高一数学9.1.2　分层随机抽样

9.1.2分层随机抽样课标要求1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围.2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值.【引入】抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.例如，在对某中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？一、分层随机抽样探究1某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.(1)上述问题中样本总体有什么特征？(2)若采用抽签法会出现什么结果？(3)为使抽取的样本更合理，更有代表性，有更好的抽样方法解决该问题吗？提示(1)此总体，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异.(2)抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性.(3)有，可分不同群体抽取.【知识梳理】1.分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.温馨提示(1)分层随机抽样分层的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大.(2)根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整.比如，如果计算出的层内抽样数不是整数，可以进行一定的技术处理，比如，将结果取成整数等.例1(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适()A.抽签法 B.随机数法C.简单随机抽样 D.分层随机抽样(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行()A.每层等可能抽样B.每层可以不等可能抽样C.所有层按同一抽样比等可能抽样D.所有层抽取的个体数量相同答案(1)D(2)C解析(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样.(2)为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.思维升华使用分层随机抽样的前提分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小.训练1下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是()A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.某高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本C.从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量答案B解析A中总体的个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体的个体无明显差异，不适合用分层随机抽样；B中总体的个体差异明显，适合用分层随机抽样.二、分层随机抽样的应用探究2你能总结一下按比例分层随机抽样的步骤吗？提示按比例分层随机抽样的实施步骤：第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)；第二步，计算各层所占比例.所占比例＝eq\f(各层总的个体数,总体中的个体数)；第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数＝样本量×各层所占比例；第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本；第五步，综合每层抽样，组成总样本.例2某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，应怎样进行抽样，并写出具体过程.解用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：第一步，分层，按工作性质将学校在职人员分为三层：行政人员、教师、后勤人员.第二步，确定抽样比，样本量与总体的个体数的比为eq\f(20,160)＝eq\f(1,8).第三步，确定分别从每层中抽取的人数，从行政人员中抽取16×eq\f(1,8)＝2(人)；从教师中抽取112×eq\f(1,8)＝14(人)；从后勤人员中抽取32×eq\f(1,8)＝4(人).第四步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人.第五步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.思维升华进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系(1)eq\f(样本量n,总体的个数N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.训练2(链接教材P189T5)某学校在校学生有3000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a∶b∶c＝2∶3∶4，全校参加登山的人数占总人数的eq\f(2,5).为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取()A.15人 B.30人 C.45人 D.60人答案D解析由题意，可知全校参加跑步的人数为3000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝1800，所以a＋b＋c＝1800.因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以b＝1800×eq\f(3,2＋3＋4)＝600.因为按分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为600×eq\f(300,3000)＝60.三、用分层随机抽样的平均数估计总体的平均数探究3在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数eq\o(X,\s\up6(－))和样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))和第2层的总体平均数eq\o(Y,\s\up6(－))和样本平均数eq\o(y,\s\up6(－))，该如何计算？提示eq\o(X,\s\up6(－))＝eq\f(X1＋X2＋…＋XM,M)＝eq\f(1,M)eq\o(∑,\s\up6(M),\s\do4(i＝1))Xi，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xm,m)＝eq\f(1,m)eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi，eq\o(Y,\s\up6(－))＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))Yi，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi.【知识梳理】如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，两层的总体平均数分别为eq\o(X,\s\up6(－))，eq\o(Y,\s\up6(－))，总体平均数为eq\o(W,\s\up6(－))，样本平均数为eq\o(w,\s\up6(－))，则eq\o(W,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(X,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(Y,\s\up6(－))__，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))__.例3某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间(单位：h)的数据如下：甲66.577.58乙6789101112丙34.567.5910.51213.5则这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间的估计值为________h.答案8.2解析从甲班抽取的5名学生的总时间为6＋6.5＋7＋7.5＋8＝35(h)，从乙班抽取的7名学生的总时间为6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝63(h)，从丙班抽取的8名学生的总时间为3＋4.5＋6＋7.5＋9＋10.5＋12＋13.5＝66(h)，则eq\f(35＋63＋66,5＋7＋8)＝eq\f(164,20)＝8.2，即这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2h.思维升华1.进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系(1)eq\f(样本量n,总体的个数N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.2.样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：eq\o(ω,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).训练3高二年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层随机抽样，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.则下列论述错误的是()A.若各层按比例分配抽取样本量为100的样本，可以用eq\f(49,100)×170.2＋eq\f(51,100)×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值B.若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，可以用eq\f(30,100)×170.2＋eq\f(70,100)×160.8≈163.6(cm)来估计总体均值C.若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则总样本的均值为eq\f(30,100)×170.2＋eq\f(70,100)×160.8≈163.6(cm)D.如果仅根据男生、女生的样本均值，无法计算出总样本的均值答案C解析由分层随机抽样的概念可得样本平均值为eq\f(49,100)×170.2＋eq\f(51,100)×160.8≈165.4(cm)，由此可以估计总体平均值约为165.4cm，故A正确；由平均数的计算公式可得，样本平均值为eq\f(30,100)×170.2＋eq\f(70,100)×160.8≈163.6(cm)，由此可以估计总体平均值约为163.6cm，故B正确；由B可知，163.6为样本平均值，我们可以由此估计出总体平均值，而不是确定的总体平均值，故C错误；如果仅根据男生、女生的样本均值，可以估计出总体的均值，不能计算出准确的总体均值，故D正确.【课堂达标】1.(多选)下列关于抽样的说法正确的是()A.总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法B.在对分层随机抽样的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样C.分层随机抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等(有剔除时例外)D.百货商场的抽奖活动是抽签法答案ABD解析总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法，因此A正确；对分层随机抽样的每一层进行抽样时，采用的是简单随机抽样，因此B正确；分层随机抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等(有剔除时可能性也相等)，C错误；百货商场的抽奖活动是抽签法，也叫抓阄，因此D正确.2.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种抽样方法是()A.分层随机抽样 B.抽签法C.随机数法 D.其他随机抽样答案A解析从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此采用的是分层随机抽样.3.某学校的教师配置比例如图所示，为了调查各类教师的薪资状况，现采用分层随机抽样的方法抽取部分教师进行调查.在抽取的样本中，青年教师有30人，则该样本中的老年教师人数为()A.10 B.12C.18 D.20答案B解析设该样本中的老年教师人数为x，由分层随机抽样的特点得eq\f(30,x)＝eq\f(50%,20%)，解得x＝12.4.某校高二年级“化生史”组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为________分.答案108解析因为样本中40名学生的平均分为eq\f(20,40)×110＋eq\f(20,40)×106＝108(分)，所以该组合学生的平均成绩约为108分.一、基础巩固1.某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A.抽签法 B.简单随机抽样C.分层随机抽样 D.随机数法答案C解析根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样.2.为了保证分层随机抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求()A.每层的个体数必须一样多B.每层抽取的个体数相等C.每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1，2，…，k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体个数D.只要抽取的样本量一定，每层抽取的个体数没有限制答案C解析选项A，每层的个体数不一定都一样多，故A错误；选项B，由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体，从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了，故B错误；选项C正确；选项D，每层抽取的个体数是有限制的，不可能无限大，故D错误.3.某高中学校高二和高三年级共有学生2400人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取25人，则高一年级学生人数为()A.1000 B.800C.200 D.600答案B解析设高一年级学生人数为x，因为从三个年级中抽取一个容量为100的样本，且高一年级抽取25人，所以从高二和高三年级抽取100－25＝75人，则eq\f(25,x)＝eq\f(75,2400)，解得x＝800，即高一年级学生人数为800.4.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表.现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()类别粮食类植物油类动物性食品类果蔬类种数40103020A.7 B.6C.5 D.4答案B解析由已知可得抽样比为：eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝eq\f(1,5)，∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为(10＋20)×eq\f(1,5)＝6.5.(多选)已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层随机抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生、初中生、高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有()A.从高中生中抽取了440人B.每名学生被抽到的可能性为eq\f(1,125)C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000答案ABD解析由题意，抽样比为eq\f(2000,120000＋75000＋55000)＝eq\f(1,125)，B正确；从高中生中抽取了55000×eq\f(1,125)＝440人，A正确；高中生近视人数约为55000×80%＝44000，D正确；学生总人数为250000，小学生占比为eq\f(120000,250000)＝eq\f(12,25)，同理，初中生、高中生分别占比为eq\f(3,10)，eq\f(11,50)，在容量为2000的样本中，小学生、初中生和高中生分别抽取960人、600人和440人，则近视人数为960×30%＋600×70%＋440×80%＝1060，所以估计该地区中小学生总体的平均近视率为eq\f(1060,2000)＝53%，C错误.6.一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人.按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________.答案12解析抽取女运动员的人数为eq\f(28,98)×(98－56)＝12.7.某企业共有职工150人，其中高级职称15人、中级职称45人、初级职称90人，现采用分层随机抽样抽取30人，则抽取的高级职称的人数为________.答案3解析由题意，得抽样比为eq\f(30,150)＝eq\f(1,5)，所以抽取的高级职称的人数为15×eq\f(1,5)＝3.8.某分层随机抽样中，有关数据如下：样本量平均数第1层454第2层358此样本的平均数为________.答案5.75解析eq\o(ω,\s\up6(－))＝eq\f(45,45＋35)×4＋eq\f(35,45＋35)×8＝5.75.9.一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取容量为100的样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？解用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，则在不到35岁的职工中抽取125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×eq\f(1,5)＝19(人).(3)在各层分别用随机数法抽取样本.(4)汇总每层所抽取的个体，组成样本.10.某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生487xy男生513560z已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的可能性是0.18.(1)问高二年级有多少名女生？(2)现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？解(1)由eq\f(x,3000)＝0.18得x＝540，所以高二年级有540名女生.(2)高三年级人数为：y＋z＝3000－(487＋513＋540＋560)＝900，∴eq\f(300,3000)×900＝90，故应从高三年级抽取90名学生.二、综合运用11.(多选)某单位共有老年人120人、中年人360人、青年人n人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层随机抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n和m的值可以是()A.n＝360，m＝14 B.n＝420，m＝15C.n＝540，m＝18 D.n＝660，m＝19答案ABD解析某单位共有老年人120人、中年人360人、青年人n人，样本中的中年人为6人，则样本中的老年人为120×eq\f(6,360)＝2(人)，青年人为eq\f(6,360)×n＝eq\f(n,60)(人)，故2＋6＋eq\f(n,60)＝m，即8＋eq\f(n,60)＝m.结合选项计算，可知ABD符合.12.一工厂生产了16800件某种产品，它们分别来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层随机抽样(按比例分配样本量)的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a，b，c，且2b＝a＋c，则乙生产线生产了________件产品.答案5600解析设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲，T乙，T丙件产品，则a∶b∶c＝T甲∶T乙∶T丙，即eq\f(a,T甲)＝eq\f(b,T乙)＝eq\f(c,T丙).因为2b＝a＋c，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(T甲＋T丙＝2T乙，,T甲＋T乙＋T丙＝16800，))所以T乙＝eq\f(16800,3)＝5600.13.某市两所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的eq