全品高考备战2027年数学一轮学生用书03第24讲和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式【正文】听课手册

第24讲和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式【课标要求】1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦公式sin(α+β)=;

sin(α-β)=.

(2)两角和与差的余弦公式cos(α+β)=;

cos(α-β)=.

(3)两角和与差的正切公式tan(α-β)=;

tan(α+β)=.

2.辅助角公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ),其中sinφ=ba3.二倍角公式(1)sin2α=;

(2)cos2α=,cos2α=,cos2α=;

(3)tan2α=.

4.半角公式(1)公式Sα2:sinα2(2)公式Cα2:cosα2(3)公式Tα2:tanα2符号由α2的终边所在象限决定5.三角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名称:使用诱导公式.(2)升幂、降幂:使用倍角公式及其变形.(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tanπ4(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.常用结论(1)两角和与差的正切公式的常用变形tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);tanαtanβ=1-tanα+tanβtan(2)降幂公式:cos2α=1+cos2α2;sin2α=(3)升幂公式:1-cosα=2sin2α2;1+cosα=2cos2α1±sinα=sinα(4)万能公式:sinα=2tanα21+tan2α2,cosα题组一常识题1.[教材改编]cos72°cos12°+cos18°sin12°=.

2.[教材改编]若tanθ=2,则tanθ+π4=,tan2θ3.[教材改编]若cos(π-α)=45,α是第三象限角,则sinα-π4=,sin2α=,cos24.[教材改编]已知α,β满足(1+tanα)(1-tanβ)=2,则tan(β-α)=.

题组二常错题◆索引:已知角与待求角之间的关系不清致误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号致误;已知三角函数值求角时角的取值范围不清致误.5.已知sinπ6-α=23,则cos6.计算:1-tan15°7.已知α,β均为锐角,且tanα=7,tanβ=43,则α+β=.公式的基本应用例1(1)[2024·新课标Ⅰ卷]已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α-β)= ()A.-3m B.-mC.m3 D.3(2)[2025·全国二卷]已知0<α<π,cosα2=55,则sinα-π4A.210 B.C.3210 D(3)已知cosα+sinα=74,且α∈π2,3π2总结反思1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,达到统一角和角与角之间互相转换的目的.2.使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.变式题(1)[2023·新课标Ⅱ卷]已知α为锐角,cosα=1+54,则sinα2= A.3-58 C.3-54 (2)[2026·哈尔滨三中阶段练]若α+β=-π4,则(1-tanα)(1-tanβ)= (A.2 B.3C.-2 D.-3(3)设tanα,tanβ是方程x2+px+p-1=0(p>2)的两根,则sin(α+公式的逆用及变形例2(1)[2025·沧州“五个一”名校二联]已知角α,β满足(2-tanα)(2+tanβ)=5,则tan(α-β)= ()A.-13 B.-C.-2 D.-3(2)[2022·新高考全国Ⅱ卷]若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sinβ,则 A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1(3)(多选题)下列选项中,值为1的是 ()A.4sin15°cos15°B.2(cos46°cos14°-sin46°sin14°)C.1+tan15D.8cos20°cos40°cos80°总结反思两角和与差的三角函数公式活用技巧:①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式;②tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.变式题(1)[2025·杭州一模]已知1sin10°-λcos10°=4,则λ=A.1 B.2C.3 D.2(2)[2025·广州一模]已知cosαsin(α-β)-sinαcos(β-α)=35,则sinβ=角的变换问题例3(1)已知α,β∈(0,π),且cosα=55,sin(α+β)=210,则cosβ= (A.1010 B.-C.91050 D.(2)[2025·郑州二模]若tan(α-β)=3,tan2α-tan2A.-12 B.C.-319 D.-总结反思三角函数求值中变角的解题思路:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.常用的拆角、配角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α