全品高考备战2027年数学一轮学生用书03第43讲直线、平面平行的判定与性质【正文】听课手册

第43讲直线、平面平行的判定与性质【课标要求】1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理.

2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.1.线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与的一条直线平行,那么该直线与此平面平行

a⊄α,a∥α性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面,那么该直线与交线平行

a∥α,a∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条与另一个平面平行,那么这两个平面平行

a⊂β,β∥α(续表)文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面,那么两条平行

α∥β,a∥b常用结论1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.2.三种平行关系的转化:线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.题组一常识题1.[教材改编]已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线有条.

2.[教材改编]下列说法中,与“直线a∥平面α”等价的是.(填序号)

①直线a上有无数个点不在平面α内;②直线a与平面α内的所有直线平行;③直线a与平面α内无数条直线不相交;④直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.3.[教材改编]如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=.

题组二常错题◆索引:对面面平行判定定理的条件“平面内两条相交直线”认识不清致误;对空间平行关系的相互转化条件理解不够致误.4.下列条件中,能判断两个平面平行的是.(填序号)

①一个平面内的一条直线平行于另一个平面;②一个平面内的两条直线平行于另一个平面;③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面;④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面.5.如图是长方体被一平面截后得到的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.

6.已知两直线m,l与平面α,请看①②两个推理过程:①m⊂α,l∥m,⇒l∥α;②l∥m,m∥平行关系的基本问题例1(1)[2025·湖南湘西自治州调研]设α,β是两个不同的平面,α∩β=l,m是异于l的一条直线,则“m∥l”是“m∥β且m∥α”的 ()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2025·江西上饶调研]设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个说法中正确的是 ()A.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊄α,b⊂α,a∥b,则a∥αD.若a∥α,b⊂α,则a∥b总结反思解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:(1)判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形进行判断;(3)举反例否定结论.变式题如图是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列结论正确的是 ()①BM∥平面ADE;②CN∥平面ABF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.A.①②③④ B.①②③C.①②④ D.②③④线面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2,CD=4,E为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.

总结反思判断或证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).③利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β).④利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).变式题[2026·宁波一模]如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,且PA=AD=2BC,E为CD的中点,F为棱PD上的点,且PF=3FD.证明:EF∥平面PAB.

角度2直线与平面平行的性质例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,过A,B1,E的平面截此正方体,得到如图所示的多面体,F为棱CC1上的一点.若点H在棱BC上,当CH=14CB时,FH∥平面AEB1,试确定动点F在棱CC1上的位置,并说明理由

总结反思应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.变式题[2025·河南安阳模拟]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱BB1上,且BD=23BB1,M,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点N在棱CC1上,若MN∥平面CDE,则C1NCN=A.57 B.C.23 D.面面平行的判定与性质例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,O为AC与BD的交点.(1)求证:A1O∥平面B1CD1;(2)求证:平面A1BD∥平面B1CD1.

总结反思(1)证明面面平行的常用方法:①利用面面平行的判定定理.②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β).③利用面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).(2)当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线.变式题如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,BC∥AD,BC=12AD,平面PBC∩平面PAD=l,E是PD的中点(1)求证:l∥AD.(2)若M是线段CE上的一个动点,则棱AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB?若存在,求出点N的位置;若不存在,请说明理由.

平行关系的综合应用例5如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,SA=2AB=2,P为棱SD上的动点.(1)求正四棱锥S-ABCD的表面积.(2)若直线SB∥平面ACP,求证:P为棱SD的中点.(3)若SP=3PD,棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,请说明理由

总结反思对于平行关系的综合问题,经常反复利用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理,不断地在“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间转化.变式题如