全品高考备战2027年数学一轮备用题库10第30讲余弦定理、正弦定理应用举例【答案】作业手册

第30讲余弦定理、正弦定理应用举例1.B[解析]依题意,AC=BC,因为灯塔A在观察站北偏东40°方向上,灯塔B在观察站南偏东60°方向上,所以∠ACB=80°,所以∠ABC=50°,A,B,C的位置如图,所以灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向上,故选B.2.A[解析]在△ABC中,∠ACB=30°,∠CAB=105°,所以∠ABC=180°-30°-105°=45°,由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,则AB=ACsin∠ACBsin∠ABC=50sin30°sin453.A[解析]设山顶为A,塔底为C,塔顶为D,过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点B,则易得AB=BCtan60°,BD=AB·tan30°=BCtan60°·tan30°=2003×33=2003(m),所以CD=BC-BD=200-4.C[解析]由题意易知∠ACB=120°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=102+202-2×10×20×-12=700,所以AB=107km,所以渔船沿直线从灯塔A航行到灯塔B需要107205.B[解析]在△ABC中,由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,即BCsin105°=2sin(180°-105°-45°),则BC=4sin105°=4sin75°.在△ABD中,∠DAB=∠DBA=60°,所以△ABD是等边三角形,所以BD=AB=2.在△BCD中,∠DBC==16sin275°+4-2×4sin75°×2×cos15°=16sin275°+4-2×4sin75°×2×sin75°=4,所以CD=2.故选B.6.106[解析]依题意得C=180°-A-B=45°,由正弦定理,得BCsin60°=ABsin45°,所以3032=x7.C[解析]依题意,在Rt△MAC中,AC=60m,tan∠MCA=34,所以tan∠MCA=AMAC=AM60=34,可得AM=45m,则CM=AM2+AC2=452+602=75(m).在Rt△BCN中,BC=703m,cos∠NCB=1415,则CN=BCcos∠CM75757(m),故塔尖M,N之间的距离为757m.故选C.8.D[解析]依题意设炮弹第一次命中点为C,如图,则AB=14,AC=BC=AM=18,∠CBA=∠CAB=θ,∠MAB=θ2.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosθ,即182=142+182-2×14×18cosθ,解得cosθ=718,所以cosθ=2cos2θ2-1=718,又θ为锐角,所以cosθ2=56(负值舍去).在△ABM中,由余弦定理得BM2=AM2+AB2-2AM·ABcosθ2=182+142-2×18×14×56=100,所以BM=10,即B9.AB[解析]画出示意图如图所示,由题意得AB=32×12=16,BS=82,∠BAS=30°,所以82sin30°=16sin∠ASB,解得sin∠ASB=22,所以∠ASB=45°或∠∠AS'B=45°,所以∠ABS'=105°;当灯塔在S处时,∠ASB=135°,所以∠ABS=15°.综上,灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°方向.故选AB.10.AC[解析]对于A,因为∠BAD=75°,点B位于点A的南偏西45°方向上,点B位于点D的正西方向上,所以B=45°,所以∠ADB=60°,∠ADC=120°,又∠AEC=120°,CD=CE=100m,AE=200m,所以AC2=AE2+CE2-2AE·CEcos120°=CD2+AD2-2AD·CDcos120°,所以AD=200m,故A正确;对于B,△ADC的面积为12×AD×CD×sin∠=12×200×100×32=50003(m2),故B错误;对于C,在△ABD中,由正弦定理,得ABsin∠ADB=ADsinB,所以AB=AD·sin∠ADBsinB=200×3222=1006(m),故C正确;对于D,过点A作AG⊥BC于点G,11.23[解析]设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时,且在B处相遇,如图所示.由已知得,在△ABC中,AC=10,AB=21x,BC=9x,∠ACB=120°,由余弦定理得(21x)2=102+(9x)2-2×10×9x×cos120°,整理得36x2-9x-10=0,解得x=-512(舍去)或x=23,所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为12.3百米[解析]根据题意,在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,DC=23,则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,则AC=DC=23百米.在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,CE=2百米,则∠EBC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理得CEsin∠EBC=BCsin∠BEC,则BC=CE×sin∠BECsin∠EBC=2×3222=3(百米).在△ABC中,∠ACD-∠BCE=60°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=9,则AB=3百米.13.解:如图,延长AD交BC的延长线于G,过D作DH⊥BG于H.在Rt△DHC中,∵坡比为3∶1,∴tan∠DCH=3,∴∠DCH=60°,又CD=12米,∴CH=CD·cos∠DCH=12×cos60°=6(米),DH=CD·sin∠DCH=12×sin60°=63(米).∵DH⊥BG,G=30°,∴HG=DHtanG=6333=18(米),∴CG=CH+HG=24(米).设AB=x米,∵AB⊥BG,∠BCA=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴BC=AB=x米,BG=ABtanG=x33=∴3x-x=24,解得x=123+12,∴信号柱AB的高度为(123+12)米.14.解:(1)设OP=x,在△PAO中,因为tan∠PAO=POAO,所以AO=xtan30°=3x,同理,在△PBO中,BO=xtan45°=x.在△AOB中,由余弦定理得AB2=AO2+BO2-2AO·BOcos∠AOB=6x2,又3,所以9=6x2,解得x=62(负值舍去),所以此山的高OP为62(2)由(1)得BO=62,AO=322,AB=3.设C是线段AB上一动点,连接OC,PC则在点C处观测P处的仰角为∠PCO,且tan∠PCO