全品高考备战2027年数学一轮备用题库08增分微练8圆锥曲线中的轨迹问题【答案】作业手册

增分微练8圆锥曲线中的轨迹问题1.D[解析]设P(x,y),如图,连接CP,由线段MN的中点为P,得CP⊥MN,即CP⊥AP,所以CP·AP=0.因为A(-3,-4),C(3,4),所以AP=(x+3,y+4),CP=(x-3,y-4),所以(x+3)(x-3)+(y+4)(y-4)=0,即x2+y2=25,所以点P的轨迹是以(0,0)为圆心,半径为5的圆在圆C内的部分.故选D.2.D[解析]设点M(x,y),则直线AM的斜率为yx+3,直线BM的斜率为yx-3,由题意知yx+3·yx-3=23(x≠±3),化简得x29-y26=1(x≠±3),所以点3.B[解析]设动点A(xA,yA)与定点B(3,0)连线的中点为P(x,y),则xA+32=x,yA+02=y,即xA=2x-3,yA=2y.因为点A在圆x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即4x2-124.D[解析]设点M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),则|AB|=x02+y02=2,可得x02+y02=4.因为点A关于点B的对称点为M,所以B代入x02+y02=4,可得x2+y24=4,即x24+y216=1,故点M5.D[解析]对于曲线C上的任意点(x,y),点(-x,-y)也在曲线C上,选项A中结论正确;由x2+2xy+5y2=1得(x+y)2+4y2=1,所以4y2≤1,所以|y|≤12,选项B中结论正确;由(x+y)2+4y2=1,可设x+y=cosθ,2y=sinθ,所以x+2y=cosθ+12sinθ=52sin(θ+φ),其中tanφ=2,所以|x+2y|≤52,选项C中结论正确;令x=1,则2y+5y2=0,则点1,-25在曲线C上,但点1,-26.D[解析]设点P的坐标为(x,y),因为A(2,0),B(0,6),动点P满足OP=λOA+μOB,所以(x,y)=λ(2,0)+μ(0,6),得x=2λ,y=6μ.因为|λ|+|μ|=1,所以|x|2+|y|6=1,即点P的轨迹方程为|x|2+|y|6=1.当x≥0,y≥0时,方程为3x+y-6=0;当x≥0,y<0时,方程为3x-y-6=0;当x<0,y≥0时,方程为3x-y+6=0;当x<0,y<0时,方程为3x+y+6=0.所以点P的轨迹如图所示,且kAB=kCD=-3,kBC=kAD=3,AC⊥BD,所以点P的轨迹为菱形,所以A,C错误.原点O到直线AB的距离d=610<2,所以B错误.点P的轨迹所围成的图形的面积为4×17.C[解析]由题意可得|PA||PB|=2,设P(x,y),则(x+2)2+y2(x-4)2+y2=4,化简得x2+y2-12x+20=0,即(x-6)2+y2=16,故“完美曲线”表示圆心为(6,0),半径r=4的圆.对于①,y=3ln3∈[-4,4],故直线y=3ln3与“完美曲线”有交点;对于②,联立y2=3x与x2+y2-12x+20=0,可得x2-9x+20=0,解得x=4或x=5,故曲线y2=3x与“完美曲线”有交点;对于③,圆心(6,0)到直线8y-x+6=0的距离d=082+(-1)2=0,故直线与圆相交,即直线8y-x+6=0与“完美曲线”有交点;对于④,(x-2)2+(y-3)2=2表示圆心为(2,3),半径R=2的圆,则两圆的圆心距为42+(3)28.A[解析]由QP·PB=0,可得QP⊥PB,由QP=λQA|QA|+QB|QB|,可知点P在∠BQA的平分线上.圆x2+y2=1的圆心为原点O,半径r=1.如图,当Q在y轴右侧时,延长BP交AQ于点C,连接OP,因为∠PQB=∠PQC且PQ⊥BC,所以|QB|=|QC|,且P为BC的中点.又O为AB的中点,所以OP∥AC,且|OP|=12|AC|,所以|QA|-|QB|=|QA|-|QC|=|AC|=2|OP|=2<|AB|=4,同理得Q在y轴左侧的情况,故点Q在以A,B为焦点的双曲线上.设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),可知c=2,即a2+b2=c2=4.由2a=||QA|-|QB||=2,得a=1,故9.D[解析]对于A,结合曲线C:(x2+y2)2=9(x2-y2),将(-x,-y)代入,方程不变,故曲线C关于原点对称,A错误;对于B,令y=0,则(x2)2=9x2,解得x=±3或x=0,令x=±1,则(1+y2)2=9(1-y2),解得y2=-11+1532<1,令x=±2,则(4+y2)2=9(4-y2),解得y2=-17+3692<2,故曲线C经过的整点只有(0,0),(3,0),(-3,0),B错误;对于C,直线y=kx与曲线C:(x2+y2)2=9(x2-y2)必有公共点(0,0),因此若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则(x2+y2)2=9(x2-y2),y=kx只有一个解x=0,即x4(1+k2)2=9x2(1-k2)只有一个解x=0,即当x≠0时,x4(1+k2)2=9x2(1-k2)无解,故1-k2≤0,解得k≤-1或k≥1,故实数k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞),C错误;对于D,由(x2+y2)2=9(x2-y2),可得x10.ABD[解析]对于A选项,原图中的圆环不可解开,则无法无损伤地变为一个圆,即A选项无法无损伤地得到题干中的绳结;对于D选项,为三个圆环,不是一根绳,即D选项无法无损伤地得到题干中的绳结;对于B,C选项,把选项C中下方的部分向上翻,就可以无损伤地得到题干中的绳结,选项B无法无损伤地得到题干中的绳结.故选ABD.11.ABD[解析]对于A,若α=0,则曲线C:x2=1,即x=±1,C为两条直线,故A正确.对于B,若C为圆,则cosα=-sinα>0,由cosα=-sinα,α∈-π2,π2,可得tanα=-1,则α=-π4,此时曲线C:x2+y2=2,即C为圆,故B正确.对于C,若C为椭圆,则cosα>0,-sinα>0,且cosα≠-sinα,所以α∈-π2,-π4∪-π4,0.x2cosα-y2sinα=1可化为x21cosα+y21-sinα=1,若1cosα>1-sinα,即tanα<-1,即α∈-π2,-π4,则椭圆C的离心率e=1-1-sinα1cosα=1+cosαsinα=1+1tanα,当α∈-π2,-π4时,y=1+1tanα单调递减,故C错误.对于D,当α∈-π2,π12.x29+2y29=1(x≠±1)[解析]因为点M的坐标为(-1,2),且OM+ON=0,所以N(1,-2).设P(x,y),则kMP=y-2x+1,kNP=y+2x-1,且x≠±1.由题意得y-2x+1·13.x2+y2-2x-3=0[解析]设M(x,y),由|MA|2+|MO|2=10得(x-2)2+(y-0)2+x2+y2=10,化简得x2+y2-2x-3=0,即点M的轨迹方程是x2+y2-2x-3=0.14.5[解析]设P(x,y),当y≥2时,|PF|+y-2=6,所以x2+(y+2)2=8-y,化简得x2=60-20y,y∈[2,3],即y=-120x2+3,y∈[2,3];当y<2时,|PF|+2-y=6,所以x2+(y+2)2=4+y,整理得x2=4y+12,y∈[-3,2),即y=14x2-3,y∈[-3,2).作出曲线C与直线x=-5,如图,点T在直线x=-5上.连接TF.对于曲线C上任意一点P,|PF|+|PT|≥|TF|,当且仅当P是线段TF与曲线C的交点时取等号.因为|TF|=25+(t+2)2≥5,所以|PF|+|PT