高一数学9.2.2　总体百分位数的估计

9.2.2总体百分位数的估计课标要求结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.【引入】观察下列两组数据：甲组1222233355668891010121313乙组00001123456677101414141415由甲、乙两组数据知它们的中位数都是5.5，但很明显，甲组数据中，小于5.5的数普遍比乙组的大，而大于5.5的数普遍比乙组的小，也就是说，中位数并不能全面地体现数据的分布特点，那么，如何补救呢？一、百分位数的定义探究1请阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民用户月均用水量标准转化为数学问题具体指什么？提示寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%.探究2你能制定一下具体方案吗？提示把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间(13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数eq\f(13.6＋13.8,2)＝13.7.【知识梳理】1.总体百分位数的估计一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步：按从小到大排列原始数据.第2步：计算i＝n×p%.第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据，若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.3.四分位数25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.温馨提示中位数是第50百分位数.例1(多选)下列表述正确的是()A.50%分位数就是总体的中位数B.第p百分位数可以有单位C.一个总体的四分位数有4个D.样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确答案ABD解析一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C错误，其它均正确.思维升华分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据如何在最小值与最大值之间分布的信息.训练115%分位数的含义是()A.总体中任何一个数小于它的可能性是15%B.总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15%C.总体中任何一个数大于它的可能性是15%D.总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15%答案B解析根据第p百分位数的定义可知B正确.二、由样本数据求百分位数例2(链接教材P203例2、P204例3)从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数.解将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，则25%分位数是eq\f(8.0＋8.3,2)＝8.15，75%分位数是eq\f(8.6＋8.9,2)＝8.75，95%分位数是第12个数据9.9.思维升华总体百分位数估计需要注意的两个问题(1)总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值.训练2下列一组数据的第25百分位数是2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6()A.3.2 B.3.0C.4.4 D.2.5答案A解析把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数.三、利用频率分布直方图求百分位数例3为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了100名同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50](单位：元)，其频率分布直方图如图所示，估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数.(结果保留两位小数)解法一由频率分布直方图可得，(0.01＋0.023)×10＝0.33，(0.01＋0.023＋0.037)×10＝0.7，所以第65百分位数应位于[30，40)内，所以样本数据的第65百分位数为30＋10×eq\f(0.65－0.33,0.7－0.33)≈38.65(元)，所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.法二由法一知第65百分位数应位于[30，40)，设为x，则0.01×10＋0.023×10＋(x－30)×0.037＝0.65，解得x≈38.65元，所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.思维升华频率分布直方图中第p百分位数的求解方法可以模仿中位数的求解思路：(1)确定第p百分位数所在的区间[a，b).(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋eq\f(p%－fa%,fb%－fa%)×(b－a).训练3为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下这60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？解由题意知分别落在各区间上的频数在[80，90)上为60×0.15＝9，在[90，100)上为60×0.25＝15，在[100，110)上为60×0.3＝18，在[110，120)上为60×0.2＝12，在[120，130]上为60×0.1＝6，从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100，110)上，由100＋10×eq\f(0.5－0.4,0.7－0.4)＝100＋eq\f(10,3)≈103.3；第75百分位数一定落在区间[110，120)上，由110＋10×eq\f(0.75－0.7,0.9－0.7)＝110＋eq\f(5,2)＝112.5.综上可知，第50百分位数和第70百分位数分别估计为103.3cm，112.5cm.【课堂达标】1.(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是()A.这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数答案AC解析A中，因为第75百分位数之后的数字可能也是9.3，则A正确；C中，因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不正确，故选AC.2.一组数据6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，且这组数的一个四分位数是15，则它是()A.15%分位数 B.25%分位数C.50%分位数 D.75%分位数答案B解析将数据由小到大排列为6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11个，由11×25%＝2.75，故25%分位数是15.3.一组数据：7，6，3，2，8，3，5，6，9，7的中位数是________；85%分位数是________.答案68解析将数据从小到大排列为：2，3，3，5，6，6，7，7，8，9，故中位数为6，又10×85%＝8.5，故这一组数据的85%分位数为第9个数为8.4.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________.答案eq\f(100,9)解析样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋eq\f(0.50－0.40,0.76－0.40)×4＝eq\f(100,9).一、基础巩固1.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数为()A.8.4 B.8.5C.8.6 D.8.3答案A解析因为8×30%＝2.4，故30%分位数是由小到大排列后的第三项数据8.4.2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是()A.90B.90.5C.91D.91.5答案B解析把成绩按从小到大的顺序排列为56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是eq\f(90＋91,2)＝90.5.3.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是()A.[4.5，＋∞) B.[4.5，6.6)C.(4.5，＋∞) D.(4.5，6.6]答案A解析因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A.4.某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：毕业生123456起始月薪285029503050288027552710毕业生789101112起始月薪289031302940332529202880则第85百分位数是()A.3325 B.3130C.3050 D.2950答案B解析将这12个数据按从小到大的顺序排列：2710，2755，2850，2880，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325.又因为12×85%＝10.20，所以第85百分位数是第11个数据，为3130.5.为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：分钟)分成6组：第一组[30，40)，第二组[40，50)，第三组[50，60)，第四组[60，70)，第五组[70，80)，第六组[80，90]，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为()A.42.5分钟 B.45.5分钟C.47.5分钟 D.50分钟答案C解析由于10×0.01＝0.1<0.25，10×0.01＋10×0.02＝0.3>0.25，故第25百分位数位于[40，50)内，则第25百分位数为40＋eq\f(0.25－0.1,0.3－0.1)×10＝47.5，可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5.6.一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为________，第86百分位数为________.答案14.517解析∵75%×20＝15，∴第75百分位数为eq\f(14＋15,2)＝14.5.∵86%×20＝17.2，∴第86百分位数为第18个数据17.7.某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行某项改革的效果进行评分，评分都在[40，100]内，将所有数据按[40，50]，(50，60]，(60，70]，(70，80]，(80，90]，(90，100]进行分组，整理得到频率分布直方图如下，则这次调查数据的70%分位数为________.答案80解析因为前4组数据的频率之和为0.05＋0.15＋0.2＋0.3＝0.7，所以70%分位数为80.8.如图是某市2024年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的第10百分位数为________，日最低气温的第80百分位数为________.答案24℃16℃解析由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序得24，24.5，24.5，25，26，26，27，因为共有7个数据，7×10%＝0.7不是整数，所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据24℃.把日最低气温按照从小到大排序得12，12，13，14，15，16，17，因为共有7个数据，7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据16℃.9.求下列数据的四分位数.13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.解把这12个数据按从小到大的顺序排列可得12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，所以数据的第25百分位数为eq\f(15＋18,2)＝16.5，第50百分位数为eq\f(20＋22,2)＝21，第75百分位数为eq\f(27＋28,2)＝27.5.10.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如下：一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).求每天应该进的苹果质量(精确到整数位).解80%地满足顾客的需求也可理解为计算这组数据的第80百分位数，因为日销售量[60，90)的频率为0.525<0.8，日销售量[60，100)的频率为0.875>0.8，所以第80百分位数落在[90，100)内，则每天应进90＋10×eq\f(0.8－0.525,0.875－0.525)≈98(kg)苹果.二、综合运用11.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有()A.a＝13.7，b＝15.5B.a＝14，b＝15C.a＝12，b＝15.5D.a＝14.7，b＝15答案D解析把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝eq\f(1,10)×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，因为10×50%＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b＝eq\f(15＋15,2)＝15.12.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差答案BCD解析由题图可得，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(3×5＋6＋9,5)＝6，A项错误，B项正确；甲的成绩的第80百分位数是eq\f(7＋8,2)＝7.5，乙的成绩的第80百分位数是eq\f(6＋9,2)＝7.5，所以二者相等，C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确.13.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线.解(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×eq\f(5,100)＝20.(3)设分数的第15百分位数为x，分数小于50的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x∈[50，60)，则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15，解得x＝55，则本次考试的及格分数线为55分.三、创新拓展14.某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).(1)A类工人中和B类工人中各应抽查多少人？(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果