全品高考备战2027年数学一轮学生用书03第62讲二项式定理【正文】听课手册

第62讲二项式定理【课标要求】能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项式定理定理内容:(a+b)n=(n∈N*,其中a,b可以是数或多项式或其他,要灵活看待).

注意点:(1)项数:展开式共有项.

(2)幂指数:①字母a的幂指数从n逐项递减到0,字母b的幂指数从0逐项递增到n;②各项中所有字母的幂指数之和均为n.2.二项式系数Cnk(k∈{0,1,2,…,n})是第3.二项展开式的通项Tk+1=(a,b的顺序不能颠倒).

4.二项式系数的性质(1)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)二项式系数先增后减,中间一项或中间两项的二项式系数最大.①当n为偶数时,第n2+1项的二项式系数最大,最大值为②当n为奇数时,第n+12项和第n+32项的二项式系数最大,最大值为(3)各二项式系数的和.①Cn0+Cn1+Cn②Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn常用结论赋值法的应用(1)在二项式定理中,令a=1,b=x,得(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cn(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则①f(0)=a0.②f(1)=a0+a1+a2+…+an.③奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=f(④偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=f(题组一常识题1.[教材改编](1+2x)6的展开式中x3的系数为.(用数字作答)

2.[教材改编]若二项式ax2-1x3.[教材改编]已知2x-1xn的展开式中各二项式系数的和为128,则展开式中题组二常错题◆索引:对二项展开式的特点把握不准;不理解常数项、有理项等需满足的条件;混淆二项式系数与项的系数.4.化简:Cn0·32n+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+5.在x+43y206.若二项式x2-2xn的展开式的二项式系数之和为8,则n求展开式中的特定项或特定系数例1(1)[2024·天津卷]在3x3+(2)已知(x+y)n的展开式共有9项,则展开式中x2y6的系数为.

总结反思本类题考查的核心是(a+b)n的展开式的通项Tr+1=Cnran-(1)根据给出的条件(特定项)和通项,建立方程来确定指数或其他参数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n为正整数,r为非负整数,且n≥r);(2)根据所求的指数或其他参数求解所求的项.变式题(1)[2025·诸暨模拟](x-2y)7的展开式中第三项的系数是 ()A.C72 B.-2C72 C.4C72(2)在x-ax29的展开式中,常数项为84,则x6A.-9 B.-36 C.9 D.36二项式系数与各项的系数问题角度1二项式系数与系数最值例2(1)[2025·湖南长沙一中阶段检测]已知x+12x2A.212 B.C.2116 D.(2)[2024·全国甲卷]13+x总结反思(1)二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念,求法上也有较大差异.由二项式系数的性质可知,当n为偶数时,中间的一项的二项式系数最大,当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等,同时取得最大值.系数最大的项不一定在中间,需要利用二项展开式的通项,根据系数值的增减性(有时还要结合正负的变化情况)具体讨论而定.(2)对于(ax+bx-1)n,当x,x-1的系数均为1时,某项的二项式系数和系数相等.变式题已知(1+2x)6的二项展开式中,二项式系数最大的项为a,系数最大的项为b,则ba=角度2展开式中各项系数的和例3(1)(多选题)[2025·南通一中模拟]对任意实数x,有(2x+1)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,则下列结论正确的是 ()A.a0=1B.(i=0,1,…,9)的最大值为a7C.a2+a4+a6+a8=3D.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=39(2)[2025·北京卷]已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=;a1+a2+a3+a4=.

总结反思形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和时,常采用赋值法,令x=1即可.变式题(1)[2025·广东梅州模拟]已知(3x+2)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则 ()A.a0=210B.a0-a1+a2-a3+…+a10=-1C.a0+a2+a4+…+a10=1D.展开式中二项式系数最大的项为第5项(2)已知x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8,则∑i=07多项展开式中的特定项角度1几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题例4已知(2x-1)6+a(x+1)3的展开式中x3的系数为0,则a的值为 ()A.-160 B.160C.-960 D.960总结反思求几个多项式和的展开式中的特定项(系数),先分别求出每一个多项式的展开式中的特定项,再合并即可.变式题[2026·浙江A9协作体联考]已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a3+a6的值为 ()A.106 B.162C.92 D.120角度2几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题例5(1-2x)5(1+3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为 ()A.26 B.-26C.6 D.-6总结反思几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别将每个多项式化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项进行合并即可.变式题(1)[2025·江西南昌模拟]在(x+1)×(x+2)×…×(x+10)的展开式中,x9的系数为 ()A.55 B.60C.75 D.90(2)已知(x2+1)(x-5)3=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a3=.

角度3三项展开式中的特定项(系数)问题例6(1)在(1-2x-y)4的展开式中,x2y的系数为 ()A.-48 B.-24 C.24 D.48(2)[2025·辽宁名校联盟模拟]在4x+1总结反思三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:(1)