全品高考备战2027年数学一轮学生用书10第29讲多三角形背景下解三角形【答案】听课手册

第29讲多三角形背景下解三角形●课堂考点探究例1[思路点拨](1)在△ABC中利用正弦定理求出AC,再利用两角和的正弦公式求出sin∠BAC,然后利用三角形的面积公式可求得结果.(2)思路一:由题意可得CE=13CA+23CD,所以CE2=19(CA2+4CD2+2CA·2CD),代值计算即可;思路二:在△ADC中利用余弦定理求出AD,则可求得DE,再在△ADC中利用正弦定理求出sin解:(1)在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,即3sin60°=因为∠ABC=45°,∠ACB=60°,所以∠BAC=180°-45°-60°=75°.因为sin∠BAC=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=22×32+22×12=6+24,所以S△ABC=12AB·AC·sin∠BAC=12(2)方法一:因为E为线段AD上靠近D的三等分点,所以AE=23AD,所以CE=CA+AE=CA+23AD=CA+23(CD-CA)=13CA+23CD,所以CE2=19(CA2+4CD2+2CA·2CD方法二:在△ADC中,由余弦定理得AD2=CA2+CD2-2CA·CDcos∠ACD=2+8-2×2×22×cos120°=14,可得AD=14,因为E为线段AD上靠近D的三等分点,所以DE=143因为ACsinD=ADsin∠ACD,所以2sinD=14sin120cosD=1-sin2D=1-328=527.在△CDE中,由余弦定理得DEcosD=8+149-2×22×143×527=269变式题解:(1)由已知及正弦定理得sinBsinB+C2=sinA因为sinB>0,所以sinB+C2=sinA,即cosA2=sinA=2sin又因为A2∈0,π2,所以sinA2=1(2)由DC=2DB知,AD=13AC+23AB,则|AD|2=19|AC|2即4=19b2+49c2+29bc,化简得b2+4c2+2在△ACD中,由余弦定理得cos∠ADC=8-b28,在△ABD中,由余弦定理得cos∠由cos∠ADB+cos∠ADC=0,得2c2+b2=18,则2(2c2+b2)=4c2+b2+2bc,化简得b=2c,则(2c)2+4c2+2×2c×c=36,即c2=3,可得c=3,则b=23,所以S△ABC=12bcsin∠BAC=3例2[思路点拨](1)由已知条件结合余弦定理,求出cosB,可得B;(2)根据角平分线的性质得c=2a,结合余弦定理解出a,c的值,由S△ABC=S△ABD+S△DBC列出等式,即可求解BD的长度.解:(1)因为(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0,所以b2-(a-c)2-3ac=0,所以-ac=a2+c2-b2,所以cosB=a2+c2-b22ac=-(2)因为AD=2DC=273,所以b=7.因为BD平分∠ABC,所以ca=ABBC=ADDC=2,即c=2a,又由(1)知-ac=a2+c2-b2,所以因为S△ABC=S△ABD+S△DBC,所以12acsinB=12a·BDsinB2+12整理得BD=aca+c变式题解:(1)由cosB=79,得cos2B2=1+cosB2=1+792=89,因为cos所以B2∈0,π4,则cosB2=223.因为BD平分内角B,所以在△BCD中,由余弦定理得CD2=BD2+a2-2BD·a·cosB2=18+16-2×3(2)由(1)知cosB2=223,则sinB2=1-cos2B2=13因为BD平分内角B,且S△ABC=S△ABD+S△CBD,所以12acsinB=12c·BD·sinB2+12a·BD·sinB2,则12×4c×429=12c×32×13+12×4×32×13,解得c=367,所以S△ABC=例3[思路点拨](1)思路一:将原式变形,再利用余弦定理并结合角的范围即可求出;思路二:将原式变形,再利用正弦定理与余弦定理并结合角的范围化简求解.(2)利用余弦定理将BD2AB2用CD表示出来,再利用均值不等式确定BD2AB2解:(1)方法一:因为AB2+AC2-BC2AC=2AC-3BC,所以AB2+AC2-BC2=2AC2-3BC·AC,则在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=BC2+AC2-AB所以∠ACB=π6方法二:因为AB2+AC2-BC2AC=2AC-3BC,所以A所以2sin∠ACBcos∠BAC=2sin∠ABC-3sin∠BAC,将sin∠ABC=sin(∠ACB+∠BAC)代入上式,整理得2cos∠ACBsin∠BAC=3sin∠BAC,由题意可得sin∠BAC≠0,所以cos∠ACB=32.因为∠ACB∈所以∠ACB=π6(2)由(1)可得∠ACB=π6,因为AC平分∠BCD,所以∠BCD=π因为BC=1,AC=CD,所以在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=1+CD2-CD,在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos∠ACB=1+AC2-3AC=1+CD2-3CD,所以BD2AB2=1+CD2-当且仅当CD=1时,等号成立,此时BD2A故当BDAB取得最大值时,AC=CD=1变式题解:(1)∵bcosC+3csinB=a+2c,∴在△ABC中,由正弦定理得sinBcosC+3sinCsinB=sinA+2sinC,又sin(B+C)=sin(180°-A)=sinA,∴sinBcosC+3sinCsinB=sin(B+C)+2sinC=sinBcosC+cosBsinC+2sinC,即3sinCsinB-cosBsinC=2sinC.∵0°<C<180°,∴sinC≠0,∴3sinB-cosB=2,即sin(B-30°)=1,又0°<B<180°,∴B-30°=90°,即B=120°.(2)∵AC=AD,∴设∠DCA=∠CDA=α,则∠CAD=180°-2α.