全品高考备战2027年数学一轮学生用书10增分微课7立体几何中的截面、交线问题【答案】听课手册

增分微课7立体几何中的截面、交线问题例1解:如图,取CD的中点N,BC的中点S,连接MN,MS,NS,则截面MNS与平面EDB平行.变式题解:如图,连接NQ并延长,与DC的延长线交于Y,连接MY,与BC交于点P,连接PQ,延长QN,与DD1的延长线交于Z,延长PM,与DA的延长线交于X,连接XZ,与AA1交于S,与A1D1交于T,连接SM,TN,则六边形MPQNTS即为所作的截面.例2(1)D(2)B[解析](1)用一个平面去截正方体,截面可能是正方形、梯形、等边三角形.当平面平行于正方体的一个面时,截面是正方形,如图①;如图②,截面可以是梯形;如图③,当平面过正方体的三个顶点时,截面是等边三角形.截面不可能为钝角三角形,故选D. (2)如图,连接BC1,延长AE交直线DC于G,连接D1G,交CC1于F,连接EF,则四边形AEFD1即为所求截面.由题设有FCDD1=FGD1G=CGDG=CEAD=12,故F为CC1的中点,则EF∥BC1且EF=12BC1.因为AB∥DC∥D1C1,AB=DC=D1C1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,所以AD1∥BC1且AD1=BC1,故AD1∥EF且EF=12AD1,又AE变式题(1)C(2)6[解析](1)由题意可知,点P是△ABC的中心,过点P作EF∥BC,分别交AB,AC于E,F,作FG∥AD交CD于G.设过点E,F,G的平面与BD交于点H,因为BC⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,所以BC∥平面EFGH,同理AD∥平面EFGH,即四边形EFGH即为所求截面.由BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BCD=HG,BC⊂平面BCD,得BC∥HG,故EF∥HG,同理可得EH∥AD,则FG∥EH,故四边形EFGH为平行四边形,即截面是平行四边形.设M为BC的中点,连接AM,DM,则AM⊥BC,DM⊥BC,又AM∩DM=M,AM,DM⊂平面ADM,所以BC⊥平面ADM.因为AD⊂平面ADM,所以BC⊥AD,而EF∥BC,FG∥AD,故EF⊥FG,即平行四边形EFGH为矩形,即截面是矩形.故选C.(2)如图,连接AM并延长,与A1B1的延长线交于点P,连接NP与直线B1C1交于点F,易知F即为点E.因为AM与NE相交于点P,所以A,M,N,E四点共面.因为M是BB1的中点,且AA1=BB1,AA1∥BB1,所以MB1=12AA1,MB1∥AA1,所以MB1是△AA1P的中位线,则B1是A1P的中点.连接B1N,C1P,因为N为A1C1的中点,所以NB1∥C1P,NB1=12C1P.易知△NEB1∽△PEC1,则B1EEC1=NB1C1P=1例3(1)A(2)313+3[解析](1)在正方体的所有棱中,实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,如图所示,与正六边形EFGHPQ平行的平面满足条件,且当截面α为正六边形EFGHPQ时,α截此正方体所得截面的面积最大,故α截此正方体所得截面面积的最大值为6×34×222=33(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接MN,设直线MN与直线DA,DC分别交于E,F,连接D1E,D1F,分别与AA1,CC1交于点P,Q,连接PM,QN,则五边形D1PMNQ是过M,N,D1的正方体的截面.由M为AB的中点,N为BC的中点,得AM=BM=BN=CN=32,AEBN=AMBM=1,则AE=BN=AM=32,同理CF=BM=CN=32,则APDD1=AEED=13,故AP=1,A1P=2,同理可得CQ=1,C1Q=2,则D1P=D1Q=32+22=13,PM=QN=12+322=132变式题(1)B(2)1[解析](1)因为四边形BCC1B1为正方形,所以点B1在△BCC1的外接圆上,又三棱锥E-BCC1的四个顶点均在球O上,即球O为四棱锥E-B1BCC1的外接球,故球心O为正方形B1C1CB的中心,则球O的半径为2.过BB1作球O的截面,当所得截面圆面积最小时,截面圆圆心为BB1的中点(即过O作截面的垂线,垂足为BB1的中点),所以截面圆的半径的最小值为1,所以截面圆面积的最小值为π.(2)将正四面体ABCD补成正方体,如图.∵EF⊥α,∴截面为平行四边形MNKL,M,N,K,L分别为BD,CD,AC,AB上的点,且ML∥KN∥AD,KL∥MN∥BC,易得NK+KL=2,又AD⊥BC,∴NK⊥KL,∴S四边形MNKL=NK·KL≤NK+KL22=1,当且仅当NK=例475[解析]由题意知几何体A1ED-ABC为三棱台.设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h,△ABC的面积为S.因为D,E分别是A1C1,A1B1的中点,所以DE∥B1C1,即△A1ED∽△ABC,则△A1ED的面积为S4,所以VA1B1C1-ABC=Sh,VA1ED-ABC=1变式题B[解析]如图所示,因为AA1∥BB1,AA1⊄平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,所以AA1∥平面BB1