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第20讲利用导数研究函数的零点1.与函数的零点有关的等价关系(1)方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(2)函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点⇔方程F(x)=f(x)-g(x)=0有实数根⇔方程组y1=f(x),y2=g(x)有实数根⇔函数y12.导数在函数零点问题上的应用(1)零点数量;(2)零点位置;(3)已知函数零点求参数.判断、证明或讨论函数零点的个数例1(1)已知函数f(x)=14ex-x,探究f(x)的零点个数(2)已知函数f(x)=lnx-12ax2(a∈R),讨论函数f(x)在区间[1,e2]上零点的个数

总结反思1.确定函数零点个数的方法(1)数形结合法:利用导数研究该函数的单调性、极值(最值),并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象,数形结合求解函数零点的个数.解决问题的步骤是“先形后数”.(2)利用函数零点存在定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.2.熟悉一些函数的变化趋势与增长快慢(1)当x趋于+∞时,常见函数(部分举例)趋于正无穷的速度由快到慢依次为e2x,ex,x2,x,x(2)当x趋于0+时,常见函数(部分举例)趋于负无穷的速度由快到慢依次为-1x3,-1x2,-1(3)当x趋于-∞时,常见函数(部分举例)趋于零的速度由快到慢依次为e2x,ex,1x2,-变式题1函数f(x)=xex-ex-1的零点个数为 ()A.0 B.1C.2 D.3变式题2[2025·江南十校3月联考]已知函数f(x)=1-asinx-cos2x,a∈R.若函数g(x)=f(x)-fπ2+x,讨论函数g(

根据零点个数确定参数范围角度1分类讨论法研究函数零点问题例2[2022·全国乙卷]已知函数f(x)=ax-1x-(a+1)ln(1)当a=0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.

总结反思分类讨论对于学生来说比较熟悉,可以直接求导,但是当一阶导的零点不可求时,需要二阶求导.变式题[2025·湖北黄冈模拟]已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:函数f(x)在R上单调递增;(2)若函数f(x)有三个零点,求a的取值范围.

角度2利用分离参数+数形结合例3已知a>0且a≠1,函数f(x)=xaax((1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.

总结反思1.分离参数的思路在函数导数问题中应用广泛,它使得转化后的函数没有参数,只要能研究清楚这个函数的单调性和图象,问题就变得简单.2.若分离参数后的函数太复杂,没办法很快得到函数的单调性和性质,此时可以构造函数,将一个函数转化为易求导的不含参函数与含参的一次函数,或者转化为较为熟悉的两个曲线.变式题[2026·漳州质检

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