高一数学9.2.4　总体离散程度的估计

9.2.4总体离散程度的估计课标要求1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).2.理解离散程度参数的统计含义.【引入】平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策.这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识.一、方差、标准差探究1有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下.甲：78795491074乙：9578768677(1)甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？提示eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋7)＝7.(2)观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？提示直观上看，还是有差异的.甲成绩比较分散，乙成绩相对集中.(3)对于甲、乙的射击成绩，除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的离散程度？提示还经常用甲、乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度.甲命中环数的极差＝10－4＝6，乙命中环数的极差＝9－5＝4.极差在一定程度上表明了样本数据的离散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息.显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.【知识梳理】1.总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq\o(Y,\s\up6(－))，则称S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))__(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2为总体方差，S＝eq\r(S2)为总体标准差.(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fi(Yi－eq\o(Y,\s\up6(－)))2.2.样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，则称s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))__(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2为样本方差，s＝eq\r(s2)为样本标准差.3.标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.例1(链接教材P215练习T3)甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.解(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,6)×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定.思维升华1.平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.2.在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度.训练1甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别如下.甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5估计两名战士的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？解eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环).由方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，得seq\o\al(2,甲)＝3，seq\o\al(2,乙)＝1.2.eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当.seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，说明甲战士射击情况波动比乙大.因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛.二、方差、标准差与统计图表的综合应用例2对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示.s1，s2，s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有()A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1答案C解析根据题意，甲厂的平均数eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,20)×(5×7＋5×8＋5×9＋5×10)＝8.5，方差seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,20)×[5×(7－8.5)2＋5×(8－8.5)2＋5×(9－8.5)2＋5×(10－8.5)2]＝1.25，标准差s1＝eq\r(1.25)；乙厂的平均数eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,20)×(4×7＋6×8＋6×9＋4×10)＝8.5，方差seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,20)×[4×(7－8.5)2＋6×(8－8.5)2＋6×(9－8.5)2＋4×(10－8.5)2]＝1.05，标准差s2＝eq\r(1.05)；丙厂的平均数eq\o(x,\s\up6(－))3＝eq\f(1,20)×(6×7＋4×8＋4×9＋6×10)＝8.5，方差seq\o\al(2,3)＝eq\f(1,20)×[6×(7－8.5)2＋4×(8－8.5)2＋4×(9－8.5)2＋6×(10－8.5)2]＝1.45，标准差s3＝eq\r(1.45).所以s3>s1>s2.思维升华根据统计图表确定方差(标准差)的大小关系有两个方法：(1)根据统计图表中所提供的数据与方差(标准差)的计算公式求出其数值，然后比较大小；(2)若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为繁琐，可根据统计图表所反映的数据的波动性大小来比较大小.训练2如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))A和eq\o(x,\s\up6(－))B，方差分别为seq\o\al(2,A)和seq\o\al(2,B)，则()A.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，seq\o\al(2,A)>seq\o\al(2,B) B.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，seq\o\al(2,A)<seq\o\al(2,B)C.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，seq\o\al(2,A)>seq\o\al(2,B) D.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，seq\o\al(2,A)<seq\o\al(2,B)答案C解析由题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B.显然实线中的数据波动较大，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即seq\o\al(2,A)>seq\o\al(2,B).三、分层随机抽样的方差探究2在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？提示把男生样本记为x1，x2，…，x23，其平均数记为eq\o(x,\s\up6(－))，方差记为seq\o\al(2,x)；把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为eq\o(y,\s\up6(－))，方差记为seq\o\al(2,y)；把总样本数据的平均数记为eq\o(z,\s\up6(－))，方差记为s2.根据方差的定义，总样本方差为s2＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up6(23),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(z,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up6(27),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(z,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up6(23),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up6(27),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(y,\s\up6(－))＋eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2].由eq\o(∑,\s\up6(23),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))＝eq\o(∑,\s\up6(23),\s\do4(i＝1))xi－23eq\o(x,\s\up6(－))＝0，可得eq\o(∑,\s\up6(23),\s\do4(i＝1))2(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))＝2(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up6(23),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))＝0.同理可得eq\o(∑,\s\up6(27),\s\do4(j＝1))2(yj－eq\o(y,\s\up6(－)))(eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))＝0.因此，s2＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up6(23),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up6(23),\s\do4(i＝1))(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up6(27),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up6(27),\s\do4(j＝1))(eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,50){23[seq\o\al(2,x)＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2]＋27[seq\o\al(2,y)＋(eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2]}.①由eq\o(x,\s\up6(－))＝170.6，eq\o(y,\s\up6(－))＝160.6，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(23,23＋27)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(27,23＋27)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(23×170.6＋27×160.6,50)＝165.2.把已知男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得s2＝eq\f(1,50){23×[12.59＋(170.6－165.2)2]＋27×[38.62＋(160.6－165.2)2]}＝51.4862.故总样本的方差为51.4862，据此估计高一年级全体学生身高的总体方差为51.4862.【知识梳理】假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，方差为t2.则eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,m)eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi，s2＝eq\f(1,m)eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi，t2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2.若记样本平均数值为eq\o(a,\s\up6(－))，样本方差为b2，则可以算出eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(1,m＋n)(eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi＋eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi)＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，b2＝eq\f(m[s2＋（\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))）2]＋n[t2＋（\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))）2],m＋n)＝eq\f(1,m＋n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((ms2＋nt2)＋\f(mn,m＋n)（\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－))）2)).例3(链接教材P213例6)在对某中学高一学生体重的调查中，采取按样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？若能，则求出，不能，说明理由.解设男生的平均体重为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为seq\o\al(2,x)，则eq\o(x,\s\up6(－))＝55，seq\o\al(2,x)＝15，男生占的比例为eq\f(30,50)＝eq\f(3,5)，设女生的平均体重为eq\o(y,\s\up6(－))，方差为seq\o\al(2,y)，则eq\o(y,\s\up6(－))＝45，seq\o\al(2,y)＝20，女生占的比例为eq\f(20,50)＝eq\f(2,5).所以总样本的平均数eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(3,5)×55＋eq\f(2,5)×45＝51，总样本的方差s2＝eq\f(3,5)[seq\o\al(2,x)＋(eq\o(x,\s\up6(－))－51)2]＋eq\f(2,5)[seq\o\al(2,y)＋(eq\o(y,\s\up6(－))－51)2]＝eq\f(3,5)×(15＋42)＋eq\f(2,5)×[20＋(－6)2]＝41.思维升华分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，…，eq\o(x,\s\up6(－))n，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))wi[seq\o\al(2,i)＋(eq\o(x,\s\up6(－))i－eq\o(x,\s\up6(－)))2](eq\o(x,\s\up6(－))为样本的平均数).训练3某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下：学生数平均支出(元)方差男生9406女生6354估算全班学生每周购买零食的平均费用和方差.解男生占的比例为eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，女生占的比例为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，所以全班学生每周购买零食的费用和方差分别为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3,5)×40＋eq\f(2,5)×35＝38，方差s2＝eq\f(3,5)×[6＋(40－38)2]＋eq\f(2,5)×[4＋(35－38)2]＝11.2.【课堂达标】1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是()A.极差 B.平均数C.方差 D.标准差答案B解析平均数是反映数据集中趋势的一项指标，不能反映样本数据的离散程度大小.2.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是()A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀)D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数答案ABC解析甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，所以A正确；seq\o\al(2,甲)＝191＞110＝seq\o\al(2,乙)，所以甲班的成绩不如乙班的稳定，即甲班的成绩波动较大，所以B正确；甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，所以C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误.3.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为()A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1答案B解析比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2.4.样本101，98，102，100，99的标准差s2＝________.答案eq\r(2)解析样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝100，∴s2＝eq\f(1,5)×[(101－100)2＋(98－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋02]＝2，故样本的标准差s＝eq\r(2).一、基础巩固1.甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是()A.甲 B.乙C.甲、乙相同 D.不能确定答案A解析因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.2.已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入数据2和6，此时8个数据的方差为()A.8 B.7C.6 D.5答案B解析设原数据为a1，a2，a3，a4，a5，a6，则eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))ai＝6×4＝24，eq\f(1,6)eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(ai－4)2＝8.加入数据2和6后，所得8个数据的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))ai＋2＋6,8)＝4，方差s2＝eq\f(1,8)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))（ai－4）2＋（2－4）2＋（6－4）2))＝eq\f(48＋4＋4,8)＝7.3.甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，标准差分别为s甲，s乙，则()A.eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲<s乙 B.eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲>s乙C.eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲<s乙 D.eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲>s乙答案C解析由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都远高于乙同学，可知eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，观察题图发现甲同学的成绩比乙同学稳定，故s甲<s乙，故选C.4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲20eq\o(x,\s\up6(－))甲2乙30eq\o(x,\s\up6(－))乙3其中eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，则两个班数学成绩的方差为()A.3 B.2C.2.6 D.2.5答案C解析由题意可知两个班的数学成绩平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝eq\f(20,20＋30)[2＋(eq\o(x,\s\up6(－))甲－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(30,20＋30)[3＋(eq\o(x,\s\up6(－))乙－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(20,20＋30)×2＋eq\f(30,20＋30)×3＝2.6.5.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是10，方差是4，则2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1，2x6＋1的方差是()A.16B.14C.12D.11答案A解析由题意得数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1，2x6＋1的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(（2x1＋1）＋（2x2＋1）＋…＋（2x6＋1）,6)＝eq\f(2（x1＋x2＋…＋x6）＋6,6)＝eq\f(2×10×6＋6,6)＝21，所以方差为s2＝eq\f(1,6)×[(2x1－20)2＋(2x2－20)2＋…＋(2x6－20)2]＝eq\f(1,6)×4×[(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(x6－10)2]＝eq\f(4×4×6,6)＝16.6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差为________.答案3.2解析∵平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10＋6＋8＋5＋6,5)＝7，∴方差s2＝eq\f(1,5)×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝eq\f(16,5)＝3.2.7.已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差为eq\r(2)，则xy＝________.答案96解析由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，得x＋y＝20，又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝(eq\r(2))2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，故(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，解得xy＝96.8.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70kg，标准差为4，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为________.答案124解析由题意知，样本的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(20×70＋30×50,20＋30)＝58，故样本的方差s2＝eq\f(20,20＋30)[42＋(70－58)2]＋eq\f(30,20＋30)[62＋(50－58)2]＝124.9.某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：组别平均数标准差第一组904第二组806求全班这次考试成绩的平均数和标准差.解根据题意，有eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(90×20＋80×20,40)＝85，s2＝eq\f(20,40)[42＋(90－85)2]＋eq\f(20,40)[62＋(80－85)2]＝51，所以s＝eq\r(51).10.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.解由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为eq\o(x,\s\up6(－))高＝eq\f(3×58＋5×40＋2×38,3＋5＋2)＝45(岁)，年龄的方差为seq\o\al(2,高)＝eq\f(1,10)×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(50,50＋10)×38＋eq\f(10,50＋10)×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2＝eq\f(50,50＋10)[2＋(38－39.2)2]＋eq\f(10,50＋10)[73＋(45－39.2)2]＝20.64.二、综合运用11.(多选)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例的数据信息.甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为2，众数为2；丙地：平均数为1，方差大于0；丁地：平均数为2，方差为3.则四地中，一定没有发生大规模群体感染的是()A.甲地 B.乙地C.丙地 D.丁地答案AD解析对于A选项，因为甲地中位数为2，极差为5，所以甲地过去10天每天新增疑似病例不超过2＋5＝7(人)，故甲地符合要求.根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，不选BC；对于D选项，若丁地过去10天每天新增疑似病例数满足平均数为2，且至少有一天新增疑似病例超过7人，则必有方差s2>eq\f(1,10)×(8－2)2＝3.6>3，与方差为3矛盾，故丁地符合要求.12.某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为eq\o(x,\s\up6