全品高考备战2027年数学一轮学生用书10第13讲函数的图象【正文】听课手册

第13讲函数的图象【课标要求】1.掌握基本初等函数的图象特征,能熟练运用基本初等函数的图象解决问题.

2.掌握图象的作法:描点法和图象变换.

3.会运用函数的图象理解和研究函数性质.1.描点法作图基本步骤是列表、描点、连线,具体为:首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点).最后:描点、连线.2.图象变换(1)平移变换(2)对称变换y=f(x)的图象y=的图象;y=f(x)的图象y=的图象;

y=f(x)的图象y=的图象;

y=ax(a>0且a≠1)的图象y=(a>0且a≠1)的图象.

(3)伸缩变换y=f(x)的图象y=f(ax)的图象;y=f(x)的图象y=Af(x)的图象.(4)翻折变换y=f(x)的图象y=的图象;

y=f(x)的图象y=的图象.

常用结论1.左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,那么需要把系数提出来,再进行变换.2.上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.3.函数图象的对称性(1)函数图象自身的轴对称若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b(2)函数图象自身的中心对称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x).(3)两个函数图象之间的对称关系①函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a2对称(由a+x=b②函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.题组一常识题1.[教材改编]已知a>0且a≠1,则函数y=logax与函数y=log1a对称.

2.[教材改编]已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=1ax的图象关于直线3.[教材改编]已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数是.

(1)y=f(|x|);(2)y=|f(x)|;(3)y=f(-|x|);(4)y=-f(|x|).题组二常错题◆索引:函数图象的几种变换记混致错.4.将函数f(x)=(2x+1)2的图象向右平移一个单位长度,再把所得图象向上平移两个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为.

5.把函数f(x)=lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是.

作函数的图象例1作出下列函数的图象:(1)y=12|x|;(2)y=|log2(x+1)|;(3)

总结反思为了正确地作出函数的图象,除了掌握“列表、描点、连线”的方法之外,还要做到以下两点:(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,以及形如y=x+1x的函数图象(2)掌握常用的图象变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程.变式题作出下列函数的图象:(1)y=|sinx|;(2)y=2x+1-1;(3)y=sin|x|.

识图与辨图的常见方法例2(1)[2025·湖南长郡中学一模]函数f(x)=x3+sinxex A B C D(2)函数f(x)=xlnx的图象如图所示,则函数y=f(1-x)的大致图象为 () A B C D(3)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为 ()A.f(x)=-2B.f(x)=-2C.f(x)=-2D.f(x)=-2总结反思1.识别函数图象的常见方法:(1)利用函数的值域和定义域判断;(2)利用函数的性质,如奇偶性、对称性、单调性等判断;(3)利用函数的特殊点(如零点、极值点、特殊函数值点)或者极限思想等判断.2.通过图象变换识别函数图象要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数的图象);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换等.变式题(1)函数f(x)=xln(x2+1)的大致图象为 () A B C D(2)已知函数f(x)的图象如图所示,则y=f(|x+1|)的大致图象是 () A B C D以函数图象为背景的问题微点1研究函数的性质例3(多选题)某学习小组在研究函数f(x)=1|x|-2的性质时,得出了如下结论,其中正确的结论是A.函数f(x)的图象关于点(2,0)对称B.函数f(x)在(-2,0)上单调递增C.函数f(x)在[0,2)上的最大值为-1D.方程f(x)-x=0有2个不同实根总结反思一般根据函数图象研究函数的性质有以下三方面:一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图象上升与下降的情况,确定单调性.微点2解不等式例4若关于x的不等式4ax-1<3x-4(a>0,且a≠1)对任意的x>2恒成立,则a总结反思当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难但其对应函数的图象可作出时,常结合图象,利用数形结合思想求解.微点3求参数的取值范围例5已知函数y=ex和y=lnx的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,则 ()A.a>b B.a+b<2 C.ab>1 D.a2+b2>2总结反思当参数的不等关系不易找出时,可将不等式或方程的两边转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象确定参数的取值范围.1.已知函数f(x)=3x-2x-1,则不等式f(x)<0的解集是 ()A.(0,1) B.(0,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞)2.(多选题)对于函数