高一数学9.2.3　总体集中趋势的估计

9.2.3总体集中趋势的估计课标要求1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数).2.理解集中趋势参数的统计含义.【引入】在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.一、众数、中位数、平均数探究1现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)甲：3，4，5，6，8，8，8，10乙：4，6，6，6，8，9，12，13丙：3，3，4，7，9，10，11，12三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？提示三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年.【知识梳理】1.众数：一组数据中出现次数最多的数.2.中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数.3.平均数：如果n个数为x1，x2，…，xn，那么eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数.温馨提示平均数、众数和中位数描述了数据的集中趋势，数值型数据可用平均数、中位数描述集中趋势；分类型数据常用众数描述集中趋势.例1(多选)PM2.5是衡量空气质量的重要指标.如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(单位：μg/m3)的折线图，则下列说法正确的是()A.这10天中PM2.5日均值的众数为33B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D.这10天中PM2.5日均值前4天的平均数大于后4天的平均数答案AB解析由题中折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，中位数为eq\f(31＋33,2)＝32，平均数为eq\f(1,10)×(36＋26＋17＋23＋33＋128＋42＋31＋30＋33)＝39.9，中位数小于平均数，故A，B正确，C错误；前4天的平均数为eq\f(36＋26＋17＋23,4)＝25.5，后4天的平均数为eq\f(42＋31＋30＋33,4)＝34，故D错误.思维升华平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数.训练1(多选)小华所在的年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法正确的是()A.1.65米是该班学生身高的平均水平B.班上比小华高的学生人数不会超过25C.这组身高数据的中位数不一定是1.65米D.这组身高数据的众数不一定是1.65米答案ACD解析由平均数所反映的意义知A选项正确；由中位数与平均数的关系确定C选项正确；由众数与平均数的关系确定D选项正确；由于平均数受一组数据中的极端值的影响，故B选项错误.二、总体集中趋势的估计例2(链接教材P206例5)某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：甲群13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？解(1)甲群市民年龄的平均数为eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁，平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.(2)乙群市民年龄的平均数为eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(岁)，中位数为5.5岁，众数为6岁.由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.思维升华1.样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算、不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.2.当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.训练2(链接教材P217T9)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资110001000090008000650055004000(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从10000元提升到20000元，董事长的工资从11000元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.解(1)平均数是：eq\o(x,\s\up6(－))＝4000＋eq\f(7000＋6000＋5000×2＋4000＋2500×5＋1500×3＋0×20,33)≈4000＋1333＝5333(元).中位数是4000元，众数是4000元.(2)新的平均数是eq\o(x,\s\up6(－))′＝4000＋eq\f(26000＋16000＋5000×2＋4000＋2500×5＋1500×3＋0×20,33)≈4000＋2212＝6212(元)，中位数是4000元，众数是4000元.(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势探究2我们知道平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.从下面的三幅图中，你能得到平均数和中位数的大小存在什么关系吗？图(1)图(2)图(3)提示总结：一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图(2))，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边拖尾(图(3))，那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.【知识梳理】1.单峰频率分布直方图中的平均数与中位数(1)如果直方图是对称的，那么平均数与中位数大体上该差不多.(2)如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数.(3)如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.2.在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，样本平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和.例3(多选)某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开区间)，画出频率分布直方图(如图)，下列说法正确的是()A.在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100)内的学生有10人B.这100名学生成绩的众数为85C.估计全校学生成绩的平均分数为75D.这100名学生成绩的中位数为81eq\f(1,9)答案ABD解析由频率分布直方图知成绩在区间[90，100)内的学生有100×0.01×10＝10人，成绩在区间[80，90)内的频率最大，则众数为85，因此A，B正确；全校学生成绩的平均分数为[(55＋95)×0.01＋65×0.015＋75×0.02＋85×0.045]×10＝78，故C错误；由(0.01＋0.015＋0.02)×10<0.5<(0.01＋0.015＋0.02＋0.045)×10，可得中位数在[80，90)区间内，设中位数为x，则(0.01＋0.015＋0.02)×10＋0.045×(x－80)＝0.5，可得x＝81eq\f(1,9)，因此D正确.思维升华利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中.中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数).平均数约为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和.(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数.训练3某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.(1)估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)估计高一参赛学生的平均成绩.解(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65分.又第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，设中位数为x，则60＜x＜70.则0.3＋0.04×(x－60)＝0.5，解得x＝65，即中位数为65分.故估计高一参赛学生成绩的中位数为65分.(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以估计高一参赛学生的平均成绩约为67分.【课堂达标】1.一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为()A.14，14 B.12，14C.14，15.5 D.12，15.5答案A解析把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14.2.某班全体学生参加物理测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是()A.70分 B.75分C.68分 D.66分答案C解析平均成绩为0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分).3.有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的()A.平均数 B.众数C.中位数 D.方差答案C解析把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决赛，即最中间的一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排列时，最中间一个数即是中位数.4.已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的平均数是________.答案3解析∵数据0，2，x，4，5的众数是4，∴x＝4，∴这组数据的平均数是eq\f(1,5)×(0＋2＋4＋4＋5)＝3.一、基础巩固1.一组样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x等于()A.21 B.22C.20 D.23答案A解析根据题意知，中位数22＝eq\f(x＋23,2)，则x＝21.2.某书店新进了一批书籍，下表是某月中连续6天的销售情况记录：日期6日7日8日9日10日11日当日销售量(本)304028443842根据上表估计该书店该月(按31天计算)的销售总量是()A.1147本 B.1110本C.1340本 D.1278本答案A解析从表中6天的销售情况可得，一天的平均销售量为eq\f(30＋40＋28＋44＋38＋42,6)＝37(本)，该月共31天，故该月的销售总量约为37×31＝1147(本).3.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为()A.1B.2C.3D.4答案A解析因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.4.某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表：鞋号3435363738394041日销量/双259169532如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是()A.平均数 B.众数C.中位数 D.极差答案B解析鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据最重要的是众数.5.某校高一年级进行了一次数学测试(满分100，成绩均不低于40)，随机抽取了部分学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.据此样本信息，估计高一年级这次测试数学成绩的中位数是()A.70 B.eq\f(215,3)C.eq\f(220,3) D.75答案C解析由频率分布直方图可知2x×10＋(0.015＋0.020＋0.025＋0.030)×10＝1，解得x＝0.005.前三个矩形的面积之和为(0.005＋0.015＋0.020)×10＝0.4，前四个矩形的面积之和为0.4＋0.030×10＝0.7.设样本的中位数为a，则a∈(70，80)，所以0.4＋(a－70)×0.03＝0.5，解得a＝eq\f(220,3).6.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分.答案85解析由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是eq\f(40×90＋50×81,90)＝85(分).7.已知甲、乙两组数据按从小到大排列后如下所示：甲：27，m，39；乙：n，32，34，38.若这两组数据的中位数相同，平均数也相同，则eq\f(m,n)＝________.答案eq\f(33,28)解析因为两组数据的中位数相同，所以m＝eq\f(1,2)(32＋34)＝33，由于两组数据的平均数相同，所以eq\f(1,3)(27＋33＋39)＝eq\f(1,4)(n＋32＋34＋38)，解得n＝28，故eq\f(m,n)＝eq\f(33,28).8.如图所示，某学校高一(1)班期中考试成绩的统计图.根据该图可估计，这次考试的平均成绩为________分.答案46解析根据题中统计图，可知有4人成绩在[0，20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20，40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40，60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60，80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80，100]之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1380，平均分数为eq\f(1380,30)＝46.9.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.解在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，故这组数据的众数是1.75m.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70m.这组数据的平均数是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69(m).故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m，1.70m，1.69m.10.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下.A款软件B款软件(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？解(1)依题意，可得使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选择B款订餐软件.二、综合运用11.(多选)2025年是中国共产主义青年团成立103周年.为庆祝建团103周年，某中学全体学生参加了主题为“赓续红色血脉·争当青春先锋”的知识竞赛，随机抽取了若干名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.直方图中x的值为0.030B.成绩在区间[90，100)内的学生最多C.估计全校学生的平均成绩为84分D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93答案ABC解析对于A，∵(0.005＋0.010＋0.015＋x＋0.040)×10＝1，∴x＝0.030，A正确；对于B，∵成绩在区间[90，100)内的学生对应频率最大，∴成绩在区间[90，100)内的学生最多，B正确；对于C，平均成绩为55×0.05＋65×0.1＋75×0.15＋85×0.3＋95×0.4＝84，C正确；对于D，80%分位数约为90＋eq\f(0.2,0.4)×10＝95，D错误.12.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示.现用分层随机抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业生产的产品的平