全品高考备战2027年数学一轮学生用书10第56讲圆锥曲线热点问题第2课时最值与范围、证明问题【正文】听课手册_第1页
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/第2课时最值与范围、证明问题/最值(范围)问题圆锥曲线中的最值问题类型较多,常见的最值问题类型有:求线段长度(弦长)最值、求三角形面积最值、求面积比最值、求线段长度比最值等.解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.例1如图,已知椭圆x212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0,12在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-12x(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;(2)求|CD|的最小值.

例2[2023·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点0,12的距离,记动点(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于33.

总结反思求解圆锥曲线最值(范围)的思维导图变式题[2025·安徽蚌埠三模]已知A(-2,0),B(2,0),F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足kPA·kPB=-34,动点P的轨迹为曲线τ,PF1交τ于另外一点Q,PF2交τ于另外一点(1)若|PF1(2)求△PQR面积的最大值.

证明问题圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,比如线段或角相等以及位置关系等.证明时,常把几何量用坐标表示,建立某个变量的函数,用代数方法证明.例3[2024·全国甲卷]设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,点M1,3(1)求C的方程.(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q.证明:AQ⊥y轴.

总结反思圆锥曲线中的证明问题常见的有:(1)位置关系方面:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等.(2)数量关系方面:如存在定值、相等、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算进行证明,但有时也会用反证法证明.变式题[2025·河南部分学校5月模拟]过点M(3,0)且斜率存在的直线l交抛物线C:y2=2px(p>0)于不同的两点A(xA,yA),B(xB,yB),且yAyB=-12.(1)求p;(2)已知☉M的半径为2,证明:对于抛物线C上的动点P(

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