全品高考备战2027年数学一轮学生用书10第67讲二项分布与超几何分布、正态分布【答案】听课手册

第67讲二项分布与超几何分布、正态分布●课前基础巩固【知识聚焦】2.(1)Cnkpk(1-p)n(2)npnp(1-p)3.(1)CMkC4.(1)正态密度曲线(2)①x=μ②x=μ④1(3)①X~N(μ,σ2)②μσ2【对点演练】1.6[解析]由随机变量X服从正态分布N(4,3),得μ=4,σ2=3,又P(X<a-5)=P(X>a+1),所以a-5+a+1=8,解得a=6.2.37[解析]∵该班有50名学生,∴从该班中任选2名学生共有C502种不同的选法,又15人选修A课程,另外35人选修B课程,∴2名学生选修不同课程的选法有C151C353.291[解析]每次摸取白球的概率为26=13,所以X~B3,13,则P(X=2)=C32×132×2314.③[解析]将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X,则X服从二项分布,①不满足题意;某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X,则X服从两点分布,②不满足题意;从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部,记选出女生的人数为X,则X服从超几何分布,③满足题意;盒中有4个白球和3个黑球,每次从中随机摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X,则X不服从超几何分布,④不满足题意.故填③.5.0.14[解析]因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.6.425110[解析]若采取放回简单随机抽样,则每次摸出的1个球是白球的概率为25,所以摸出的2个球都是白球的概率P1=C22×252=425.若采取不放回简单随机抽样,则摸出的2个球都是白球的概率P●课堂考点探究例1[思路点拨](2)①应用独立事件的乘法公式计算求解即可;②先根据对立事件求P(C),再结合二项分布分别求出概率,写出分布列进而得出数学期望即可.(1)ACD[解析]设事件A=“向右下落”,则A=“向左下落”,P(A)=P(A)=12,易知小球最后落入格子的号码X与事件A发生的次数有关,设事件A发生的次数为Y,则X=Y,因为小球下落的过程中共碰撞小木钉5次,所以Y~B5,12.对于A,P(X=0)=P(Y=0)=1-125=132,故A正确;对于B,P(X=5)=P(Y=5)=125=132,故B错误;对于C,E(X)=E(Y)=5×12=52,故C正确;对于D,D(X(2)解:①设事件=“在一次抽检中抽到的第i件产品为一等品”,i=1,2,事件Bi=“在一次抽检中抽到的第i件产品为二等品”,i=1,2,事件C=“在一次抽检后,设备不需要调整”,则C=A1A2+A1B2+B1A2.由已知得P()=0.9,P(Bi)=0.05,i=1,2,故P(C)=P(A1A2)+P(A1B2)+P(B1A2)=0.92+2×0.9×0.05=0.9.②依题意得,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,由①知一次抽检后,设备需要调整的概率为P(C)=1-0.9=0.1,依题意知X~B(3,0.1),则P(X=k)=C3k×0.1k×0.93-k(故X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001所以E(X)=3×0.1=0.3.变式题(1)B[解析]由题意知X~B(10,0.9),可得D(X)=10×0.9×(1-0.9)=10×0.9×0.1=0.9.由随机变量Y=2X+3,得D(Y)=D(2X+3)=22D(X)=4×0.9=3.6.故选B.(2)(i)在抽取的60名学生中,男生中成绩在[80,90)内的有8人,在[90,100]内的有2人,女生中成绩在[80,90)内的有4人,在[90,100]内的有2人,所以成绩在80分及以上的学生共有8+2+4+2=16(人).从这16人中随机抽取2人的方法有C162=16×15要满足恰好男、女学生各1名,且2人分数段不同,可分为两种情况:男生从成绩在[80,90)内的学生中选,女生从成绩在[90,100]内的学生中选,有C81×男生从成绩在[90,100]内的学生中选,女生从成绩在[80,90)内的学生中选,有C21×C所以满足条件的选法共有16+8=24(种).根据古典概型的概率公式,所求概率P=24120=1(ii)由题得X的可能取值为0,1,2,3,4,从参赛的男生中随机抽取1人,成绩在80分及以上的概率为8+230=1所以X服从参数为n=4,p=13的二项分布,即X~B4根据二项分布的概率公式,可得P(X=0)=C40130×1-134=234=1681,P(P(X=2)=C42132×1-132=6×19×49=2481=827,P(X=3)=C43133×1-13X01234P1632881所以E(X)=4×13=4(iii)因为抽取的女生共有30人,所以a+b+12+4+2=30,即a+b=12.当数据越集中时方差越小,所以当a=0,b=12时,抽取的女生成绩的方差最小.例2[思路点拨](1)由题意可知,从这批苹果中随机选出1箱,选到A级苹果的概率为35,选到非A级苹果的概率为25,进而由二项分布即可求解;(2)由题意可得A级苹果选取6箱,B,C解:(1)设事件M=“至少选到2箱A级苹果”,由题意知从这批苹果中随机选出1箱,选到A级苹果的概率为610=35,选到非A级苹果的概率为3+110=25,所以P(M)=C32352×251+C(2)因为用比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A,B,C三个等级苹果中选取10箱苹果,所以A级苹果选取6箱,B,C级苹果共选取4箱,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C60C43C103=4120=130,P(X=2)=C62C41P(X=3)=C63C40所以X的分布列为X0123P1311E(X)=0×130+1×310+2×12+3×1变式题解:(1)设甲正确完成面试题的道数为X,乙正确完成面试题的道数为Y,则X的所有可能取值为1,2,3,Y的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=1)=C22C41C63=15,P(X=2)=C21所以X的分布列为X123P131E(X)=1×15+2×35+3×1P(Y=0)=C30×230×133=127,P(Y=1)=CP(Y=2)=C32×232×13=49,P(Y=3)=C33×Y0123P1248E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×(2)由(1)得D(X)=15×(1-2)2+35×(2-2)2+15×(3-2)2D(Y)=127×(0-2)2+29×(1-2)2+49×(2-2)2+827×(3-2)2=23,因为D(X)<例3[思路点拨](1)根据给定的正态密度曲线,结合正态曲线的对称性和性质,逐项判断即可.(2)①根据条件得到P(1.97≤X≤2.03)≈0.9973,即可求解;②根据条件,求出P(1.98≤X<1.99)和P(2≤X≤2.02),再利用相互独立事件同时发生的概率公式,即可求解.(1)BCD[解析]对于A,因为X~N(μ1,62),所以D(X)=36,故A错误;对于B,由图知30=μ1<μ2=34,故B正确;对于C,因为σ1=6,σ2=2,所以P(X≤38)<P(X≤μ1+2σ1)=P(Y≤μ2+2σ2)=P(Y≤38),故C正确;对于D,因为σ1=6,σ2=2,所以P(X≤36)=P(X≤μ1+σ1)=P(Y≤μ2+σ2)=P(Y≤36),故D正确.故选BCD.(2)解:①由已知得,μ=2,σ=0.01,所以P(1.97≤X≤2.03)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973,所以长度在[1.97,2.03]内的圆钢根数约为10000×0.9973=9973.②从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取1根,长度在区间[1.98,1.99)内的概率P1=P(1.98≤X<1.99)=P(μ-2σ≤X<μ-σ)=12[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈0.1359,长度在区间[2,2.02]内的概率P2=P(2≤X≤2.02)=P(μ≤X≤μ+2σ)=12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0故从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取2根,其中1根的长度在区间[1.98,1.99)内,另1根的长度在区间[2,2.02]内的概率为2P1P2≈2×0.1359×0.47725≈0.13.变式题(1)BC(2)AD[解析](1)由题可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).对于A,P(X>2)=P(X>μ+2σ)<P(X>μ+σ)≈1-0.8413=0.1587,故A错误;对于B,P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,故B正确;对于C,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,故C正确;对于D,P(Y>2)=P(Y>μ-σ)=P(Y<μ+σ)≈0.8413>0.8,故D错误.故选BC.(2)对于A,由题意得μ=0.48×150=72,σ=24,∴此次考试的平均分为72分