全品高考备战2027年数学一轮备用题库09增分微练7空间中的动态问题【答案】作业手册

增分微练7空间中的动态问题1.D[解析]由题易知平面ABE与CD垂直,则在平面ABE中,点P到AB和点E的距离相等,由抛物线的定义,可知点P的轨迹被平面ABE所截得的图形是抛物线的一部分.故选D.2.B[解析]因为PA⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AB,又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.如图所示,设DE为以C为球心,3为半径的球面与平面PAB的交线,则CD=CE=3,又BC=1,所以BD=BE=2,所以DE所在的圆是以B为圆心,2为半径的圆.因为PA=AB且PA⊥AB,所以∠PBA=π4,所以DE的长为π4×2=2π43.B[解析]设P在底面ABC上的射影为O,则O为△ABC的中心,连接OA,则OA=23×6×32=23,∴PO=PA2-OA2=62-(23)2=26.连接OQ,易知点Q在△ABC的边上及其内部,∴PO2+OQ2=PQ2,又∵PQ≤5,∴OQ≤1,易知点O到△ABC的边的距离大于4.AB[解析]直线AC和直线B1D1异面,过空间中任意一点有且仅有一条直线与直线AC,B1D1都垂直,故A正确;直线AC和直线B1D1异面,且直线AC与平面MB1D1不平行,直线B1D1与平面MAC也不平行,所以过点M有且仅有一条直线与直线AC,B1D1都相交,故B正确;因为M到AC的距离大于22AB=2AA1,M到B1D1的距离小于AA1,且AC=B1D1,所以△MAC和△MB1D1的面积不可能相等,故C错误;因为AC⊥平面MB1D1,AC⊂平面MAC,所以对任意M恒有平面MAC⊥平面MB1D1,故D错误.故选AB5.ACD[解析]以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),O(1,1,0),设点P(x,2,z),其中0<x<2,0<z<2.对于A选项,AC=(-2,2,0),D1O=(1,1,-2),则AC·D1O=-2+2=0,所以D1O⊥AC,故A正确;对于B选项,B1P=(x-2,0,z-2),若B1P∥D1O,则x-21=01=z-2-2,解得x=z=2,不符合题意,所以不存在点P,使得B1P∥D1O,故B错误;对于C选项,S△ADD1=12×22=2,点P到平面ADD1的距离为2,所以VA-DD1P=VP-ADD1=13×2×2=43,故C正确;对于D选项,OP=(x-1,1,z),若D1O⊥PO,5z2-4z+4=5z-252+165≥455,当且仅当z=25时,等号成立,因为C1D1⊥平面BB1C1C,C1P⊂平面BB1C1C,所以C1D1⊥C1P,所以S△C1D6.BCD[解析]对于A,连接DP,因为直线D1P与平面ABCD所成的角为π3,所以DP=1tanπ3=33,点P在以D为圆心,33为半径的圆上运动,所以点对于B,取正方形ABCD的中心O2,正方形A1B1C1D1的中心O1,连接O2O1,则O2O1的中点O为内切球球心,设G为内切球与平面A1BC1的切点,作出过B,D,D1,B1四点的截面如图,则OG⊥O1B,OG为球心到平面A1BC1的距离,易知O1B=62,O2B=22,O1O2=1,利用相似三角形的性质得OGO2B=OO1O1B,即OG22=1262,则OG=对于C,如图,易知直线CP与平面CDD1C1所成的角为∠PCD,当CP与点P的轨迹圆相切时,sin∠PCD最大,此时sin∠PCD=33,故C正确对于D,当MP最小时,点P为线段BD与圆的交点,将面D1AB沿D1B翻折到面BB1D1D所在平面上,使A到达B1的位置,翻折后的图形如图所示,当E,M,P三点共线时,MP+ME最小,因为O2P=22-33,O1O2=1,所以MP+ME的最小值为12+22-3327.53π6[解析]如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点A所在的三个面上,即平面AA1B1B、平面ABCD和平面AA1D1D上;另一类在不过顶点A的三个面上,即平面BB1C1C、平面CC1D1D和平面A1B1C1D1上.在平面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为A1E=2332-12=33,所以∠A1AE=π6,同理∠BAF=π6,所以∠EAF=π6,故弧EF的长为233×π6=3π9,而这样的弧共有三条.在平面BB1C1C上,交线为弧FG且在到球心的距离为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为BF=A1E=33,所以弧FG的长为8.2[解析]如图,取BC的中点E,连接AE,因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以AE⊥BC,AA1⊥平面ABC,又AE⊂平面ABC,所以AA1⊥AE,所以以A为原点,过点A且平行于BC的直线为x轴,AE所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,所以A(0,0,0),B(1,3,0),A1(0,0,2),设CD=t(0≤t≤2),则D(-1,3,t),所以AB=(1,3,0),A1B=(1,3,-2),BD=(-2,0,t).当t=0时,BD=(-2,0,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=x+3y-2z=0,n·BD=-2x=0,令z=3,则n=(0,2,3),设A到平面A1BD的距离为d1,则d1=|令a=1,则m=1,4-t3t,2t,设A到平面A1BD的距离为d243t2+16-8t+t2+123=2(t-1)2+63,所以当t=1时,d2取得最大值22=2.9.00,25[解析]取AN的中点E,连接ME,则∠PME或其补角是异面直线PM与DN所成的角.当点P与C1重合时,连接MC,∵DN⊥MC,DN⊥CC1,MC∩CC1=C,∴DN⊥平面M