全品高考备战2027年数学一轮学生用书09教材拓展6随机变量之和的数学期望【正文】听课手册

1.对于任意两个随机变量X,Y,其和的期望满足E(X+Y)=E(X)+E(Y).此性质不需要考虑X,Y是否独立.[课本探源:沪教版选择性必修第二册P94例1]2.如果X,Y分别是两个独立的随机变量,那么D(X+Y)=D(X)+D(Y).3.对于有限个随机变量X1,X2,…,Xn,有E(X1+X2+…+Xn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn).【典型例题】例1[2025·山东青岛、淄博二检]盒中装有N(N∈N*,N≥3)个小球,除颜色外,小球完全相同,每次从中不放回地随机取出1个球.(1)若盒中白球的个数为随机变量X,E(X)=M,证明:第1次取出白球的概率为MN(2)若盒中白球的个数为m(m∈N*,m<N),每次取球后,将1个白球放回盒中,保持盒中球的总数不变,求第n次取出白球的概率.附:若X,Y是离散型随机变量,则E(X+Y)=E(X)+E(Y).

例2[2025·全国一卷]有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=.

【巩固演练】1.设12<p<1,相互独立的两个随机变量X,YX-11P21Y-11P1-pp当p在12,1内增大时,则 A.E(X+Y)减小B.E(X+Y)增大C.E(X+Y)先减小再增大D.E(X+Y)先增大再减小2.现有三枚质地均匀的骰子,分别为红色、绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子,已知这三枚骰子朝上的点数之和为15,设红色骰子掷出的点数为X,绿色骰子掷出的点数为Y,则下列结论中正确的是 ()A.P(X+Y=12)=P(X=6)P(Y=6)B.P(X=5|Y=4)=P(X=4|Y=5)C.E(X+Y)=10D.D(X+Y)=4D(X)3.甲、乙两人玩一个游戏:甲、乙各自一次性投掷3枚质地均匀的骰子,观察点数为1的骰子的个数,根据点数为1的骰子个数给甲、乙积分.规定:每掷出1个点数为1的骰子积10分.(1)求甲积20分的概率;(2)假设甲的初始积分为50分,最终积分为初始积分减去掷骰子所得的积分,记甲的最终积分为X分,求E(X);(3)在(2)的条件下,若乙没有掷出点数为1的骰子,则乙的初始积分为40,若乙掷出了点数为1的骰子,则乙的初始积分为50(1+m)%,最终积分为初始积分减去掷骰子所得的积分,记乙的最终积分为Y,若E(Y)≥E(X),求m的最小值.附:设X,Y为两个随机变量,则E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(X-Y)=E(X)-E(Y).

4.[2025·武汉期末]有五张背面完全相同的数字卡片,正面分别写着1,2,3,4,5,将它们背面朝上随机放在桌子上(不叠放),翻开这些卡片时,要求按照从小到大的数字顺序依次翻开,如果翻开了一张卡片其顺序不符合要求,那么应该立刻将它翻回至背面朝上(翻回不计入次数)并记住此卡片出现的数字,以保证翻卡片的次数尽可能少,直到所有卡片正面朝上为止.(1)求第三次恰好翻开正面写着2的卡片且不再翻回的概率;(2)记X为需要翻开的次数,求X的分布列及数学期望;(3)将卡片数量改为n(n∈N*)张,并依次写上数字1,2,3