全品高考备战2027年数学一轮学生用书09教材拓展6随机变量之和的数学期望【答案】听课手册

教材拓展6随机变量之和的数学期望【典型例题】例1解:(1)证明:M=E(X)=∑所以第1次取出白球的概率为MN(2)设第k-1次取球后,第k次取球前,盒中的白球个数为Yk,k=1,2,…,n,设Zk=0由题意得Yk=Yk-1+Zk-1(k≥2),Zk服从两点分布,故E(Zk)=P(Zk=1),当k≥2时,根据参考公式可得E(Yk)=E(Yk-1)+E(Zk-1)=E(Yk-1)+P(Zk-1=1)=E(Yk-1)+1-P(Zk-1=0),由(1)可得P(Zk-1=0)=E(则E(Yk)=E(Yk-1)+1-E(Yk-1)N=1+1-1NE(Yk-1),所以E(Yk)-N=所以{E(Yk)-N}是以E(Y1)-N=m-N为首项,1-1N为公比的等比数列,则E(Yn)=1-1Nn-1(m-N)+N,故第例26125[解析]方法一:X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=C51×153=125,P(X=2)=C52×C21×C32×153=1225,P(X=3)=A53方法二:令Xi=1(i=1,2,3,4,5),则X=X1+X2+X3+X4+X5,E(Xi)=P(标号为i的球被取出至少一次)=1-P(标号为i的球没被取过)=1-453=61125,故E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)+E(X5)=5×61【巩固演练】1.B[解析]由题意知E(X)=-23+13=-13,E(Y)=p-1+p=2p-1,故E(X+Y)=2p-43,∴当p在12,1内增大时,2.C[解析]设蓝色骰子掷出的点数为Z,同时抛掷这三枚骰子,X+Y+Z=15包含的样本点(X,Y,Z)有(3,6,6),(4,5,6),(4,6,5),(5,4,6),(5,6,4),(5,5,5),(6,3,6),(6,6,3),(6,4,5),(6,5,4),共10个.对于A,X+Y=12等价于Z=3,只包含(6,6,3)这1个样本点,故P(X+Y=12)=110,P(X=6)=P(Y=6)=410,P(X=6)P(Y=6)=425,A错误;对于B,Y=4包含的样本点有(5,4,6),(6,4,5),故P(X=5|Y=4)=12,Y=5包含的样本点有(4,5,6),(5,5,5),(6,5,4),故P(X=4|Y=5)=13,B错误;对于C,Z的可能取值为3,4,5,6,E(Z)=110×3+210×4+310×5+410×6=5,故E(X+Y)=E(15-Z)=15-E(Z)=10,C正确;对于D,D(Z)=110(3-5)2+210(4-5)2+310(5-5)2+410(6-5)2=1,同理可得D(X)=1,D(X+Y)=D(15-3.解:(1)投掷1枚骰子,得到点数为1的概率为16所以甲积20分的概率为C32162(2)记甲掷骰子所得的积分为X1分,则X1的可能取值为0,10,20,30,且P(X1=0)=563=125216,P(X1=10)=C31×1P(X1=20)=572,P(X1=30)=163所以随机变量X1的分布列为X10102030P1252551所以E(X1)=0×125216+10×2572+20×572则E(X)=50-5=45.(3)若乙没有掷出点数为1的骰子,则其概率为563=若乙掷出了点数为1的骰子,则其概率为1-563=记乙的初始积分为Z分,则E(Z)=40×125216+50(1+m)%×91记乙掷骰子所得的积分为Y1分,同理可得E(Y1)=E(X1)=5,故E(Y)=E(Z)-E(Y1).若E(Y)≥E(X),则40×125216+50(1+m)%×91216-5≥45,解得m≥11509914.解:(1)由题知,前两次一定会翻到1,否则第三次翻到2也会被翻回,故分两种情况:如果第一次翻出了1,那么第二次一定不能翻到2,第三次翻到2,此时概率p1=15×34×13=120;如果第二次翻出了1,那么有两种情况,第一种情况是第一次翻出了2并翻回,另一种情况是第一次没有翻出2,第三次恰好翻到2,此时概率p2=15×14+35所以所求概率为p1+p2=320(2)根据题意可以推断出下面两点:首先,错误翻开的卡片即使被翻回至背面朝上,也会知道这张卡片的点数,因此第二次翻开它时并非随机事件;其次,如果在翻一张卡片时,点数比它小的所有卡片没有被翻开,那么这张卡片就需要被翻两次.因此X的可能取值为5,6,7,8,9.①当X=5时,恰好按照从小到大的顺序翻开了所有卡片,故P(X=5)=15×14×13×12×②当X=9时,正面写着2到5的卡片恰好全部在1之前被翻开,故P(X=9)=A44A③当X=6时,只有1张卡片没有在所有比它小的卡片翻开时翻开了,故P(X=6)=1+2+3+4A55④当X=8时,有3张卡片错误地翻开了,故P(X=8)=1×2×3+1×2×4+1×3×4+2×3×4A512⑤当X=7时,易知P(X=7)=1-1120-15-112-5故X的分布列为X56789P11751因此E(X)=5×1120+6×112+7×724+8×512+9×15(3)证明:基于第(2)问的思考,这实际上是对知晓卡片所写数字的顺序进行排列,当有n张卡片时,值得注意的是写有数字n的卡片如果是最后一个知晓,那么它就只需要被翻开一次,如果它不是最后一个知晓,那么它就一定需要被翻开两次.记Yn为需要翻开