全品高考备战2027年数学一轮学生用书03第24讲和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式【答案】听课手册

第24讲和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式●课前基础巩固【知识聚焦】1.(1)sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ(2)cosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβ(3)tanα-3.(1)2sinαcosα(2)cos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α(3)2tan【对点演练】1.12=cos(72°-12°)=cos60°=12方法二:cos72°cos12°+cos18°sin12°=sin18°cos12°+cos18°sin12°=sin(18°+12°)=sin30°=122.-3-43[解析]由tanθ=2,得tanθ+π4=tanθ+tanπ41-tan3.2102425725[解析]∵cos(π-α)=45,∴cosα=-45,∵α是第三象限角,∴sinα<0,∴sinα=-1-cos2α=-1--452=-35,∴sinα-π4sin2α=2sinαcosα=2×-35×-45=2425,cos2α=2cos2α4.-1[解析]由(1+tanα)(1-tanβ)=2,可得1-tanβ+tanα-tanαtanβ=2,即tanα-tanβ=1+tanαtanβ,所以tan(β-α)=tanβ-5.-59[解析]由题意知cos2α-4π3=cos-π+2α-π3=-cos6.33[解析]1tan45°-tan15°7.3π4[解析]由题意知tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=7+431-7×●课堂考点探究例1[思路点拨](1)结合tanαtanβ的值可得cosαcosβ,sinαsinβ的关系,根据两角和与差的余弦公式可求得cos(α-β)的值.(2)思路一:利用二倍角的余弦公式求出cosα,结合α的取值范围及平方关系得到sinα,最后根据两角差的正弦公式即可求解;思路二:先根据α的取值范围确定α2的取值范围,结合平方关系得到sinα2,再利用二倍角公式得到sinα,cosα,最后根据两角差的正弦公式即可求解.(3)将已知条件两边平方,结合同角三角函数的基本关系求得sinαcosα的值,进而判断sinα,cosα的符号,结合(cosα+sinα)2+(cosα-sinα)2=2,求得cosα-sinα思路一:利用切化弦及二倍角公式化简tan2α,即可求解;思路二:分别求出sinα,cosα的值,即可求得tanα,再利用二倍角公式,即可求解.(1)A(2)D(3)9[解析](1)∵tanαtanβ=2,∴sinαsinβ=2cosαcosβ,又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=m,∴cosαcosβ=-m,sinαsinβ=-2m,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m.故选A.(2)方法一:∵cosα2=55,∴cosα=2cos2α2-1=-35,又∵0<α<π,∴sinα=45,则sinαcosα)=22×45-方法二:由0<α<π可知0<α2<π2,∴sinα2=1-cos2α2=255,∴sinαcosα=cos2α2-sin2α2=552-2552=-35,∴sinα-π4=sinαcosπ4-cosαsin(3)由cosα+sinα=74,两边平方得cos2α+2sinαcosα+sin2α=716,故sinαcosα=-932<0,又α∈π2,3π2,故sinα>0,cosα<0,所以cosα-sinα<0,又(cosα+sinα)2所以cosα-sinα=-54方法一:tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosαco方法二:由cosα-sinα=-54和sinα+cosα=74,解得cosα=7-58,sinα=7+58,故tanα=sinαcosα=7+57-变式题(1)D(2)A(3)p[解析](1)由倍角公式可知cosα=1-2sin2α2,则sin2α2=3-58=6-2516=5-142.因为α为锐角,所以(2)由α+β=-π4,可得tan(α+β)=-1,即tanα+tanβ1-tanα·tanβtanα)(1-tanβ)=1-tanα-tanβ+tanα·tanβ=1-(tanα+tanβ)+tanα·tanβ,将tanα+tanβ=tanα·tanβ-1代入,得(1-tanα)(1-tanβ)=1-(tanα·tanβ-1)+tanα·tanβ=1-tanα·tanβ+1+tanα·tanβ=2.故选A.(3)因为tanα,tanβ是方程x2+px+p-1=0(p>2)的两根,所以由根与系数的关系可得tanα+tanβ=-p,tanα·tanβ=p-1,故sin(α+β)sinαsinβ例2[思路点拨](1)将(2-tanα)(2+tanβ)=5展开整理,再根据两角差的正切公式求解即可.(2)思路一:由已知结合辅助角公式及两角和与差的正弦公式对已知等式进行化简可求出α-β,进而判断即可;思路二:根据等式恒成立,取角α,β为特殊角分别判断各选项即可.(3)对于A,逆用二倍角的正弦公式即可求值.对于B,逆用两角和的余弦公式即可求值.对于C,思路一:利用两角和的正切公式取特殊值求值;思路二:把1+tan15°1-tan15(1)B(2)C(3)ABD[解析](1)由(2-tanα)(2+tanβ)=5,得4+2tanβ-2tanα-tanαtanβ=5,整理得2(tanβ-tanα)=1+tanαtanβ,则tan(α-β)=tanα-tanβ1+tan(2)方法一:由sin(α+β)+cos(α+β)=2sinα+β+π4=22cosα+π4sinβ,可知sinα+β+π4=2cosα+π4sinβ,即sinα+π4cosβ+cosα+π4sinβ=2cosα+π4sinβ,即sinα+π4cosβ-cosα+π4sinβ=0,即sinα-β方法二:取β=0,则sinα+cosα=0,取α=34π,则tan(α+β)=tan(α-β)=tan34π=-1,排除B,D;取α=0,则sinβ+cosβ=2sinβ,即sinβ=cosβ,取β=π4,则tan(α+β)=tanπ4(3)对于A,逆用二倍角的正弦公式,可得4sin15°cos15°=2×2sin15°cos15°=2sin30°=2×12=1,A正确对于B,逆用两角和的余弦公式,可得2(cos46°cos14°-sin46°sin14°)=2cos(46°+14°)=2cos60°=1,B正确.对于C,方法一:利用两角和的正切公式tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB方法二:1+tan15°1-tan15°=对于D,逆用二倍角的正弦公式,得8cos20°cos40°cos80°=8sin20°4sin40°cos40°cos80°sin20°=变式题(1)C(2)-35[解析](1)由1sin10°可得λ=1sin10°-4cos10°=cos10°-cos10°-2×12(2)由cosαsin(α-β)-sinαcos(β-α)=35,得-sin(β-α)cosα-cos(β-α)sinα=3则sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=-35,所以sinβ=sin[(β-α)+α]=-3例3[思路点拨](1)先根据已知条件判断α的取值范围,再根据同角三角函数的平方关系求出sinα,进而判断α+β的取值范围,求出cos(α+β)后结合β=(α+β)-α及两角差的余弦公式即可求解;(2)由已知条件得tan(α+β)=6,利用配角变换得tan2α=tan[(α+β)+(α-β)],再利用两角和的正切公式即可求解.(1)B(2)D[解析](1)由α∈(0,π),0<cosα=55<22,可得α∈则sinα=1-cos2α=1-15=255.因为0<sin(α+β)=210<22,α+β∈π4,3π2,所以所以cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-7210×55+210×2(2)因为tan(α-β)=3,所以tan2α-t