全品高考备战2027年数学一轮学生用书09重点强化练(九)等差数列与等比数列【答案】

重点强化练(九)等差数列与等比数列1.C[解析]设等差数列{an}的公差为d,则由题可得a解得a1=1,d=2,所以S5=5a1+2.C[解析]设等比数列{an}的公比为q,则S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=168,a2-a5=a1q(1-q3)=a1q(1-q)(1+q+q2)=42,∴q(1-q)=14,即4q2-4q+1=0,则q=12,∴a1=168×47=96,∴a6=a1·q5=96×3.D[解析]设等比数列的公比为q,由等比数列的通项公式可得a1q2=-a1q+2a1,整理得q2+q-2=0,解得q=1或q=-2.当q=1时,S8S4=8a14a1=2;当q=-2时,S8S4=a1(4.C[解析]设等比数列{an}的公比为q,因为2a3+a9=12且2S3,32S6,S9成等差数列,所以2a1q2+a1q8=12,3S6=S9+2S3,所以2S6-2S3=S9-S6,所以2(a4+a5+a6)=a7+a8+a9,可得q3=2,所以2a1q2+a1q8=a1q5+2a1q5=3a6=12,所以a6=4.故选C5.D[解析]由题意知P是△ABC的边BC所在直线上任意一点,即P,B,C共线,则由AP=a3AB+a16AC,可得a3+a16=1,故S18=18(a1+a186.C[解析]设该公司从第1年到第10年(2024年到2033年)的销售额(单位:万元)分别为a1,a2,…,a10,则当n∈N*,n≤9时,an+1=1.3an-3,即an+1-10=1.3(an-10),因此数列{an-10}是首项为90,公比为1.3的等比数列,所以an-10=90×1.3n-1,即an=90×1.3n-1+10,则a1+a2+…+a10=90×(1-1.37.B[解析]∵Sn=(2Sn+1)Sn+1,∴Sn=Sn+1+2Sn·Sn+1,即1Sn+1-1Sn=2,又a1=1,∴1S1=1a1=1,∴1Sn是以1为首项,2为公差的等差数列,∴1Sn=2n-1,∴Sn=12n-1,∴S11=121,a5=S5-8.A[解析]因为{an}是等比数列,公比q满足|q|<1,所以前n项和Sn满足|Sn|=a1(1-qn)1-q=a11-q·|1-qn|<a11-q·(1+|qn|)<2a11-q,故“|q|<1”是“{an9.BC[解析]设等比数列{an}的公比为q,依题意得a12q=2,a1q2=4,解得a1=1,q=2,所以an=2n-1,故a3+10.BD[解析]因为Sn=3n+r,所以an=S1=3+r,n=1,Sn-Sn-1=2·3n-1,n≥2,当r=3时,a1=a2=6,所以数列{an}不是递增数列;若数列{an}是等比数列,则3+r=2,所以r=-1;因为11.BC[解析]对于A,当{an}为等差数列时,设其公差为d,则d>0,a1>0,Sn=na1+n(n-1)d2,当n≥2时,bn-bn-1=Sn2n-Sn-12n-1=Sn-2Sn-12n=an-Sn-12n,因为an-Sn-1=a1+(n-1)d-(n-1)a1-(n-1)(n-2)d2=(2-n)a1+(n-1)(4-n)d2(n≥2),d>0,a1>0,所以当n>4时,an-Sn-1=(2-n)a1+(n-1)(4-n)d2<0,即bn-bn-1=an-Sn-12n<0,不满足{bn}为递增数列,故A错误.对于B,当{an}为等比数列时,不妨设an=2n-1,则Sn=1-2n1-2=2n-1,bn=2n-12n=1-12n,易知12n为递减数列,所以{bn}为递增数列,故B正确.对于C,若{bn}是递减数列,则当n≥2时,bn-bn-1=Sn2n-Sn-1212.9[解析]由数列{an}满足an+1=3an,可得an+1an=3,所以数列{an}是公比q=3的等比数列.根据等比数列的性质,可得a4a5=a3a6,因为a2a4a5=a3a6,所以a2=1,所以a4=a213.194[解析]因为SnTn=5n+2n+3,所以设Sn=kn(5n+2),Tn=kn(6k(30+214.80π[解析]由题意可知,每段圆弧的圆心角为2π3,设第n段圆弧的半径为rn,则可得rn+1=rn+1,r1=1,故数列{rn}是首项r1=1,公差d=1的等差数列,则rn=1+n-1=n.故当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为2π3r1+2π3r2+…+2π3r15=2π3(r1+r2+…+r15)=15.解:(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为d,由a1=3,a3=9,得log2(9-1)=log2(3-1)+2d,解得d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)·×1=n,可得an=2n+1,故数列{an}的通项公式为an=2n+1.(2)证明:因为1an+1-an=12n+1-2n=12n,所以1a2-a1+1a3-16.解:(1)由直线l经过原点且一个方向向量为μ=(3,1),可知l的方程为y=13x,因此对任意正整数n,有an=13an+1,即an+1=3a因为a3=2a2+6,所以9a1=6a1+6,解得a1=2,所以{an}是首项为2,公比为3的等比数列,所以an=2×3n-1.(2)因为数列{bn}是以4为首项,2为公差的等差数列,所以bn=2n+2.因为an=2×3n-1,所以2m+2=2×3t-1,t,m∈N*,即m=2×3t-1-当t=1时,m=0,不符合题意,舍去;当t=2时,m=2,则m的最小值为2;当t≥2时,m=3t-1-1均有解.所以cn=3n-1(n∈N*),可得Sn=3n+117.解:(1)令n=1,则2a2-a1=14,所以a2=12,所以S2=a1+a2=所以T2=89S2=b11-23=109,解得b1=103由2an+1-an=12n+1,可知2n+1an+1-2nan=12,所以{2所以2nan=32+n-12=n+22(2)当n≥2时,an-an-1=12n-an,累加可得,an-a1=122+…+12n-Sn+a1=12-1