全品高考备战2027年数学一轮学生用书10第56讲圆锥曲线热点问题第2课时最值与范围、证明问题【答案】作业手册

/第2课时最值与范围、证明问题/1.解:(1)设点P(x0,y0),M(x,y),则D(0,y0),因为点M为线段PD的中点,所以x=x又点P在圆O:x2+y2=4上,所以x02+y02=4,则(2x)2+y2=4,即x2+y24=1,因此点M的轨迹E的方程为(2)由已知可得Q(0,m),设点A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m).由y=kx+m,4x2+y2=4由已知可得Δ=4k2m2-4(k2+4)(m2-4)>0,得k2+4-m2>0,由根与系数的关系可得x1+x2=-2kmk2+4,x1x因为AQ=3QB,所以(-x1,-kx1)=3(x2,kx2),则-x1=3x2,即x1=-3x2,所以3(x1+x2)2+4x1x2=0,所以12k2m2(k2+4)2+4(m2-4)k2+4=0,可得k2m所以k2=4-m2m2-1,代入k2+4-m2>0得解得1<m2<4,因此m2的取值范围是(1,4).2.解:(1)由E(n,2)是C上一点,且|EF|=5,结合抛物线的定义,可得准线l的方程为y=-3,则焦点F的坐标为(0,3),则p2=3,解得p=6,所以抛物线C的方程为x2=12(2)由题可得过点F的直线l1的斜率存在.设过点F的直线l1的方程为y=kx+3,将直线l1的方程与抛物线方程联立,可得x2=12(kx+3),即x2-12kx-36=0,则Δ=144k2+144>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1x2=-36,则y1y2=(x1由抛物线的定义可得4|AF|+|BF|=4(y1+3)+y2+3=4y1+y2+15≥24y1y2+15=27,当且仅当4y1=y2,即y1=32(3)设P(x0,y0),M(x3,-3).由x2=12y得y=x212,所以y'=则抛物线C在P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=x06(x-x即x0x-6y-6y0=0.令x=0,得y=-y0,则Q(0,-y0),设N(x4,y4),则MN=(x4-x3,y4+3).又MP=(x0-x3,y0+3),MQ=(-x3,-y0+3),所以MP+MQ=(x0-2x3,6).因为MN=MP+MQ,所以x4-从而N(x0-x3,3),故N在定直线上,定直线方程为y=3.3.解:(1)设P(x,y),则d=|y|.由|OP|2=λ+μd2,得x2+y2=λ+μy2,即x2+(1-μ)y2=λ.若(λ,μ)曲线为双曲线,则λ≠0,所以x2+(1-μ)y2=λ可化为x2λ+(1-μ所以当λ≠0,且μ>1时,(λ,μ)曲线为双曲线.(2)方法一:当λ=1,μ=43时,x2+y2=1+43y2,即x2-y(i)由题意得B(-x0,-y0),D(-x0,y0),设点E(x',y'),由题知DE=13AD,则(x'+x0,y'-y0)=13(-2x得x'=-5所以直线BE的斜率kBE=2y0-23x0=-3y0x0,所以直线BG的方程为y即y=-3y0x0x由y=-3y0x0x-4y0,x2-y23=1,得9y02x02-3x2+24y02x0x+(16y02+3)=0,由直线BG与双曲线有2个交点,得9y02x02-3≠0,由根与系数的关系得xG·(-由x02-y023=1,可得y02=3x02-3,所以xG=16y02+33x0-9y02x0=16(3x02(ii)由(i)得k1=y0x0,k2-3-3y0x0+8y0x72y03x0-24x0y024y02因为x0>324,所以0<1x则k1=y0x0=31-1x02∈33,3,所以k方法二:当λ=1,μ=43时,x2+y2=1+43y2,即x2-y(i)由题意得B(-x0,-y0),D(-x0,y0),设点E(x',y'),由题知DE=13AD,则(x'+x0,y'-y0)=13(-2x0,0),所以则E-53x0,y0,所以直线BE的斜率kBE=2y0-23x0=-3y0设点G(x,y)(x<0,y>0),因为x2-y23=1,所以x2>所以x2y2>13,即同理y0x0<3,由x2-y23=1,x02-y023=1,两式作差得(x+x0)(x-x0)-13(y+y0)(y-y0)=0,将直线BG的方程代入并化简得(x-x0)+y0x0(y-y0)=0,所以(ii)由(i)中(x-x0)+y0x0(y-可得k1·k2=y0x0·由(i)得k1=y0x0∈33,3,所以k1+k2=k4.解:(1)由题意知a=2,因为椭圆M经过点1,所以14+34b2所以椭圆M的方程为x24+y2=1,离心率e=1-(2)证明:由题知直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y=kx+2k+2,B(x1,y1),C(x2,y2).由y=kx+2k+2,x2+4y2=4,消去y可得(1+4k2)x则由Δ>0得k<-38,所以x1+x2=-16k(k+1)1+4k由y=y1x1-