全品高考备战2027年数学一轮学生用书03第18讲导数与函数的极值、最值【正文】听课手册

第18讲导数与函数的极值、最值【课标要求】1.借助函数的图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.

2.能利用导数求某些函数的极大(小)值、最大(小)值.

3.对于多项式函数,能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值.

4.体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值的作用.1.函数的极值(1)函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧,右侧.则a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.

(2)函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧,右侧.则b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么f(x)必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最小值为,最大值为;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为,最小值为.

3.实际应用题理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.常用结论利用导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值的关系如下:不等式类型与最值的关系∀x∈[a,b],f(x)>Mf(x)min>M,x∈[a,b]∀x∈[a,b],f(x)<Mf(x)max<M,x∈[a,b](续表)不等式类型与最值的关系∃x0∈[a,b],f(x0)>Mf(x)max>M,x∈[a,b]∃x0∈[a,b],f(x0)<Mf(x)min<M,x∈[a,b]∀x1,x2∈[a,b],f(x1)-f(x2)<Mf(x)max-f(x)min<M,x∈[a,b]∀x∈[a,b],f(x)>g(x)[f(x)-g(x)]min>0,x∈[a,b]∀x∈[a,b],f(x)<g(x)[f(x)-g(x)]max<0,x∈[a,b]∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)f(x1)min>g(x2)max,x1∈[a,b],x2∈[c,d]∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)f(x1)min>g(x2)min,x1∈[a,b],x2∈[c,d]∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)f(x1)max>g(x2)max,x1∈[a,b],x2∈[c,d]∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)f(x1)max>g(x2)min,x1∈[a,b],x2∈[c,d](注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应与最值的关系对应的不等号也改变)题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为.

2.[教材改编]函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是.

3.[教材改编]将一段长为100cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,另一段弯成圆.为了使正方形与圆的面积之和最小,则弯成圆的铁丝的长是cm.

题组二常错题◆索引:混淆极值与极值点的概念;忽视连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;混淆恒成立与能成立问题.4.函数f(x)=lnx+1x的极值点为;函数g(x)=(x-1)3的极值点(填“存在”或“不存在”).5.已知函数g(x)=x2,则g(x)在[1,2]上的最小值和最大值分别是;g(x)在(1,2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”).

6.对任意实数x,若不等式sinx≤a恒成立,则实数a的取值范围是;若存在实数x,使不等式sinx≤a成立,则实数a的取值范围是.

利用导数解决函数的极值问题微点1由图象判断函数极值例1(多选题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 ()A.函数f(x)有极大值f(-2)B.函数f(x)有极大值f(2)C.函数f(x)有极小值f(1)D.函数f(x)有极小值f(2)总结反思可导函数在极值点处的导数一定为零,是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.微点2已知函数求极值例2(1)[2025·泰州四调节选]已知函数f(x)=x3-2x2-4x+2,若h(x)=f(x)-(3m-2)x2-(9m2-4)x-2(m≠0),求h(x)的极大值.(2)已知函数f(x)=alnx-2x+12x2(x>0),讨论函数f(x)的极值点个数

总结反思求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.微点3已知极值求参数例3(1)[2025·全国二卷]若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=.

(2)已知函数f(x)=2ax-x+1ex有两个极值点,则实数a总结反思根据函数的极值情况求参数的两个要领:①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.②验证:求解后验证根的合理性.1.[2025·常州期末]若函数f(x)=x33-ax2+(2a2-4)x-3在x=2处取得极小值,则实数a= (A.-2 B.2C.2或0 D.02.(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷]若函数f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有极大值也有极小值,则 A.bc>0 B.ab>0C.b2+8ac>0 D.ac<03.已知函数f(x)=xlnx-12ax2-x恰有2个极值点,则实数a的取值范围为利用导数解决函数的最值问题例4已知函数f(x)=lnx+ax,a∈R(1)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是32,求a(2)讨论f(x)在[1,e]上的最大值.

总结反思(1)连续函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最小(大)的即为最小(大)值.若连续函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.(2)由函数的最值确定参数的值(或范围),一般是利用最值或最值点列出含参数的方程(或不等式),解方程(或不等式)即可.(3)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.变式题(1)函数f(x)=xcosx-sinx在区间[-π,0]上的最大值为 ()A.1 B.π C.32 D.(2)已知函数f(x)=x3-3x,x∈(a,a+4)存在最小值,则实数a的取值范围为.

(3)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值,则a=.

利用导数解决实际问题例5某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.已知销售额f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元;a是常数),若种植2万斤莲藕,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕 A.6万斤 B.8万斤C.3万斤 D.5万斤总结反思(1)利用导数研究生活中的