＋12×4＋14×1＋17×2,20)＝10.8(元)，样本中午餐消费不低于12元的比例为eq\f(4＋1＋2,20)＝0.35，所以估计该校高一学生每天午餐的平均费用为10.8元，在高一学生中，午餐费用不低于12元的比例约为0.35.思维升华样本平均数与总体平均数的关系(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数；(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性；(3)一般情况下，样本量越大，估计值越准确.训练4(多选)某班级有52名学生，其中有31名男生和21名女生.年级主任随机询问了该班5名男生和5名女生在某次物理测验中的成绩，得到5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90；5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，则下列说法正确的是()A.本次抽样的样本量是10B.可以估计该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数C.可以估计该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数D.可以据此估计该班本次物理测验的平均分答案ACD解析A项明显正确.计算样本中5名男生成绩的平均数eq\o(x,\s\up6(－))男＝eq\f(1,5)×(86＋94＋88＋92＋90)＝90；5名女生成绩的平均数eq\o(x,\s\up6(－))女＝eq\f(1,5)×(88＋93＋93＋88＋93)＝91.可见样本中5名男生成绩的平均数小于5名女生成绩的平均数，据此估计该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，C正确，B错误.通过计算10个样本的平均数，据此估计总体的平均数，故D正确.【课堂达标】1.某市是一座美丽的城市，为增强市民的环保意识，在6月5日的“世界环境日”活动中，某校以家庭为单位进行了丢弃废塑料袋情况的调查.其中，高二(1)班的50名学生在一天中调查了各自家庭丢弃废塑料袋的情况，这个问题中50名学生所在家庭一天丢弃废塑料袋的情况是()A.总体 B.样本的数目C.个体 D.样本答案D解析高二(1)班的50名学生所在家庭一天丢弃废塑料袋的情况是某校以家庭为单位进行了废塑料袋情况的调查的一个部分，故50名学生所在家庭一天丢弃废塑料袋的情况是样本.2.使用简单随机抽样从1000件产品中抽取50件进行某项检查，合适的抽样方法是()A.随机数法 B.抽签法C.直接从产品中随机抽样 D.以上都不对答案A解析该题总体个数为1000，样本量为50，总体的个数较多，所抽样本的个数较少，并且检查是随机抽取的，故采用随机数法.3.(多选)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的是()A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B.盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里C.从20件玩具中逐个抽取3件进行质量检验D.某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛答案BC解析对于选项A，不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；对于选项B，是有放回简单随机抽样；对于选项C，是不放回简单随机抽样；对于选项D，不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样.4.用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，3，5，7，9，则该样本的平均数为________.答案5.2解析eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋5＋7＋9,5)＝5.2.一、基础巩固1.(多选)下列调查中，适合采用抽样调查的是()A.每隔5年进行一次人口普查B.调查某商品的质量优劣C.某网站对某个事情进行舆论调查D.高考考生的体检答案BC解析人口普查和高考考生的体检都属于全面调查，调查某商品的质量优劣和对某个事情进行舆论调查只能采用抽样调查.2.为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取了40名学生进行测量，下列说法正确的是()A.总体是240名学生 B.个体是每一名学生C.样本是任意40名学生 D.样本量是40答案D解析在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每一名学生的身高，样本是抽取的40名学生的身高，样本量是40.3.(多选)下列抽样的方式属于简单随机抽样的是()A.从500个个体中一次性抽取50个作为样本B.将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本C.某班有55名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛D.福利彩票用摇奖机摇奖答案BD解析A不是逐个抽取，C不是等可能抽取，故不是简单随机抽样，BD是简单随机抽样.4.从全校2000名女学生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3cm，则可以推测该校女学生的身高()A.一定为148.3cm B.高于148.3cmC.低于148.3cm D.约为148.3cm答案D解析由抽样调查的意义可知该校女学生的身高约为148.3cm.5.在容量为100的总体中用随机数法抽取5个样本，总体编号为00，01，02，03，…，99，给出下列几组号码：(1)00，01，02，03，04；(2)10，30，50，70，90；(3)49，17，46，09，62；(4)11，22，33，44，55，则可能成为所得样本编号的是()A.只可能为(3) B.只可能为(3)(4)C.只可能为(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)均有可能答案D解析用随机数法抽样，每个个体都有可能被抽到且各个个体被抽到的可能性相等.6.一名交警在高速公路上随机观测了6辆车的行驶速度(单位：km/h)，然后做出了一份报告，调查结果如下表：车序号123456行驶速度666571546958(1)交警采取的是________调查方式.(2)为了强调调查目的，这次调查的样本是________，个体是________.答案(1)抽样(2)6辆车的行驶速度每一辆车的行驶速度解析此种调查是抽样调查，调查对象的指标是车的行驶速度.7.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为25的样本，则个体m被抽到的可能性是________.答案eq\f(1,4)解析一个总体含有100个个体，每个个体每一次被抽到的可能性均为eq\f(1,100)，故用简单随机抽样的方法从该总体中抽取一个容量为25的样本，则个体m被抽到的可能性为eq\f(1,100)×25＝eq\f(1,4).8.某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小，得到如下数据：直径(单位：cm)121314频数12344估计这个工厂生产的零件的平均直径大约为________cm.答案12.84解析eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(12×12＋13×34＋14×4,50)＝12.84(cm).9.某专业户要出售100只羊，现在市场上羊的价格为每千克18元，为了估计这100只羊能卖多少钱，该专业户从中随机抽取5只羊，每只羊的质量如下(单位：千克)：26，31，32，36，37.(1)试分别指出上述问题中的总体、个体和样本各是什么.(2)上述问题中的调查方式是普查还是抽样调查？这种调查方式合适吗？请说明你的理由.解(1)总体是100只羊的质量；个体是一只羊的质量；样本是所抽取的5只羊的质量.(2)因为5只羊是从100只羊中随机抽取，故为抽样调查；调查方式合适，抽样调查适用于总体数量偏多的情况，而100只羊如果采用普查的话，耗时耗力，不可取.10.某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请写出利用抽签法抽取该样本的过程.解利用抽签法步骤如下：第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50.第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签.第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀.第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码.对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.二、综合运用11.小玲家的鱼塘里养了2500条鲢鱼，按经验，鲢鱼的成活率约为80%.现准备打捞出售，为了估计鱼塘中鲢鱼的总质量(单位：kg)，从鱼塘中捕捞了3次进行统计，得到的数据如下表：鲢鱼的条数平均每条鲢鱼的质量第一次捕捞201.6第二次捕捞102.2第三次捕捞101.8那么，鱼塘中鲢鱼的总质量约为________kg.答案3600解析平均每条鲢鱼的质量为eq\f(20×1.6＋10×2.2＋10×1.8,20＋10＋10)＝1.8(kg).因为鲢鱼的成活率约为80%，所以成活的鲢鱼的总数约为2500×80%＝2000(条)，所以鱼塘中鲢鱼的总质量约为2000×1.8＝3600(kg).12.给出下列抽样方式：①从100个号签中一次取出5个作为样本；②某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵参加救灾工作；③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出6个号签；④从某班56名(30名男生，26名女生)学生中随机抽取2名男生，2名女生参加乒乓球混双比赛；⑤将一枚质地均匀的骰子掷两次，分别记录向上的点数，其中是不放回简单随机抽样的是________(填序号).答案③解析①不是不放回简单随机抽样，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样；②④不满足等可能抽样，所以不是简单随机抽样；③是不放回简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样；⑤是放回