全品高考备战2027年数学一轮学生用书10增分微课7立体几何中的截面、交线问题【正文】听课手册

【知识链接】“截面、交线”问题是高考立体几何问题中具有创新意识的题型,它渗透了一些动态的线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力.有关截面、交线问题,常见考查方式:作截面、判断截面图形的形状、求截面图形的周长或面积、求截面有关的体积问题,意在考查空间想象能力,化归和转化能力.类型一作截面例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,E是PC的中点.若M是CE的中点,过点M作一个截面,使得该截面与平面EDB平行,请画出截面,并写出作图过程(无需证明).

总结反思(1)作截面应遵循的三个原则:①在同一平面上的两点可引直线;②凡是相交的直线都要画出它们的交点;③凡是相交的平面都要画出它们的交线.(2)作交线的方法有如下两种:①利用基本事实3作交线;②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行,然后根据性质作出交线.注:正方体的一些截面: 变式题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,C1D1的中点,CQ=13CC1.过点M,N,Q三点作该正方体的截面,在图中画出这个截面(不必说明画法和理由,但要保留作图痕迹)

类型二截面图形的形状判断例2(1)用一个平面去截正方体,则截面不可能是 ()A.正方形 B.梯形C.等边三角形 D.钝角三角形(2)[2025·江苏南通调研]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,则平面D1AE截正方体所得的平面图形为 ()A.三角形 B.等腰梯形C.直角梯形 D.五边形总结反思判断几何体被一个平面所截得的截面形状,关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置,可得利用面面平行转化为线线平行去寻找截面,也可以利用面的延伸与棱的交点,从而找到截面与几何体面上的两交点,从而定出截面.变式题(1)如图所示,四面体木块的四个面均为等边三角形,点P是△ABC的中心,过点P将木块锯开,并使得截面平行于AD和BC,则所得截面是 ()A.等腰三角形 B.等边三角形C.矩形 D.梯形(2)已知三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱BB1,A1C1的中点,过A,M,N作三棱柱的截面交B1C1于点E,且B1E=2,则B1C1=.

类型三截面图形的周长或面积例3(1)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ()A.334 BC.324 D(2)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BC的中点,过M,N,D1作正方体的截面,则截面的周长为.

总结反思破解有关几何体的截面图形的周长或面积题的关键:一是定图,即判断或作出截面图形的特征;二是用公式,即会利用平面图形的周长与面积公式,有时还需利用解三角形的相关知识进行解决.变式题(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,E为A1B1的中点,若三棱锥E-BCC1的四个顶点均在球O上,过BB1作球O的截面,则所得截面圆面积的最小值为 ()A.12π B.π C.32π D(2)如图,已知四面体ABCD为正四面体,AB=2,E,F分别是AD,BC的中点.若用一个与直线EF垂直,且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积的最大值为.

类型四截面有关的体积问题例4如图,过三棱柱下底面的边BC作一个截面,截面与上底面的交线为DE,D,E分别是A1C1,A1B1的中点.该截面将三棱柱A1B1C1-ABC分成了两部分,设较大部分的体积为V1,较小部分的体积为V2,则V1V2总结反思破解截面有关的体积问题的关键:一是定形,一个几何体被一个平面所截,需弄清截成两个几何体的形状;二是用公式,会利用柱、锥、台的体积公式对几何体的体积进行求解.变式题在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N,P满足A1M=MA,2C1N=NC,B1P=λA.三棱锥B