山东省2026年普通高校招生（春季）统一考试数学试题答案

山东省2026年普通高校招生（春季）统一考试数学试题卷一（选择题，共60分）一、选择题（本答题共20小题，每题3分，共60分）1.已知集合，则集合A的子集个数为（）A.2个 B.3个 C.4个 D.8个【答案】C【解析】【分析】根据集合的子集的概念即可求解.【详解】集合的子集有，所以集合A的子集个数为4个.故选：C.2.已知，则不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质逐一分析每个选项.【详解】选项A：因为，可得，又，所以，该选项正确；选项B：已知，令，得，此时，该选项错误；选项C：已知，令，得，此时，该选项错误；

选项D：已知，根据不等式的性质可知，该选项错误，故选：A.3.已知复数，则复平面内对应的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数的概念和复数的几何意义求解即可.【详解】复数，所以，则复平面内对应的点的坐标是.故选：B.4.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分母不为零和二次根式被开方数大于等于零列式求解即可.【详解】函数，则有，即且.故函数的定义域是.故选：C.5.如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的加法以及减法的几何运算求解即可.【详解】因为A，B，C三点共线，且，所以，所以，即，化简得.故选：A.6.已知不等式的解集是，则实数c的值是（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】根据绝对值不等式的解集求解即可.【详解】不等式，的解集为，即，解得，所以，解得.故选：B.7.已知直线m，n和平面，，且，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面的位置关系以及充分条件和必要条件的概念判断.【详解】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立；若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点，那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立，综上，是的既不充分也不必要条件.故选：D.8.已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值（）X1234P0.20.250.30.25A.1.8 B.2.0 C.2.6 D.4.8【答案】C【解析】【分析】根据离散型随机变量的均值公式计算.【详解】由题意，.故选：C.9.已知直线与直线互相垂直，则实数（）A. B. C. D.6【答案】D【解析】【分析】根据两直线垂直的条件列出的方程求解.【详解】已知直线与直线互相垂直，则，解得，故选：D.10.现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的概率公式计算．【详解】所有可能的分配方式共有6种情形，如下表：A车间甲乙甲丙乙丙甲乙丙B车间丙乙甲乙丙甲丙甲乙其中，甲被分到A车间的情形有3种，如下表：A车间甲乙甲丙甲B车间丙乙乙丙所以甲被分到A车间的概率是，故选：C．11.已知函数的图象如图所示，则结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象和性质确定、的范围，结合指数函数的单调性判断即可.【详解】由函数的图象可知，函数单调递增，所以.因为函数图象与轴的交点为，由图可知，所以，点在函数的图像上，可得，从而，，选项A：因为，所以，故A选项错误；选项B：因为，，，取，此时，由于，可知无意义，故B选项错误；选项C：因为且，所以，故C选项错误；选项D：因为，所以指数函数在上单调递减，因为，所以，故D选项正确，故选：D.12.已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根据终边上点的坐标求三角函数值即可.【详解】已知角的终边过点，且，则，则，则，即，解得（舍去）.故选：A.13.在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二项式定理求解即可.【详解】展开式通项为.已知第二项的二项式系数是，解得.则第三项为.故选：B.14.如图所示，现有两排四列8个座位，从中选取2个座位安排甲乙入座，要求在同一排时不相邻，不在同一排时不同列，则甲乙所有不同坐法的种数是（）A.18 B.24 C.32 D.36【答案】D【解析】【分析】用分类加法计数原理计算，分甲乙同排和甲乙不同排两类计算.【详解】甲乙在同一排，要求不相邻：每排共4个座位，4个座位中相邻的座位共3组，总选法种，相邻的排列种，所以一排满足条件的排列为种.两排共种坐法.甲乙不在同一排，要求不同列：甲任选一排的一个座位，共种选法；乙在另一排，不能和甲同列，因此有种选法.总共有种坐法.因此种.故选：D.15.已知奇函数的图象是一条曲线，在区间是增函数，在区间上是减函数，则函数在区间的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函数图象关于原点对称这一性质，结合已知区间的单调性求解.【详解】对于奇函数，其图象关于原点对称.已知在区间是增函数，则在区间上也是增函数，又已知在区间上是减函数，则在区间上是减函数，综上，函数在区间的单调递增区间是，故选：C.16.已知圆的圆心到直线的距离为d，则结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标，再点到直线的距离公式求解即可.【详解】圆可化为，因此圆心为.圆心到直线的距离.因为，所以，进而.故选：C.17.把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图像平移的规律以及特殊角的三角函数值求解即可.【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数，所以.故选：B.18.从某学校学生体能测试的数据中随机抽取一个容量为200的样本，样本数据的极差是36，数据被分成12个等宽组，且分组的总范围等于极差，已知其中一组的频数是60，则该组数据频率与组距的比值是（）A.0.1 B.0.18 C.0.2 D.0.3【答案】A【解析】【分析】根据组距以及频率求解即可.【详解】组距=极差÷组数=

，频率=频数÷样本容量=

.所以该组数据频率与组距的比值.故选：A.19.已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的性质以及离心率公式的计算.【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，因为椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，所以可得，即，从而，故选：A.20.在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（）A.19 B.20 C.21 D.23【答案】B【解析】【分析】根据题意求出数列通项公式，再根据不等式求解即可.【详解】因为除以3和7都余2，所以是3和7的公倍数，3和7的最小公倍数是21，因此可设（为非负整数）.结合除以5余3，所以除以5余3，即除以5余3，所以除以5余1，即（为非负整数），因此，即所有满足条件的是首项为、公差为的等差数列，通项为，又，所以，化简得，因此最大取19，即的最大值为.故选：B.卷二（非选择题，共60分）二．填空题（本答题共5个小题，每小题4分，共20分）21.已知，则的值是_____________．【答案】##0.75【解析】【分析】利用对数的运算性质和换底公式进行求解.【详解】已知，则，可得，则.故答案为：.22.如图所示，某几何体的正视图和左视图都是边长为4的正方形，俯视图是圆，则该几何体的表面积为_____________．【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体，再求其表面积即可.【详解】由三视图知，几何体是圆柱，其中圆柱的母线长为，底面圆的直径为，即底面圆半径，所以该几何体的表面积.故答案为：.23.已知向量，，若，则实数_____________．【答案】5【解析】【分析】根据向量内积的坐标运算公式求解.【详解】已知向量，，且，可得：，即，解得，故答案为：5.24.已知，则的值是_____________．【答案】##0.1【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系求解.【详解】因为，且，所以，即，解得，故答案为：.25.如图所示，已知是双曲线的左焦点，过斜率为2的直线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若，则两条渐近线所成夹角的正切值是_____________．【答案】##2.4【解析】【分析】首先求出焦点，进而得到直线方程，联立渐近线方程得到点，再根据向量坐标求解即可.【详解】双曲线的左焦点，渐近线方程为.过​斜率为2的直线方程为.联立直线和两条渐近线，解得，交点.由，可得​，代入坐标得，约去非零的，化简得，整理得，即.两条渐近线斜率为，根据两直线夹角正切公式，代入得.故答案为：.三、解答题（本答题5个小题，共40分，请写出文字说明．证明过程或演算步骤）26.已知函数，且，（1）求实数b的值；（2）函数的最小值和最大值．【答案】（1）（2）最小值为，最大值为27【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求解即可.（2）根据指数函数的单调性以及二次函数的单调性求解即可.【小问1详解】因为函数，又，所以，解得.【小问2详解】当时，，此时在上为减函数，所以时，函数最大值为，最小值为，当，，函数开口向上，对称轴为，即时，单调递减；，单调递增；所以时，函数最小值为，最大值为，综上，在区间上最小值为，最大值为27．27.已知等比数列的前n项和是（C为常数）（1）求常数C的值（2）若，求n的最小值【答案】（1）1（2）7【解析】【分析】（1）根据等比数列的前项和与通项公式的关系求解即可.（2）根据（1）求出，再根据不等式求解即可.【小问1详解】因为为等比数列，前n项和是（为常数），所以当时，，当时，，则，得到.【小问2详解】由（1）知，，因为，所以，得到，解得，又，所以的最小值为7.28.如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且．（1）求O，M两点间的距离（2）计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解即可.（2）根据同角三角函数的关系以及正弦定理求解即可.【小问1详解】依题意，,由余弦定理得，即,,即两点间的距离为．【小问2详解】∵cos∠OAM=11,由正弦定理，.即栈道的长度为．29.如图所示，在长方形中，已知，，E，F分别为，的中点，将长方形沿折成直二面角，使点A，D分别到点P，Q的位置，连接，．（1）证明：平面；（2）求点E到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质及直线与平面垂直的判定定理证明；（2）利用等体积法求解点到平面的距离.【小问1详解】在长方形中，E，F分别为，的中点，，，，∴四边形为平行四边形，又，，∴四边形为正方形，，同理四边形为正方形，，从而，已知将长方形沿折成直二面角，所以平面平面，且平面平面，平面，，可得平面，又因为平面，∴QF⊥CE，又，平面，BF∩QF=F，平面.【小问2详解】连接，如图，由（1）知平面，平面，∴QF⊥BC，，又，平面，QF∩CF=F，平面，平面，∴BC⊥QC，在中，QF=DF=CF=2，，，，设点E到平面的距离为d，由VE-BCQ=V即，解得.故点E到平面的距离为.30.倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且（1）求抛物线的标准方程（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标．